李元松 王亞軍 王章瓊 周小龍 周春梅

摘要：總結(jié)歸納有限單元法課程特點(diǎn)，分析研究生教學(xué)現(xiàn)狀，闡述長期以來課程教學(xué)效果不佳的原因?；诎咐虒W(xué)法理論，提出以案例引導(dǎo)的有限單元法課程教學(xué)方法，并引入3個典型工程案例，說明其實(shí)施步驟與方法。最后以近三年的成績，評價該方法的使用效果。通過案例引領(lǐng)學(xué)生思考問題，學(xué)生通過討論提出解決方法，程序設(shè)計再進(jìn)一步深入驗(yàn)證結(jié)果，從而激發(fā)學(xué)生對課堂教學(xué)和案例學(xué)習(xí)的興趣，達(dá)到有效提高課堂教學(xué)效果的目的。

關(guān)鍵詞：典型案例;有限元法;教學(xué)方法;改革與實(shí)踐

中圖分類號：G642.0文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1005-2909（2018）06-0110-07

隨著工程技術(shù)研究的不斷深入和建設(shè)規(guī)模的日益擴(kuò)大，特別是計算機(jī)科學(xué)和技術(shù)的飛速進(jìn)步，數(shù)值計算在工程技術(shù)研究活動中的重要地位凸現(xiàn)，相應(yīng)地工程結(jié)構(gòu)數(shù)值計算方法課程已成為大多數(shù)工科專業(yè)研究生的必修課程[1-3]。作為工程結(jié)構(gòu)數(shù)值方法的代表——有限單元法及其程序設(shè)計是一門集應(yīng)用數(shù)學(xué)、現(xiàn)代力學(xué)及計算機(jī)科學(xué)于一體，且相互滲透的綜合性工程學(xué)科，其理論體系龐大而復(fù)雜，涉及到微分方程、矩陣代數(shù)、計算方法、彈性理論、結(jié)構(gòu)設(shè)計以及計算機(jī)編程等多學(xué)科理論與技術(shù)。學(xué)生學(xué)習(xí)起來異常艱難，對于非力學(xué)專業(yè)的學(xué)生更是如此。

因此，如何在有限課時內(nèi)讓學(xué)生掌握有限元的基本原理與方法，并能自編程序分析與解決實(shí)際問題，是有限元教學(xué)必須著力思考的問題。筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從實(shí)際工程問題的求解出發(fā)，提出以案例引導(dǎo)的課程教學(xué)方法，通過幾年的實(shí)踐收到良好的效果。

一、課程特點(diǎn)及教學(xué)現(xiàn)狀

（一）課程特點(diǎn)

1.概念抽象，涉及面廣

有限元法的概念有基本方程、剛度方程、邊界條件、等效節(jié)點(diǎn)力、形函數(shù)、位移模式、收斂性、等參單元、虛位移、虛功等。這類概念的共同特點(diǎn)是很抽象，難以理解[4-6]。此外，還時常夾雜一些材料、幾何以及邊界條件非線性問題，學(xué)生很難對這門學(xué)科進(jìn)行整體把握，因而往往

產(chǎn)生畏難情緒。

2.方法獨(dú)特，步驟眾多

現(xiàn)有的教材都是從三大基本方程出發(fā)，到矢量、張量的矩陣形式表達(dá)，從結(jié)構(gòu)離散，到單元位移模式（以位移法為例）、剛度方程、剛度集成（結(jié)構(gòu)的重新組合）、節(jié)點(diǎn)荷載移置、邊界條件處理、方程的求解，最后得出節(jié)點(diǎn)位移與特征點(diǎn)的應(yīng)力。步驟眾多，公式復(fù)雜，且演算多以矩陣形式甚至用張量形式表達(dá)，初學(xué)者無法理解其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與力學(xué)原理。

3.工作量大，難以手工驗(yàn)算

有限單元的最大特點(diǎn)是計算工作量大，比如一個簡支梁，即使充分利用對稱性，較為稀疏的單元網(wǎng)格，最為簡單的三角形單元，至少得20個左右的單元才能反映梁的應(yīng)力和變形規(guī)律，用手工計算幾乎是不可能的。

有限單元法課程的學(xué)習(xí)，其最終目的是解決實(shí)際問題，分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)的力學(xué)性態(tài)，必須借助計算機(jī)軟件。然而，目前市面上的軟件五花八門，僅土木工程領(lǐng)域流行的商業(yè)軟件就有數(shù)十種，且每種軟件由于開發(fā)團(tuán)隊的思路不同，均有所差別，系統(tǒng)性極差。再則，說明書往往并非力學(xué)專業(yè)人員撰寫，解讀起來非常困難。一旦遇到問題，往往很難通過自學(xué)解決。

（二）教學(xué)現(xiàn)狀

1.“自下而上”的學(xué)習(xí)， 只見樹木不見森林

由于有限單元法是從工程應(yīng)用中直接發(fā)展起來的，以致現(xiàn)有的教科書與教學(xué)方法，都缺乏嚴(yán)格的思維邏輯。學(xué)生通常一開始就面臨大量的細(xì)節(jié)，比如整體與局部坐標(biāo)的變換、節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)載荷的移置、形狀函數(shù)的構(gòu)造與收斂問題等，難以從整體上理解有限元的基本原理， 卻已淹沒在眾多的細(xì)節(jié)推導(dǎo)， 只見樹木， 不見森林。這種方式導(dǎo)致學(xué)習(xí)過程中沒有原則可以遵循， 學(xué)習(xí)者常常困惑于非本質(zhì)的公式推導(dǎo)，增加了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

2.理論與程序脫節(jié)

有限元法是應(yīng)用性很強(qiáng)的一門學(xué)科，其計算工作量巨大，必須由程序計算完成足夠的練習(xí)，才能掌握其原理與方法。目前，有限元教學(xué)中比較重視理論知識的教學(xué)， 但對有限元程序并沒有給予足夠的重視。其原因是有學(xué)時限制，對教師專業(yè)水平的要求高，程序代碼編寫難以掌握，理論知識和程序代碼之間的銜接跟不上等。這些原因?qū)е掠邢拊碚摻虒W(xué)和編程教學(xué)的嚴(yán)重脫節(jié)[7-8]。

3.灌輸式教學(xué)，學(xué)習(xí)缺乏自主性

有限元方法的學(xué)習(xí)特別需要學(xué)生的積極參與?，F(xiàn)有的教學(xué)模式只注重有限元基本理論的講解與計算推導(dǎo)分析[9-10]，而對于大多數(shù)非力學(xué)專業(yè)的研究生來說，有限元方法的理論起點(diǎn)較高，教師要花費(fèi)大量時間在課堂上灌輸理論，但效果并不太理想。如果課程的設(shè)計能夠充分調(diào)動學(xué)生的積極性和參與意識， 讓學(xué)生多上機(jī)實(shí)踐， 主動去探求有限元理論及其編程的技巧，必將對學(xué)生產(chǎn)生積極的影響。

4.生源復(fù)雜，基礎(chǔ)參差不齊

有限單元法課程是一門對理論和實(shí)踐均有較高要求的課程，如果預(yù)修課程不合理，對這門課程的學(xué)習(xí)是極其不利的。本科階段，有的學(xué)生學(xué)過結(jié)構(gòu)力學(xué)，但沒有彈性力學(xué)與數(shù)值方法的基礎(chǔ)，對連續(xù)域或邊值問題無法理解;有的學(xué)生學(xué)了彈性力學(xué)，但對程序設(shè)計完全沒有概念，這就要求結(jié)合學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)組織教學(xué)材料，而不能僅從教師易于講授的角度組織教學(xué)內(nèi)容。

二、案例教學(xué)的基礎(chǔ)理論

案例教學(xué)是指教育者本著理論與實(shí)際相結(jié)合的宗旨，根據(jù)教學(xué)目的和教學(xué)內(nèi)容，以典型案例為教學(xué)素材，將學(xué)習(xí)者置身于一個真實(shí)的情境中，通過多種方式促使學(xué)習(xí)者理解和掌握各種相關(guān)的專業(yè)知識和技能，以構(gòu)建學(xué)習(xí)者分析問題和解決問題實(shí)踐操作能力的一種教學(xué)方法和形式[11-14]。案例教學(xué)有三個顯著特征[15]：示范性、實(shí)踐性和互動性。一般案例教學(xué)的程序分為三個階段：一是案例研究階段。這一階段教學(xué)者結(jié)合專業(yè)，分析識別精選工程案例，并提出問題;學(xué)生需要思考案例關(guān)系與問題，形成對案例問題的看法和觀點(diǎn)，并提出自己的解決方法。二是案例討論階段。案例討論階段主要是師生以及學(xué)生之間圍繞案例問題展開討論。對教師而言最重要的就是尊重“差異”和重在“啟發(fā)”，學(xué)生則是“質(zhì)疑”和“聯(lián)想”。三是案例總結(jié)階段。案例總結(jié)階段包括教師綜合性總結(jié)和學(xué)生方面的反思。綜合性總結(jié)是教師對前面兩個階段的工作進(jìn)行整合和內(nèi)化，而學(xué)生則是在一系列的反思中建構(gòu)自己的認(rèn)識和思想。

三、案例引導(dǎo)分析

（一） 案例引入原則

以案例為主線的一體化教學(xué)中，案例是教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵，在進(jìn)行案例的選擇與設(shè)計時主要應(yīng)考慮：以滿足教學(xué)需要為前提;以實(shí)用、夠用為原則;以應(yīng)用能力培養(yǎng)為核心;難度應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知能力。

（二）案例分析

案例1：如圖1所示，一榀多層框架結(jié)構(gòu)的設(shè)計計算。框架結(jié)構(gòu)的分析計算是土木工程專業(yè)學(xué)生課程設(shè)計或畢業(yè)設(shè)計必須完成的學(xué)習(xí)任務(wù)。碩士階段對其手工計算有一定程度的了解與認(rèn)識。用有限單元法求解，首先必須將力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為計算模型，即將結(jié)構(gòu)離散、節(jié)點(diǎn)編號、單元編號建立整體坐標(biāo)系。利用梁單元的轉(zhuǎn)角位移方程進(jìn)行單元剛度分析，形成單元剛度方程，這部分內(nèi)容易于理解與掌握。問題是單元剛度矩陣集成總體剛度矩陣時，學(xué)生始終難以準(zhǔn)確理解單元剛度矩陣的元素如何置入總體剛度的相應(yīng)位置。在此將問題的解決方法分為6個步驟進(jìn)行分析。

六是思考單元組裝成結(jié)構(gòu)的條件：節(jié)點(diǎn)力的平衡與位移連續(xù)。將所有單元位移產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力求和，其實(shí)質(zhì)就是單元貢獻(xiàn)矩陣的求和。

這樣一來，將看似復(fù)雜的高次超靜定結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)換為若干結(jié)點(diǎn)力的平衡問題。根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)中的轉(zhuǎn)角位移方程，求出結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式，即單元剛度方程，然后分析每個桿件在單元位移作用下產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力。根據(jù)結(jié)點(diǎn)力的平衡與變形連續(xù)條件，形成結(jié)構(gòu)的總體剛度方程，用定位向量法實(shí)現(xiàn)，既能深刻體會單元剛度矩陣的力學(xué)意義，又能將復(fù)雜的結(jié)果以文字或圖形的形式表現(xiàn)，為程序設(shè)計奠定了邏輯基礎(chǔ)。

案例2：如圖3所示，矩形截面簡支梁的設(shè)計計算（考慮對稱，取右側(cè)一半）。主要解決形函數(shù)設(shè)定與分片連續(xù)問題，實(shí)體結(jié)構(gòu)—理解微分方程的求解問題。按彈性理論，彈性體位移是數(shù)學(xué)的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，通過一定規(guī)則離散后，每個單元的位移模式由計算者自己設(shè)定。這種設(shè)定的依據(jù)是什么，精度、收斂性如何保證等問題都是困擾初學(xué)者的理論問題。要準(zhǔn)確理解上述問題，需從以下幾方面加以分析討論。

這一演算過程，從物理學(xué)角度考察，將連續(xù)體內(nèi)部應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為三角形單元節(jié)點(diǎn)之間力與位移之間的關(guān)系;從數(shù)學(xué)角度看，將連續(xù)型變量轉(zhuǎn)換為離散型變量，將變量之間的微分關(guān)系轉(zhuǎn)換為代數(shù)關(guān)系，運(yùn)算邏輯上不存在問題。

根據(jù)能量原理推導(dǎo)結(jié)構(gòu)剛度方程的過程中，假設(shè)不發(fā)生能量損失或轉(zhuǎn)換，將整個區(qū)域連續(xù)的彈性體問題，轉(zhuǎn)換為分片連續(xù)的彈性塊體，塊與塊之間以節(jié)點(diǎn)連接，節(jié)點(diǎn)外力在對應(yīng)結(jié)點(diǎn)位移所做的功與彈性體的變形能相等，從而保證節(jié)點(diǎn)位移就是真實(shí)的位移。從數(shù)學(xué)角度，將位移滿足的控制微分方程，轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式的剛度方程，不存在理解困難。

三是位移函數(shù)的收斂性條件，嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明較為困難，只能做一些理解性的解釋。任何連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，都可以在某一區(qū)域展開成泰勒級數(shù)，當(dāng)取線性項(xiàng)時，就是三角形常量單元的線性位移函數(shù)的取值基礎(chǔ)。位移函數(shù)滿足如下條件，就可保證收斂：（1）包含反映剛體平動的常數(shù)項(xiàng);（2）包含反映常應(yīng)變的線性位移項(xiàng);（3）位移在單元內(nèi)連續(xù)，在相鄰邊界上協(xié)調(diào)。前兩條是必要條件，第（3）條為充分條件。

通過虛功原理推導(dǎo)單元剛度方程，理解變量之間的微分關(guān)系，如何轉(zhuǎn)換成代數(shù)關(guān)系;根據(jù)能量守恒定律，最小勢能原理建立結(jié)構(gòu)的剛度方程，有效解釋分片連續(xù)問題與彈性連續(xù)域問題等效的力學(xué)意義;任何連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)均可展開為泰勒級數(shù)，取線性項(xiàng)時，即為三角形常量單元的位移函數(shù)。單元內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移分變形位移與剛體位移，只有包含常數(shù)項(xiàng)，才能真實(shí)反映剛體平動。位移中的線性項(xiàng)是用于反映常量應(yīng)變的，否則就不能反映物體均勻變形，與實(shí)際情況不符。

案例3：如圖1所示平面桿系結(jié)構(gòu)，用自編程序進(jìn)行計算（以FORTRAN6.5為例）。有限元法的練習(xí)必須用程序計算完成。程序設(shè)計一方面讓學(xué)生掌握有限元的步驟，培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的程序設(shè)計能力，了解軟件計算思維邏輯與模型數(shù)值化方法，原始數(shù)據(jù)的輸入與計算結(jié)果的輸出，這些知識的學(xué)習(xí)反過來又加深對有限元理論的理解。平面框架計算程序設(shè)計也從三方面進(jìn)行討論。

一是參數(shù)的分類。（1）控制參數(shù)：單元個數(shù)、節(jié)點(diǎn)個數(shù)、節(jié)點(diǎn)荷載個數(shù)、非節(jié)點(diǎn)荷載個數(shù)、邊界約束條件數(shù);（2）幾何與材料參數(shù)：節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、截面面積、彈性模量、泊松比等;（3）計算參數(shù)：單元剛度矩陣、總體剛度矩陣、節(jié)點(diǎn)位移、單元應(yīng)力等。

參數(shù)分單變量與變量數(shù)組，對于控制參數(shù)，可用單整型變量表達(dá)，如NE，NJ分別表示單元個數(shù)與節(jié)點(diǎn)個數(shù)。對于重復(fù)出現(xiàn)或物理邏輯同時出現(xiàn)的量，用數(shù)組表達(dá)較為合適，比如COORD（500，2），表示節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，const（500，3）為單元常量數(shù)組，分別存貯單元的彈性模量、泊松比與單元的厚度。JR（NR，4）表示支座約束信息，1，2，3，4分量分別表示支座結(jié)點(diǎn)號，u，v，θ方向的約束信息，“1”表示約束，“0”表示自由。計算參數(shù)多用實(shí)數(shù)組表達(dá)，比如P（300）表示節(jié)點(diǎn)位移，sigma（300，3）表示單元應(yīng)力等。

三是程序調(diào)試與數(shù)據(jù)的輸入和輸出。

對于初學(xué)者而言，以數(shù)據(jù)文件的形式表達(dá)易于理解。一般將原始文件與結(jié)果文件分為兩個文本文件，如in.dat，out.dat。按編程語言的規(guī)則與程序設(shè)計的讀數(shù)順序，將原始數(shù)據(jù)寫入in.dat文件即可，結(jié)果文件的格式由程序設(shè)計完成，計算結(jié)束，打開out.dat文件即可查看所求問題的解。

有限單元法的學(xué)習(xí)必須進(jìn)行程序計算，才能準(zhǔn)確掌握其思維邏輯。進(jìn)行結(jié)構(gòu)的離散化與數(shù)值化，既是對有限元法計算步驟的練習(xí)，也是對計算模型的深入理解與分析。計算結(jié)果輸出，才能理解與驗(yàn)證算法的正確性與有效性，從而加深對有限元原理的理解與記憶。

四、效果評價

在傳統(tǒng)教學(xué)模式下，學(xué)生因前置課程基礎(chǔ)知識不足，難以理解抽象的理論推導(dǎo)，把握不了有限單元法的思維邏輯，產(chǎn)生消極情緒，影響教學(xué)效果。進(jìn)行案例教學(xué)改革后，取得了較好的教學(xué)效果。

（1）明確認(rèn)識有限元課程的重要性與必要性，激發(fā)學(xué)生對有限單元法課程的興趣，學(xué)生在“提出問題”與“尋求解答”的交互中完成了由“被動學(xué)習(xí)”到“主動學(xué)習(xí)”的轉(zhuǎn)變。

（2）將有限元步驟程序化，通過程序調(diào)試與對錯誤的修正，加深對有限元理論的理解與認(rèn)識。

（3）能計算傳統(tǒng)手算無法給出結(jié)果的大中型問題，學(xué)生有一種成就感，反過來促使學(xué)生投入更多時間與精力，在“案例”與“理論”交叉學(xué)習(xí)的過程中完成從基本理論到實(shí)際應(yīng)用的轉(zhuǎn)換。

（4）對碩士論文與就業(yè)方向產(chǎn)生積極的引領(lǐng)作用。近幾年的碩士研究生論文，多數(shù)學(xué)生都使用數(shù)值分析工具建模分析，學(xué)生畢業(yè)擇業(yè)優(yōu)先考慮結(jié)構(gòu)設(shè)計、施工仿真模擬方面的工作，對專業(yè)崗位工作充滿信心。

五、結(jié)語

通過案例這條主線貫穿有限元理論教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，加強(qiáng)基本理論、程序設(shè)計和結(jié)構(gòu)分析三個教學(xué)層次的縱向聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了桿系結(jié)構(gòu)、彈性實(shí)體結(jié)構(gòu)、數(shù)值方法、程序設(shè)計、工程結(jié)構(gòu)設(shè)計與施工過程仿真分析一體化教學(xué)。通過案例闡述理論，有利于教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”，有利于改變學(xué)生學(xué)習(xí)過程中應(yīng)用所學(xué)理論知識解決實(shí)際工程問題能力較差的狀況，有利于學(xué)生綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)和整體結(jié)構(gòu)分析思維的建立。

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