張爾光

【摘 要】本文依照“同一組的區(qū)域著同一色”的對等原理，將對四色猜想的四色區(qū)分的證明，置換為對“在相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下，能否做到將圖的區(qū)域合理搭配分為四組”的證明。筆者論證了“四色猜想的四色區(qū)分”的五種結(jié)果及其等式，創(chuàng)立了“設(shè)劃單元，合理搭配”的方法，通過實(shí)圖例證，對“相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下，能否做到將圖的區(qū)域合理搭配分為四組”之問題做出了證明，并得到了肯定的回答，從而證明四色猜想成立。

【關(guān)鍵詞】四色區(qū)分；圖；區(qū)域；單元；合理搭配；證明；成立

中圖分類號： O157.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）33-0155-005

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.33.071

筆者認(rèn)為，依照“同一組的區(qū)域著同一色”的對等原理去推想，四色猜想的四色區(qū)分的證明，就是“在遵循相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下，能否做到將圖的區(qū)域合理搭配分為四組”的證明。這是因?yàn)?，如對“能夠做到將圖的區(qū)域合理搭配分為四組”之問題做出了證明，就等于對“能夠做到四色區(qū)分”之問題做出了證明。

筆者研究結(jié)果表明，展現(xiàn)在平（球）體表面的圖，不論其區(qū)域是多少、整體結(jié)構(gòu)多么復(fù)雜，均可通過“設(shè)劃單元，合理搭配”的方法，在相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下，做到將圖的區(qū)域合理搭配分為“四組”，因而，按“同一組的區(qū)域著同一色”的對等原理，在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下，對圖的區(qū)域完全能夠做到四色區(qū)分，使四色猜想成立。

1 四色區(qū)分的著色結(jié)果及其等式

在論證“展現(xiàn)在平（球）體表面的圖的n（n≥4）個區(qū)域，在相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下，能否做到將圖的區(qū)域合理搭配分為四組”之問題之前，筆者覺得有必要把目光和思維轉(zhuǎn)到“n個蘋果分裝到四個籮筐的結(jié)果及其等式”這個證題上來。

1.1 論證n個蘋果隨意分為四筐的結(jié)果及其等式

我們知道，n（n≥2）個蘋果隨意分裝到若干籮筐，在每筐至少有一個蘋果的前提下，其分裝到各個籮筐的蘋果數(shù)的結(jié)果（不論是何種結(jié)果），均可以數(shù)學(xué)等式表達(dá)出來。

例證1 n（n≥2）個蘋果隨意分裝到兩個籮筐，那么，其分裝到兩個籮筐的蘋果數(shù)的結(jié)果只有兩種可能：

結(jié)果1 兩個筐的蘋果數(shù)相同，其等式可表達(dá)為：

m×2=n（m為每筐的蘋果數(shù)，n為蘋果總數(shù)，下同）

結(jié)果2 兩個筐的蘋果數(shù)各不相同，其等式可表達(dá)為：

（m1×1）+（m2×1）=n

“m×2=n”和“（m1×1）+（m2×1）=n”此兩個等式告訴我們，在每筐至少有一個蘋果的前提下，不論是多少（n≥2）個蘋果，如分裝到兩個籮筐，則完全可以做到，而且其分裝的結(jié)果，必定可以此兩個等式中之一個等式表達(dá)出來。

例證2 n（n≥3）個蘋果隨意分裝到3個籮筐，那么，其分裝到3個籮筐的蘋果數(shù)的結(jié)果只有三種可能：

結(jié)果1 3個筐的蘋果數(shù)均相同，其等式可表達(dá)為：

m×3=n

結(jié)果2 其中2個筐的蘋果數(shù)相同，另一個筐的蘋果數(shù)不相同，其等式可表達(dá)為：

（m1×2）+（m2×1）=n

結(jié)果3 3個筐的蘋果數(shù)各不相同，其等式可表達(dá)為：

（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）=n

“m×2=n”、“（m1×2）+（m2×1）=n”和“（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）=n”此3個等式告訴我們，在每筐至少有一個蘋果的前提下，不論是多少（n≥3）個蘋果，如分裝到3個籮筐，則完全可以做到，而且其分裝的結(jié)果，必定可以此3個等式中之一個等式表達(dá)出來。

例證3 n（n≥4）個蘋果隨意分裝到4個籮筐，那么，其分裝到4個籮筐的蘋果數(shù)的結(jié)果只有五種可能：

結(jié)果1 4個筐的蘋果數(shù)均相同，其等式可表達(dá)為：

m×4=n

結(jié)果2 其中3個筐的蘋果數(shù)相同，另一個筐的蘋果數(shù)不相同，其等式可表達(dá)為：

（m1×3）+（m2×1）=n

結(jié)果3 其中2個筐的蘋果數(shù)相同，另2個筐的蘋果數(shù)為同另一個數(shù)，其等式可表達(dá)為：

（m1×2）+（m2×2）=n

結(jié)果4 其中2個筐的蘋果數(shù)相同，另2個筐的蘋果數(shù)各不相同，其等式可表達(dá)為：

（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n

結(jié)果5 4個筐的蘋果數(shù)各不相同，其等式可表達(dá)為：

（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）+（m4×1）=n

“m×4=n”、“（m1×3）+（m2×1）=n”、“（m1×2）+（m2×2）”、“（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n”和“（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）+（m4×1）=n”此5個等式告訴我們，在每筐至少有一個蘋果的前提下，不論是多少（n≥4）個蘋果，如分裝到4個籮筐，則完全可以做到，而且其分裝的結(jié)果，必定可以此5個等式中之一個等式表達(dá)出來。

上文已對“n（n≥4）個蘋果隨意分裝到4個籮筐的結(jié)果及其等式”進(jìn)行了論證?，F(xiàn)在我們把目光和思維轉(zhuǎn)到“圖的n個區(qū)域隨意分為四組的結(jié)果及其等式”這個證題上來。

1.2 論證圖的n個區(qū)域隨意分為四組的結(jié)果及其等式

事實(shí)告訴我們，一個由n（n≥4）個區(qū)域組成的圖，如隨意分為4組，那么，其分為4組的區(qū)域數(shù)的結(jié)果只有五種可能：

結(jié)果1 4組的區(qū)域數(shù)均相同，其等式可表達(dá)為：

m×4=n（m為組的區(qū)域數(shù)，n為區(qū)域總數(shù)，下同）

結(jié)果2 其中3組的區(qū)域數(shù)相同，另一組的區(qū)域數(shù)不相同，其等式可表達(dá)為：

（m1×3）+（m2×1）=n

結(jié)果3 其中2組的區(qū)域數(shù)相同，另2組的區(qū)域數(shù)為同另一個數(shù)，其等式可表達(dá)為：

（m1×2）+（m2×2）=n

結(jié)果4 其中2組的區(qū)域數(shù)相同，另2組的區(qū)域數(shù)各不相同，其等式可表達(dá)為：

（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n

結(jié)果5 4組的區(qū)域數(shù)各不相同，其等式可表達(dá)為：

（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）+（m4×1）=n

由此可見，（1）圖的n個區(qū)域隨意分為四組的結(jié)果及其等式與n個蘋果隨意分為四筐的結(jié)果及其等式相同，其分為四組的結(jié)果，必定可以此5個等式中之一個等式表達(dá)出來；（2）既然n個區(qū)域可以做到隨意分為四組，那么，依照“同一組的區(qū)域著同一色”的對等原理，證明n個區(qū)域可以做到隨意分為四色。圖的n個區(qū)域隨意分為四組的結(jié)果及其等式，也即是圖的n個區(qū)域隨意分為四色的結(jié)果及其等式。

1.3 在遵循相鄰區(qū)域不能著同一組的原則下，圖的n個區(qū)域分為四組的結(jié)果及其等式

筆者研究結(jié)果表明，一個由n（n≥4）個區(qū)域組成的圖，在遵循相鄰區(qū)域不能著同一組的原則下，不僅可合理搭配分為4組，而且其分為4組的區(qū)域數(shù)的結(jié)果也只有五種可能，其五種結(jié)果及其等式與隨意分為四組的結(jié)果及其等式相同。同時也證明，其分為四組的結(jié)果，必定可以此5個等式中之一等式表達(dá)出來。

實(shí)圖例證詳見后文。

1.4 四色區(qū)分的五種著色結(jié)果及其等式在實(shí)踐中出現(xiàn)的情況歸納

筆者現(xiàn)將上文求證到的五種結(jié)果等式稱之為“四色區(qū)分的五種著色結(jié)果等式”。為著后文敘述的方便，筆者將此五種著色結(jié)果等式分別以A1、A2、A3、A4、A5等式來表示，即：

A1等式是表示“m×4=n”

A2等式是表示“（m1×3）+（m2×1）=n”

A3等式是表示“（m1×2）+（m2×2）=n”

A4等式是表示“（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n”

A5等式是表示“（m1×1）+（m2×1）+（m3×1）+（m4×1）=n”

上述“四色區(qū)分的五種著色結(jié)果等式”，給我們證明“在相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下，平（球）體表面的圖的n（n≥4）個區(qū)域，能否做到合理搭配分為四組”之問題，提供了一個已知依據(jù)。根據(jù)這個依據(jù)和數(shù)學(xué)的加減乘除法則，又可知道：（1）奇數(shù)不能被2和4整除，所以，如該圖的區(qū)域數(shù)是奇數(shù)的，其可合理搭配分為“四組”的結(jié)果等式，只存在A2、A4、A5此3種等式，不可能存在A1等式和A3等式；（2）如該圖的區(qū)域數(shù)是不能被4整除的偶數(shù)，其可合理搭配分為“四組”的結(jié)果等式，只存在A2、A3、A4、A5此4種等式，不可能存在A1等式；（3）如該圖的區(qū)域數(shù)可被4整除的偶數(shù)，其可合理搭配分為“四組”的結(jié)果等式，均可能存在A1、A2、A3、A4、A5此5種等式。

現(xiàn)將圖的區(qū)域可合理搭配分為四組的結(jié)果等式在實(shí)踐中有可能出現(xiàn)的情況做出歸納，見表1。

由此得出結(jié)論：展現(xiàn)在平（球）體表面的圖，不論其區(qū)域是多少、整體結(jié)構(gòu)多么復(fù)雜，均可通過“設(shè)劃單元，合理搭配”的方法，在相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下，做到將圖的區(qū)域合理搭配分為“四組”。因而，四色猜想成立。

2 將圖的區(qū)域合理搭配分為“四組”的方法和步驟

四色猜想的四色區(qū)分之證明，實(shí)質(zhì)就是將圖的區(qū)域合理搭配分為“四組”的證明。在實(shí)踐中，在遵循相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下，如何使圖的區(qū)域合理搭配分為四組得以實(shí)現(xiàn)，這就得講究科學(xué)的方法。對此，筆者經(jīng)過多年的探索，已探索出一套可靠的科學(xué)方法。此方法就是“設(shè)劃單元，合理搭配”的方法。具體有四個步驟：

第一步 設(shè)劃“單元”。就是從整體的角度，對圖的區(qū)域與區(qū)域彼此之間相鄰和非相鄰的情況進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)其中若干區(qū)域在圖的整體中所處的位置及作用，設(shè)劃為若干“單元”。一個“單元”，可以是幾個區(qū)域，也可以是單個區(qū)域。總之，視圖的整體結(jié)構(gòu)而定。

第二步 同一“單元”區(qū)域組合（叫做“首次組合”）。就是將同一“單元”中的無相鄰關(guān)系的區(qū)域組合為同一個組，叫做“同單元區(qū)域小組”（此是小的組）。在不違背相鄰區(qū)域不能組合為同一個組的原則下，一個區(qū)域可參加多個組的組合。

第三步 單元與單元之間的區(qū)域（區(qū)域小組）組合（叫做“二次組合”）。就是遵循無相鄰區(qū)域可著同一色的原理，對第二步組合的組（包括單個區(qū)域、“同單元區(qū)域小組”）進(jìn)行再次合理組合，將組的區(qū)域數(shù)再擴(kuò)大，使之成為可著同一色的“定型組”。在同一個“定型組”中，絕不能存在相鄰區(qū)域。

第四步 確定“四組”搭配方案。就是遵循四色猜想的原則，依照同一個組的區(qū)域可著同一色的原理，對第三步組合形成的“定型組”進(jìn)行合理搭配，設(shè)“四組”為一個搭配方案，每一個搭配方案即為對圖的n個區(qū)域進(jìn)行四色區(qū)分的一個可成立方案。搭配過程中必須遵循四項(xiàng)原則，即：（1）同一個方案中的各個區(qū)域只能出現(xiàn)一次，不能有重復(fù)出現(xiàn)；（2）同一個方案中的區(qū)域數(shù)及區(qū)域編號必須與圖的區(qū)域數(shù)及區(qū)域編號相同，不能有被遺漏的區(qū)域；（3）同一個“定型組”（即可著同一色）的區(qū)域，不能有相鄰區(qū)域；（4）已確定的搭配方案必須符合四色區(qū)分的原則。

最后，“四組”搭配方案完成后，必須依照上述四項(xiàng)原則對各個方案進(jìn)行逐項(xiàng)檢查驗(yàn)證。

現(xiàn)進(jìn)行實(shí)圖作證。

例證1

如圖1，是一個由12個區(qū)域組成的圖。此圖是《轟動全球的四色問題》一文用于證明“四色定理”的例證圖。

第一步，設(shè)劃單元。根據(jù)圖1的12個區(qū)域彼此之間的相鄰、非相鄰關(guān)系以及所形成的結(jié)構(gòu)模式，可設(shè)劃為四個單元，即“1”為第一單元；“2，3，4，5，6”此五個區(qū)域?yàn)榈诙卧?；?，8，9，10，11”此五個區(qū)域?yàn)榈谌龁卧?；?2”為第四單元。

第二步，同一單元區(qū)域組合。第一單元只有“1”一個區(qū)域，單個區(qū)域?yàn)橐唤M。第二單元的“2，3，4，5，6”此五個區(qū)域，根據(jù)其區(qū)域彼此之間的相鄰和非相鄰的情況，可組合為兩個區(qū)域?yàn)橐唤M的五個小組，即：“2”與“4”為一組；“2”與“5”為一組；“3”與“5”為一組；“3”與“6”為一組；“4”與“6”為一組。第三單元的“7，8，9，10，11”此五個區(qū)域，根據(jù)其區(qū)域彼此之間的相鄰和非相鄰的情況，可組合為兩個區(qū)域?yàn)橐唤M的五個小組，即：“7”與“9”為一組；“7”與“10”為一組；“8”與“10”為一組；“8”與“11”為一組；“9”與“11”為一組。第四單元只有“12”一個區(qū)域，單個區(qū)域?yàn)橐唤M。

第三步，單元與單元之間的區(qū)域（區(qū)域小組）組合。根據(jù)第二步已完成的各單元的區(qū)域組合情況，依照非相鄰的區(qū)域或區(qū)域小組可組合為同一組的要求，單元與單元之間的區(qū)域（區(qū)域小組）的組合結(jié)果詳見表2。

從表2可看出，經(jīng)單元與單元之間的區(qū)域（區(qū)域小組）組合，共產(chǎn)生21組“定型組”，其中3個區(qū)域?yàn)橐唤M的“定型組”有20組，2個區(qū)域?yàn)橐唤M的“定型組”有1組（即是“1”與“12”）。

第四步，確定“四組”搭配方案。根據(jù)21組“定型組”的實(shí)際情況，依照四色猜想的四色區(qū)分的原則和“四組”搭配過程中應(yīng)遵循的四項(xiàng)原則，確定可成立的合理搭配方案共有10個，詳見表3。

在此，需說清楚的，（1）圖1的區(qū)域數(shù)為12個，屬于可被4整除的偶數(shù)，四色區(qū)分的五種結(jié)果等式均有可能存在。但是，由于圖1的21組“定型組”中只存在區(qū)域數(shù)為3個的“定型組”和區(qū)域數(shù)為2個的“定型組”，只具備A1等式（即“m×4=n”等式）合理搭配“四組”的區(qū)域數(shù)的“定型組”，卻不具備A2、A3、A4、A5此4種等式合理搭配“四組”的區(qū)域數(shù)的“定型組”。因此，圖1的10個“四組”搭配方案的著色結(jié)果等式均為“m×4=n”（3×4=12）等式。（2）關(guān)于“1，12”此組“定型組”，因其區(qū)域數(shù)為2個，只能使用在A2、A3、A4、A5此4種等式的“四組”搭配上，但是，A2、A3、A4、A5此4種等式的四組“定型組”中，必須要有區(qū)域數(shù)為4個的“定型組”來搭配。因圖1的21組“定型組”中不存在區(qū)域數(shù)為4個的“定型組”，所以，“1，12”此組“定型組”搭配使用不上。再是，從圖1的12個區(qū)域彼此之間相鄰、非相鄰情況來看，如“1”與“12”同著一色，必然致使圖1的12個區(qū)域須五色區(qū)分。這就違背了四色區(qū)分的原則。

從表3可知，圖1的合理的“四組”搭配方案共有10個。此10個“四組”搭配方案，按四色區(qū)分均能成立。又每一個“四組”搭配方案的著色方案按“4！”計(jì)，圖1的著色方案共有240種，并不是《轟動全球的四色問題》一文所說的12種。雖然其著色方案為240種，但其著色結(jié)果等式只有一個，為“m×4=n”（3×4=12）等式，其四色每一色的區(qū)域數(shù)為3個。由此得出結(jié)論，在遵循相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下，圖1的12個區(qū)域完全可以合理搭配分為“四組”，從中證明在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下可以做到四色區(qū)分，四色猜想成立。此證。

例證2

如圖2，是一個由17個區(qū)域組成的圖。經(jīng)“設(shè)劃單元”（設(shè)劃為五個單元）、“同一單元區(qū)域組合”、“單元與單元之間的區(qū)域（區(qū)域小組）組合”（前三步過程略）之后，產(chǎn)生“定型組”共40組，其中區(qū)域數(shù)為3個的有20組，區(qū)域數(shù)為4個的有15組，區(qū)域數(shù)為5個的有5組。詳見表4。

第四步，確定“四組”搭配方案。依照四色猜想的四色區(qū)分的原則和“四組”搭配過程中應(yīng)遵循的四項(xiàng)原則，經(jīng)對此40組“定型組”進(jìn)行合理搭配，確定可成立的“四組”搭配方案共有20個（需說清楚的，有10組區(qū)域數(shù)為3個的“定型組”不能搭配使用），其中其著色結(jié)果等式屬于A2等式“（m1×3）+（m2×1）=n”（即是“4×3+5×1=17”）有10個，屬于A4等式“（m1×2）+（m2×1）+（m3×1）=n”（即是“5×2+3×1+4×1=17”）有10個。詳見表5。

從表5可知，圖2的20個“四組”搭配方案，按四色區(qū)分均能成立。由此得出結(jié)論，在遵循相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下，圖2的17個區(qū)域完全可以合理搭配分為“四組”，從中證明在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下可以做到四色區(qū)分，四色猜想成立。此證。

例證3

圖3是一個由18個區(qū)域組成的圖。從該圖可看出，比之圖1、圖2，其圖的結(jié)構(gòu)模式比較復(fù)雜，區(qū)域與區(qū)域彼此之間的相鄰、非相鄰關(guān)系比較繁雜。筆者實(shí)踐表明，類似于圖3的圖，設(shè)劃單元時應(yīng)注意兩點(diǎn)：第一，以均存在相鄰關(guān)系的四個區(qū)域設(shè)劃為第一單元；第二，其他單元也要以密切相鄰（包括區(qū)域編號）的區(qū)域來設(shè)劃。依照此兩點(diǎn)，筆者將圖3的18個區(qū)域設(shè)劃為四個單元，具體是：“4，10，11，12”此4個均相鄰區(qū)域?yàn)榈谝粏卧?；?，8，9，14”此4個區(qū)域?yàn)榈诙卧弧?，2，3，5，6”此5個區(qū)域?yàn)榈谌龁卧?；?3，15，16，17，18”此5個區(qū)域?yàn)榈谒膯卧Ｔ诖?，需指出的，因圖3的區(qū)域與區(qū)域彼此之間的相鄰、非相鄰關(guān)系比較繁雜，故其“單元與單元之間的區(qū)域（區(qū)域小組）組合”的靈活性較大。經(jīng)“設(shè)劃單元”、“同一單元區(qū)域組合”、“單元與單元之間的區(qū)域（區(qū)域小組）組合”之后，產(chǎn)生“定型組”共574組，其中區(qū)域數(shù)為3個的有96組，區(qū)域數(shù)為4個的有110組，區(qū)域數(shù)為5個的有116組，區(qū)域數(shù)為6個的有168組，區(qū)域數(shù)為7個的有72組，區(qū)域數(shù)為8個的有12組。

因可供四組搭配的“定型組”有五百多組，可以肯定，可成立的四組搭配方案數(shù)在60種以上。對此，本人無法將其詳盡列出（其實(shí)，從“證明能否做到四色區(qū)分”這個角度來說，也沒有必要詳盡列出“四組搭配方案”，因?yàn)榱谐龅目沙闪⒌牟糠帧八慕M搭配方案”，足可對“能否做到四色區(qū)分”之問題做出肯定的證明），只好將其中“某類型”的16種“四組搭配方案”列出，見表6。

從表6可知，表中的16種“四組搭配方案”，是局限于“第一組‘定型組四個區(qū)域不變，其他三組‘定型組的區(qū)域略有變動”的情況下的16種方案。此16種“四組搭配方案”，按四色區(qū)分均能成立。由此得出結(jié)論，在遵循相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下，圖3的18個區(qū)域完全可以合理搭配分為“四組”，從中證明在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下可做到四色區(qū)分，四色猜想成立。此證。

3 “四組搭配方案”的簡捷方法

筆者從四色猜想命題只是證明能否做到四色區(qū)分，而不是求證“四組搭配方案”數(shù)多少這個證明點(diǎn)出發(fā)，避開對“四組搭配方案”數(shù)的求證，創(chuàng)立了“四組搭配方案”的簡捷方法，即是“設(shè)劃單元+表中搭配”的方法。

第一步，“設(shè)劃單元”。要求及做法沒有變。但有一點(diǎn)要予以注意的，就是類似于圖3的圖，一定要以均存在相鄰關(guān)系的四個區(qū)域設(shè)劃為第一單元。因?yàn)椋救搜芯拷Y(jié)果表明，展現(xiàn)在平（球）體表面的圖最多只能做到使“四個區(qū)域全相鄰”，第一單元的均相鄰的四個區(qū)域是四組區(qū)域搭配時“看齊”的“基準(zhǔn)區(qū)域”。

第二步，“制表搭配”。先編制好表格，表格內(nèi)容有四個欄目（1）四組序號；（2）各單元合理搭配的區(qū)域；（3）四組搭配方案結(jié)果；（4）著色結(jié)果等式。編制好表格后就進(jìn)入合理搭配程序。

在搭配過程中，必須遵循四色猜想的四色區(qū)分的原則和“四組”搭配過程中應(yīng)遵循的四項(xiàng)原則。搭配完成后，必須對照“四項(xiàng)原則”進(jìn)行檢查。

現(xiàn)以實(shí)圖進(jìn)行證明。

例證1 以上文圖3為例。

第一步，“設(shè)劃單元”。從該圖看出，均存在相鄰關(guān)系的四個區(qū)域共有五組，即：“4，10，11，12”、“4，7，10，15”、“7，9，10，14”、“7，10，14，15”、“10，13，14，15”?，F(xiàn)設(shè)“4，7，10，15”此四個區(qū)域?yàn)榈谝粏卧?；?，9，13，14”此四個區(qū)域?yàn)榈诙卧?；?1，12”此兩個區(qū)域?yàn)榈谌龁卧?；?，2，3，5，6”此五個區(qū)域?yàn)榈谒膯卧?；?6，17，18”此三個區(qū)域?yàn)榈谖鍐卧?/p>

第二步，“制表搭配”。

經(jīng)驗(yàn)證，表中四種“四組搭配方案”，不存在相鄰區(qū)域同一組的現(xiàn)象，也不存在某個區(qū)域重復(fù)出現(xiàn)或被遺漏的情況，均可成立。從中證明，在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下，圖3的18個區(qū)域可做到四色區(qū)分。因此，四色猜想成立。此證。

例證2 以上文圖2為例。

第一步，“設(shè)劃單元”。從該圖看出，圖的區(qū)域與區(qū)域彼此之間形成的規(guī)律有序、層次分明。據(jù)此，設(shè)區(qū)域“1”為第一單元；內(nèi)一環(huán)的“2，3，4，5，6”此五個區(qū)域?yàn)榈诙卧?；?nèi)二環(huán)的“7，8，9，10，11”此五個區(qū)域?yàn)榈谌龁卧?；外環(huán)的“12，13，14，15，16”此五個區(qū)域?yàn)榈谒膯卧?；區(qū)域“17”為第五單元。

第二步，“制表搭配”。

經(jīng)驗(yàn)證，表中兩種“四組搭配方案”，不存在相鄰區(qū)域同一組的現(xiàn)象，也不存在某個區(qū)域重復(fù)出現(xiàn)或被遺漏的情況，均可成立。從中證明，在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下，圖2的17個區(qū)域可做到四色區(qū)分。因此，四色猜想成立。此證。

4 結(jié)論

綜上證明，得出結(jié)論：展現(xiàn)在平（球）體表面的圖，不論其區(qū)域是多少、整體結(jié)構(gòu)多么復(fù)雜，均可通過“設(shè)劃單元，合理搭配”的方法，在遵循相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下，做到“四組”合理搭配，而且其可成立的方案數(shù)有多個。因而，依照“同一組區(qū)域著同一色”的對等原理，在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下，對圖的區(qū)域完全可做到四色區(qū)分，使四色猜想得以成立。

證畢。

2018年10月28日