梁韻瑾

摘 要：熵最初起源于熱學現(xiàn)象，是描述熱力學系統(tǒng)分子無序度的狀態(tài)量。隨著對熱力學熵研究的不斷深入，熵已經(jīng)逐漸脫離了熱力學學科范疇，具有了更深層的信息論、系統(tǒng)論等拓展領域和哲學韻味。本文試圖從熵的起源、熵的微觀含義、信息論、基于標準化熵的熵權理論等方面逐步分析、構建基于熱力學熵的數(shù)學模型，以此加深基于熵理論背后數(shù)學含義的理解，加強對熱力學熵的物理概念和拓展應用方面的認識。

關鍵詞：熵；統(tǒng)計熵；信息熵；熵權理論；數(shù)學模型

中圖分類號：U491.1 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）21-0218-02

1 引言

熵于1865年由物理學家克勞修斯首次提出，最初應用在傳統(tǒng)熱力學中，可用于表達熱力學系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)。熵作為一個抽象概念，經(jīng)過一百多年眾多學者的研究思考，熵的相關問題在理論上得到了很大突破，同時基于熵概念構建的一系列數(shù)學模型在應用上也滲透到信息學、社會科學、生物學、哲學、經(jīng)濟學和工程科學等眾多學科領域，但在其應用泛化的同時，不可避免地也帶來概念和理論上的層次混亂[1]，因此梳理熵的發(fā)展歷程，研究基于熱力學熵的數(shù)學模型構建過程對科學的發(fā)展及應用的規(guī)范具有重大現(xiàn)實意義。

2 熵的起源

熵是表征熱力學系統(tǒng)分子無序度的物理量，具有宏觀定義與微觀定義[2]，早在1824年卡諾提出了卡諾機循環(huán)定理，并說明卡諾熱機在理想狀態(tài)下時其高溫吸熱量等于處于低溫狀態(tài)下的放熱量，即，這里Q表示熱機具有的能量，Tx表示熱機具有的溫度，其熱溫比前后不變。卡諾機循環(huán)揭示了能量轉換的規(guī)律，也為熱力學第二定律的提出打下了良好基礎。1865年，克勞修斯提出了熱力學第二定律，表示理想系統(tǒng)在可逆狀態(tài)下時，在不可逆狀態(tài)下時，并定義了熵這一物理量，表征為系統(tǒng)熱量與溫度的比值，即，由于能量不易測量，故用來表示熵。

在可逆狀態(tài)下時：

在不可逆狀態(tài)下時：

由于在孤立系統(tǒng)中系統(tǒng)不與外界進行能量交換，所以△Q=0，即△S≥0，這就是著名的熱力學第二定律，又名熵增原理，這里的熵叫做熱力學熵，表示系統(tǒng)中熱量轉化為功的程度和能量在空間中分布的均勻程度。這是熵的首次提出，此時熵只具有熱力學的宏觀意義，表征熱力學系統(tǒng)分子混亂度的一個狀態(tài)量，其大小只與初末態(tài)有關，與所經(jīng)歷的過程無關。

3 熵的微觀含義

熱力學第二定律系統(tǒng)下的熵不僅具有宏觀定義，而且還具有微觀表述。早在1872年玻爾茲曼便提出了在分子運動中熵的微觀含義，他定義的統(tǒng)計熵是在微觀態(tài)上由大量統(tǒng)計得出的結果[3]，S=klnΩ，其中Ω表示宏觀態(tài)中所對應的微觀狀態(tài)的數(shù)目，k為玻爾茲曼常數(shù)，取值約為1.38×10-23J/K。根據(jù)玻爾茲曼提出的等概率原理，當宏觀態(tài)中微觀狀態(tài)被取到的概率相等時，P=，P表示概率，即：

玻爾茲曼將熱力學熵與概率統(tǒng)計相互聯(lián)系起來得到熵的微觀表述，其中S=klnΩ表示熱力學系統(tǒng)的紊亂程度。當系統(tǒng)處于非平衡狀態(tài)時，系統(tǒng)處于有序狀態(tài)，能量密度分布不均勻，混亂度較小，熵較??；系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，系統(tǒng)處于無序狀態(tài)，能量密度分布均勻，混亂度較大，熵較大。由此看出，熵越大表示系統(tǒng)越趨向于平衡態(tài)，反之相反。此時熵便從宏觀熱力學角度推廣到了以量子理論為基礎的統(tǒng)計熱力學微觀層次。

4 信息熵

1948年信息論的創(chuàng)始人香農基于對熵在熱力學中的研究，受到玻爾茲曼從微觀角度描述熱力學熵的啟發(fā)，首先系統(tǒng)性地提出了信息的度量方法，他利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法，把熵作為一個隨機事件的不確定性或信息量的度量，把獲得的信息用來表示消除信息不確定性的可能，將熵從熱力學和統(tǒng)計力學角度推廣到了信息計量的信息熵角度，從而奠定了現(xiàn)代信息論的科學理論依據(jù)[4]。香農得出的信息熵具有一定的哲學韻味，將信息計量與分子統(tǒng)計進行了類比。假設信息源中有無數(shù)信號，其中某種信號的概率為Pi，此時信息量為-lnPi。當信號有n種且其概率P均相等時，該信息源中的平均信息量為：

這個新推出的與平均信息量相關聯(lián)的公式與玻爾茲曼推出的熵的公式有驚人的一致性，于是香農大膽地假設出信息熵這一概念，用于表達一個系統(tǒng)，即一個信息源中所含有的平均信息量。

當隨機變量為離散型數(shù)據(jù)時：

其中c為常數(shù)，取值與信息度量單位選擇有關。

當隨機變量為連續(xù)型數(shù)據(jù)時：

其中f（x）為連續(xù)型隨機變量x的概率密度分布函數(shù)。當系統(tǒng)中信息量，得到信息量的途徑、手段越多時，信息熵越??；當系統(tǒng)中信息量，得到信息量的途徑、手段越少時，信息熵越大。信息熵可用于評判一個信息體系的正負值，可作為一種工具去幫助信息流由無序趨向有序，熵值減小的方向轉移。信息熵的提出又把熵擴展至了信息學的領域。

5 基于標準化熵的熵權理論

截至信息熵概念的建立，熵已具有了一定哲學意義，即用熵來描述系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)。此時學者們希望建立一個有普適意義的熵，即具有標準性，可用于各種系統(tǒng)中，這就是標準化熵[5-6]。標準化熵是系統(tǒng)約束性的度量，可用于度量系統(tǒng)的標準化狀態(tài)。系統(tǒng)約束較低時，熵較高；而系統(tǒng)約束較高時，熵較低。熵權法也隨之而建立，表示各指標的變異程度，依照信息論，信息熵：

，其中

對于有n個待評項目，m個評價指標的系統(tǒng)而言，某指標rj的頻率或概率用該指標在n個待評項目下的歸一化系數(shù)表示，即：

其中rij為待評指標觀測值。進而求得指標的效用值為：

則指標的權重值為：

運用各指標的熵權進行加權計算，可以得出更為準確、客觀的結果。當指標變異程度越小，系統(tǒng)越有序，權重越小，對應的熵權越小。當指標變異程度越大，系統(tǒng)越無序，權重越大，對應的熵權越大[7]。

6 結語

熵不僅在理論上具有極大成果，在應用上的延伸也十分廣泛，目前熵已經(jīng)擴展到信息學、社會科學、生物學、哲學、經(jīng)濟學和工程科學等學科領域。比如應用熵理論可以表示社會的負面程度，表征社會的混亂程度。薛定諤引入的負熵概念可以在生物界表現(xiàn)人體及其他生物都朝向混亂度增加的方向移動。在工程應用中，熵也可以用來分析項目可靠性，指導工程的有效進行等。熵在短短一百多年內由傳統(tǒng)熱力學逐漸擴展到了如今廣泛應用的各種領域，從宏觀和微觀各角度都賦予了熵豐富的內涵，實現(xiàn)了從理論走進實際，并上升到哲學意義的過程。作為一個前景良好，基礎扎實的概念，熵在今后也必有更大的突破。

參考文獻

[1]董春雨，姜璐.試論熵概念的層次性[J].自然辯證法研究，1995，（8）：23-26.

[2]李秀燕，肖榮輝，陳賜海.熵的概念及其拓展[J].漳州師范學院學報（自然科學版），2009，（3）：63-67.

[3]李林，單長吉.熵的概念理解及應用[J].黑龍江科技信息，2014，（14）：29.

[4]張紹伶.基于熵權法的水利工程工期方案評價研究[D].大連：大連理工大學，2014.

[5]麥綠波.標準化學科熵的概念及其數(shù)學模型的創(chuàng)建（上）[J].中國標準化，2012，（11）：79-82.

[6]麥綠波.標準化學科熵的概念及其數(shù)學模型的創(chuàng)建（下）[J].中國標準化，2012，（12）：79-82.

[7]劉瓊，史諾.熵權法在教學評價中的量化分析與實證研究[J].長沙航空職業(yè)技術學院學報，2015，（3）：21-24.