蔡蓉

我們知道，使用刻度尺、量角器等工具可以畫一條線段等于已知線段，畫一個(gè)角等于已知角，畫已知線段的中點(diǎn)，畫已知角的平分線等等.那么，如果沒有量角器，直尺又上沒有刻度，該如何畫圖呢？

曲和直是幾何圖形的基本特征，人類最早會(huì)畫的幾何圖形就是直線和圓.畫直線時(shí)使用一個(gè)邊緣平直的工具，畫圓時(shí)使用一端固定而另一端能旋轉(zhuǎn)的工具，這樣就產(chǎn)生了直尺和圓規(guī).在數(shù)學(xué)中，我們常限定使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，這就是尺規(guī)作圖.

比如，我們可以通過尺規(guī)作圖作出已知角（∠AOB）的平分線，如圖1，具體作法如下：

（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點(diǎn)C、D.

（2）分別以點(diǎn)C、D為圓心，大于[12CD]長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)P.

（3）作射線OP.

射線OP就是∠AOB的平分線.

再如，我們還可以通過尺規(guī)作圖作已知線段（AB）的垂直平分線（垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線），如圖2，具體作法如下：

（1）分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于[12AB]的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C、D.

（2）過C、D兩點(diǎn)作直線.

直線CD就是線段AB的垂直平分線.

等同學(xué)們到初二階段學(xué)習(xí)了三角形全等的相關(guān)知識(shí)以后，就可以知道圖1中射線OP為什么是∠AOB的平分線、圖2中直線CD為什么是線段AB的垂直平分線了.

我們不禁要思考，是不是所有圖形都可以用尺規(guī)作圖作出來呢？漫長的作圖實(shí)踐，按尺規(guī)作圖的要求，人們作出了大量符合給定條件的圖形，即便是一些較為復(fù)雜的作圖問題，獨(dú)具匠心地經(jīng)過有限步驟也能作出來.到了大約公元前6世紀(jì)到4世紀(jì)之間，古希臘人遇到了令他們百思不得其解的三個(gè)作圖問題.

一、三等分角

關(guān)于三等分角問題，可能有人會(huì)認(rèn)為，只是由二等分到三等分一個(gè)小小的變化，沒有什么困難吧.古希臘每一位接觸到這個(gè)問題的人都認(rèn)為它簡單，毫不猶豫地拿起了直尺和圓規(guī)，但時(shí)間一天天過去，磨禿了無數(shù)支筆，卻始終沒有畫出符合題意的圖形.這個(gè)看似平淡無奇的幾何問題，吸引了許許多多的數(shù)學(xué)家，從古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德到笛卡爾、牛頓，都紛紛拿起了直尺和圓規(guī)來考驗(yàn)自己的智力，結(jié)果他們都失敗了.兩千多年過去了，一代又一代數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者為這個(gè)問題絞盡腦汁，卻始終沒有人能沖出這個(gè)迷宮.

二、立方倍積

傳說這問題的來源，可追溯到公元前429年，一場瘟疫襲擊了希臘第羅斯島（Delos），造成四分之一的人口死亡.島民們推派一些代表去神廟請(qǐng)示阿波羅的旨意.神指示說：“要想遏止瘟疫，得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍.”人們便把每邊增長一倍，結(jié)果體積當(dāng)然就變成了8倍，瘟疫依舊蔓延；接著人們又試著把體積改成原來的2倍，但形狀卻變?yōu)橐粋€(gè)長方體……第羅斯島人在萬般無奈的情況下，只好鼓足勇氣到雅典去求救于當(dāng)時(shí)著名的學(xué)者柏拉圖.柏拉圖經(jīng)過長時(shí)間的思考也無法解決，他搪塞說：“由于第羅斯人不敬幾何學(xué)，神靈非常不滿，才降臨了這場災(zāi)難.”

這個(gè)悲慘的故事是人們虛構(gòu)的，但其中提到的數(shù)學(xué)問題就是著名的“立方倍積問題”，又叫“第羅斯問題”. 用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是：已知一個(gè)立方體，求作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的兩倍.

三等分角、立方倍積這兩個(gè)問題直到1837年才被法國的一名年輕數(shù)學(xué)家旺策爾（Wantzel，1814～1848）嚴(yán)格證明為不可能實(shí)現(xiàn).

三、化圓為方

公元前5世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家安納薩格拉斯在研究天體過程中發(fā)現(xiàn)，太陽是個(gè)大火球，而不是所謂的阿波羅神.由于這一發(fā)現(xiàn)有悖宗教教意，結(jié)果他因褻瀆神靈獲罪，被抓進(jìn)了牢房.在監(jiān)獄里，安納薩格拉斯對(duì)自己的遭遇憤憤不平，夜不能眠.夜深了，月光透過正方形的鐵窗牢房，安納薩格拉斯不斷地變換觀察的方位，一會(huì)兒看見圓月比方窗大，一會(huì)兒看見方窗比圓月大.最后他說：“算了，就算兩個(gè)圖形的面積一樣好了.”于是他思考了這樣一個(gè)問題：怎樣作出一個(gè)正方形，使它的面積與一個(gè)圓的面積相等？當(dāng)然，他失敗了.兩千多年來，無數(shù)數(shù)學(xué)家也都失敗了.

該問題直到1882年才被德國數(shù)學(xué)家林得曼（Lindemann，1852～1939）證明為不可能實(shí)現(xiàn).

在三大幾何作圖問題的探索過程中，有不計(jì)其數(shù)的數(shù)學(xué)家們前赴后繼地為之努力，甚至為此耗費(fèi)了一生的光陰.在其中，有的人堅(jiān)信問題一定會(huì)有解決的方法，他們認(rèn)為只是還沒有找到這個(gè)方法而已.有的人則在解決問題的過程中靈活變通，巧妙地增加了一些條件，以此來幫助解答.例如，阿基米德在直尺上注明了兩個(gè)點(diǎn)，解決了三等分角問題；柏拉圖用了兩塊三角板解決了倍立方問題……還有的數(shù)學(xué)家在此基礎(chǔ)上，探索出了一些新的數(shù)學(xué)問題與理論.例如，柏拉圖的學(xué)生門奈赫莫斯為了解決立方倍積問題發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線；在求解三等分任意角的過程中，希臘數(shù)學(xué)家相繼發(fā)展了高等幾何，其中有尼科梅德斯的蚌線、希皮亞斯的割圓曲線，還有阿基米德的螺線等等.

三大幾何作圖問題的真正解決是在19世紀(jì)解析幾何創(chuàng)立之后，人們知道了直線與圓分別是二元一次方程和二元二次方程的軌跡，交點(diǎn)則是方程組的解，簡單的代數(shù)知識(shí)告訴我們，一個(gè)幾何量是否能用尺規(guī)作出是看它能否由已知量經(jīng)過有限次加、減、乘、除、開平方運(yùn)算得到.

我們不妨來分析一下“化圓為方”問題.設(shè)一個(gè)正方形的邊長為a，一個(gè)圓的半徑為r，要使其面積相等，即a2=πr2.首先要用尺規(guī)作出π.要作π，只要考慮π是否為有理數(shù).π不是有理數(shù)，這是由數(shù)學(xué)家林得曼首先證明的，從而確認(rèn)了化圓為方是不能用尺規(guī)作圖解決的.

古希臘的三大幾何作圖難題，是數(shù)學(xué)史上璀璨的一筆.其魅力不僅僅體現(xiàn)在其問題本身，更多的是數(shù)學(xué)家們的不懈努力、希臘人的巧思、阿拉伯人的學(xué)識(shí)、西方文藝復(fù)興時(shí)期大師們的睿智以及19世紀(jì)最終的完美解答.正是有他們一代一代的持之以恒，正是有后浪推前浪的探索研究，才會(huì)有絢麗的數(shù)學(xué)史，才會(huì)有數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展.

（作者單位：江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)）