☉浙江省安吉縣昌碩高級(jí)中學(xué) 王家斌

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》提到：高中數(shù)學(xué)課程由必修系列課程和選修系列課程組成，必修系列課程是為了滿足所有學(xué)生的共同數(shù)學(xué)需求；選修系列課程是為了滿足學(xué)生的不同數(shù)學(xué)需求，它仍然是學(xué)生發(fā)展所需要的基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)課程.近年來(lái)，在教學(xué)中開(kāi)設(shè)選修課程，大量研究資料表明，多數(shù)學(xué)校在高一、高二年級(jí)中安排有固定的選修課時(shí)，但如何開(kāi)設(shè)好選修課？怎樣選修課程才是對(duì)必修課程的有效補(bǔ)充？才能實(shí)現(xiàn)開(kāi)拓學(xué)生視野？促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣產(chǎn)生的目標(biāo)呢？通過(guò)閱讀大量資料，借鑒一些比較成熟成功的案例，筆者形成了一些自己淺顯的思考.考慮到選修課程課時(shí)的限制，同時(shí)又要發(fā)揮其促進(jìn)必修課教學(xué)的作用，筆者認(rèn)為選修課選題盡量著眼微觀，以小促大，實(shí)現(xiàn)短、平、快.

一、微專題

（一）微專題的定義

微專題是指一個(gè)相關(guān)聯(lián)的、可以單獨(dú)研究的知識(shí)體系、某種數(shù)學(xué)思想方法、一個(gè)研究主題等.微專題教學(xué)是指針對(duì)某一具體知識(shí)點(diǎn)，從該知識(shí)點(diǎn)的基本概念、基本原理、基本規(guī)律入手，內(nèi)化知識(shí)，構(gòu)建結(jié)構(gòu)，進(jìn)行知識(shí)遷移、整合并能運(yùn)用基本概念和原理解決問(wèn)題的一種“小切口”教學(xué)方法.微專題教學(xué)通常選擇熱點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)等“點(diǎn)問(wèn)題”進(jìn)行較深層次的研究，根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系和相通之處，讓學(xué)生理解知識(shí)、方法的本質(zhì)，達(dá)到以點(diǎn)帶面、舉一反三的目的.

（二）微專題的基本結(jié)構(gòu)

微專題的基本結(jié)構(gòu)包括以下四個(gè)方面：知識(shí)清單（交代本微專題的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法）；基礎(chǔ)練習(xí)（比較簡(jiǎn)單的便于學(xué)生回顧知識(shí)的練習(xí)題）；例題精選（有代表性的典型例題）；鞏固練習(xí)（有針對(duì)性的練習(xí)題）.

（三）微專題一例：《數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題的研究》

【知識(shí)清單】

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，其單調(diào)性的研究通常也是伴隨著數(shù)列最值的求解.這類問(wèn)題的解決通常還是借助函數(shù)單調(diào)性的研究方法如圖像法和恒成立的思想.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

（1）求以下數(shù)列中的最大項(xiàng)：an=n2-8n+5；an=n2-7n+6.

（2）若an=n2+λn+3（其中λ為實(shí)常數(shù)），n∈N*，且數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

【例題精講】

例題：通項(xiàng)公式為an=an2+n的數(shù)列{an}，若滿足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an+1對(duì)n≥8恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

變式：數(shù)列{an}滿足λ為實(shí)常數(shù)，n∈N*），最大項(xiàng)為a8，最小項(xiàng)為a9，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)_____.

意圖：選修課對(duì)必修內(nèi)容的有效補(bǔ)充，恰恰是其“短小、精悍”的特點(diǎn)，選修課因?yàn)榭梢詫?duì)難點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行專題性解決，從而成為教學(xué)的有效輔助手段.本案例的本質(zhì)恰恰從函數(shù)角度思考了數(shù)列最值的研究，將單調(diào)性研究的重點(diǎn)滲透到數(shù)列之中，成為學(xué)生理解數(shù)列最值的關(guān)鍵，是高效、有效的典范.

二、微探究

微探究案例一則：《拋物線的一個(gè)特有性質(zhì)及其應(yīng)用探究》

提出問(wèn)題：AB是拋物線y2=2px（p＞0）的過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)弦，試問(wèn)：弦AB何時(shí)最短？

學(xué)生憑直觀感受回答：當(dāng)AB垂直x軸時(shí)，弦AB最短.（有待證明）

教師拋出一個(gè)想法：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=，即AB垂直于x軸時(shí)取得最小值.

學(xué)生提出疑惑：這里不等式用得有點(diǎn)奇怪，好像有點(diǎn)問(wèn)題.我們?cè)趹?yīng)用基本不等式求最值的三個(gè)條件（一正、二定、三相等）中“定值”是否滿足？（引導(dǎo)學(xué)生探究x1x2是否為定值）

將點(diǎn)F一般化為x軸上任意一點(diǎn)（m，0），探究拋物線的一條特殊性質(zhì)：若過(guò)拋物線y2=2px（p＞0）對(duì)稱軸上一點(diǎn)M（m，0）的直線l與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則x1x2=m2，y1y2=-2pm成立.特別地，當(dāng)M為拋物線焦點(diǎn)成立（.具體探究過(guò)程仿照文［4］，此處省略，由于課堂時(shí)間的限制，文［4］中提到的兩條推論并沒(méi)有在實(shí)際教學(xué)中探究）

意圖：選修的“微”還可以體現(xiàn)在師生就單一問(wèn)題的積極深入研究和探討之中，這樣的研究在常態(tài)化教學(xué)中顯然并不多見(jiàn)，但是在選修課中可以放手一試，其主要目的在于將學(xué)生的參與性開(kāi)發(fā)出來(lái)，有效地提高學(xué)生主動(dòng)參與交流的情境之中，形成真正的建構(gòu)教學(xué)和有效教學(xué).另一方面，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.普通高中數(shù)學(xué)教材中，幾乎每章每節(jié)都設(shè)有“思考”和“探究”欄目，可見(jiàn)教材編者用心之良苦.然而，在具體教學(xué)過(guò)程中，受教學(xué)進(jìn)度的影響，教師無(wú)法給予學(xué)生充足的時(shí)間進(jìn)行探究，往往是教師直接給出結(jié)論，抑或是公開(kāi)課中的“偽探究”.

三、微辯論

（一）選題理由

平時(shí)和學(xué)生交流的過(guò)程中，多數(shù)學(xué)困生都反映上課能聽(tīng)懂，就是課后作業(yè)不太會(huì)做，考試也不理想，即使是考試成績(jī)好的學(xué)優(yōu)生有時(shí)也是糊里糊涂說(shuō)不出個(gè)所以然來(lái).教育同行也經(jīng)常感嘆，某道題我講過(guò)多少遍了不知道，學(xué)生還是考不出或還會(huì)犯錯(cuò).從認(rèn)知心理學(xué)的角度來(lái)理解，學(xué)習(xí)應(yīng)該是個(gè)主動(dòng)參與的過(guò)程而不是被動(dòng)的接受，教師僅憑個(gè)人預(yù)想學(xué)生會(huì)出現(xiàn)的誤解，往往做不到有針對(duì)性的教學(xué).讓學(xué)生說(shuō)，使其暴露思維的缺陷或理解的偏差，顯得尤為重要.

（二）選題原則

學(xué)生在說(shuō)解題思路的過(guò)程中，將自己的思維暴露在老師和同學(xué)面前，將自己思考的得與失都能展現(xiàn)，教師在選題時(shí)，有意識(shí)地選擇一些參與度高，容易產(chǎn)生爭(zhēng)議又能在短時(shí)間達(dá)成共識(shí)的辯題.

（三）案例一則：《判斷三角形形狀》

例題：在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，試判斷△ABC的形狀.

學(xué)生乙：因?yàn)锳+B+C=π，所以sinC=sin（A+B）.

又2cosAsinB=sinC，所以2cosAsinB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB-cosAsinB=0，所以sin（A-B）=0，所以A=B，又（a+b+c）（a+b-c）=3ab，所以a2+

又A=B，所以△ABC是等邊三角形.

意圖：本討論課是筆者嘗試的一次選修辯論，我們知道判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角（如：a=2RsinA，a2+b2-c2=2abcosC等），利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.此時(shí)注意一些常見(jiàn)的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系.如：sinA=sinB?A=B；sin（A-B）=0?A=B；sin2A=sin2B?A=B或A+等；二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sin等，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.相比老師的直接灌輸，如果是學(xué)生自己說(shuō)出來(lái)，效果就會(huì)完全不一樣.

總之，就高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容而言，由于課時(shí)的限制，我們只能讓學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)且重要的內(nèi)容.為此，合理選題，正確引導(dǎo)，充分發(fā)揮選修課對(duì)正常教學(xué)的補(bǔ)充完善和有益補(bǔ)充的作用，成為選修課教師必須深入思考的問(wèn)題.近幾年非常流行的微課，對(duì)教師能力的培養(yǎng)起到了很大幫助.如果將微探究、微辯論甚至微研討引入選修課堂，相信也一定能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科不再畏懼，甚至充滿激情并能享受其中.

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

2.王第成.教學(xué)：請(qǐng)讓學(xué)生先來(lái)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（9）.

3.沈恒，王勇強(qiáng).碎片化學(xué)習(xí)下的云端微視頻教學(xué)初探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（10）.

4.趙祥枝.引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（5）.F