姚運(yùn)志, 孟 晨, 王 成, 李寶晨

(1. 陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)導(dǎo)彈工程系, 河北 石家莊 050003; 2. 陸軍工程大學(xué)科研部, 河北 石家莊 050003)

0 引 言

隨著科技的不斷發(fā)展及其在制造業(yè)的應(yīng)用,設(shè)備的功能日益豐富,結(jié)構(gòu)也日趨復(fù)雜。在設(shè)備的設(shè)計(jì)階段,多部件系統(tǒng)因其功能強(qiáng)大,結(jié)構(gòu)緊密而受到設(shè)計(jì)者的青睞。然而,這也對(duì)設(shè)備的維修提出了更高的要求[1]。對(duì)于多部件系統(tǒng),由于部件間失效相關(guān)(含經(jīng)濟(jì)相關(guān)、結(jié)構(gòu)相關(guān))的廣泛存在,針對(duì)單部件的維修策略不再適用,科學(xué)合理的維修策略的制定難度大增。從20世紀(jì)80年代起,針對(duì)部件間失效相關(guān)的問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者展開(kāi)了一系列研究[2-5]。

早期的研究偏重于對(duì)失效相關(guān)的描述與建模,近年來(lái),基于失效相關(guān)的模型描述,研究的重心向維修策略?xún)A斜。在文獻(xiàn)[6]中,選擇隨機(jī)關(guān)聯(lián)系數(shù)來(lái)描述部件間的相關(guān)性,各部件之間的失效相關(guān)性受時(shí)間影響。文獻(xiàn)[7]認(rèn)為系統(tǒng)中某部件的失效會(huì)使其他關(guān)聯(lián)部件失效率提高。文獻(xiàn)[8-9]針對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的系統(tǒng),對(duì)其部件間的失效相關(guān)進(jìn)行建模分析。國(guó)內(nèi)學(xué)者在多部件系統(tǒng)維修策略的研究上也傾注了更多的精力。文獻(xiàn)[10]以?xún)刹考到y(tǒng)為基礎(chǔ),用關(guān)聯(lián)系數(shù)描述故障相關(guān)性,構(gòu)建維修費(fèi)率函數(shù),討論了多部件系統(tǒng)預(yù)防維修策略問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]針對(duì)兩部件系統(tǒng),以最低系統(tǒng)期望成本率為目標(biāo),研究了預(yù)防性維修與機(jī)會(huì)維修相結(jié)合的維修策略。文獻(xiàn)[12]綜合考慮時(shí)間相關(guān)、結(jié)構(gòu)相關(guān)、功能相關(guān),對(duì)成組維修策略進(jìn)行優(yōu)化。目前的研究存在以下問(wèn)題:①現(xiàn)有文獻(xiàn)側(cè)重于多部件系統(tǒng)維修策略?xún)?yōu)化的方法提出及模型建立,對(duì)具體求解方法討論較少;②現(xiàn)有模型對(duì)于失效相關(guān)和經(jīng)濟(jì)相關(guān)沒(méi)有同時(shí)定量的描述;③沒(méi)有一個(gè)科學(xué)合理的方法來(lái)描述部件狀態(tài)遷移對(duì)其他部件的影響;④對(duì)于考慮失效相關(guān)與機(jī)會(huì)維修的多部件系統(tǒng)維修策略問(wèn)題,現(xiàn)有的方法還不能給出具體的求解方法。

基于以上分析,本文在綜合考慮失效相關(guān)和經(jīng)濟(jì)相關(guān)的基礎(chǔ)上,從建模和求解算法兩方面展開(kāi)研究,為多部件系統(tǒng)維修策略?xún)?yōu)化提供了一種新的可行方案。本文的創(chuàng)新性貢獻(xiàn)為:①同時(shí)定量地考慮了失效相關(guān)和經(jīng)濟(jì)相關(guān);②使用轉(zhuǎn)移概率矩陣定量描述部件狀態(tài)遷移對(duì)系統(tǒng)中其他部件狀態(tài)的影響;③采用聚合迭代算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)模型的求解,并對(duì)正確性和收斂性給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。

1 多部件系統(tǒng)折扣準(zhǔn)則模型

馬爾可夫過(guò)程的優(yōu)化準(zhǔn)則主要包括折扣準(zhǔn)則、平均準(zhǔn)則和總報(bào)酬準(zhǔn)則等。折扣準(zhǔn)則是以最小化折扣總成本為優(yōu)化目標(biāo),更適用于維修決策模型的建立。本文基于折扣準(zhǔn)則,建立多部件系統(tǒng)折扣準(zhǔn)則模型,得到系統(tǒng)的最小折扣總成本。

1.1 模型假設(shè)

為明確多部件系統(tǒng)維修模型的適用對(duì)象,給出以下假設(shè):

(1) 每個(gè)部件的劣化過(guò)程服從連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫過(guò)程;

(2) 通過(guò)狀態(tài)監(jiān)測(cè)可得到系統(tǒng)中每個(gè)部件的狀態(tài);

(3) 系統(tǒng)中各部件存在失效相關(guān),即某部件的失效會(huì)導(dǎo)致其他部件的失效或劣化速度提高;

(4) 系統(tǒng)中各部件存在經(jīng)濟(jì)相關(guān),即同時(shí)對(duì)多個(gè)部件進(jìn)行維修的成本低于單獨(dú)維修各部件的成本的代數(shù)和;

(5) 為切于實(shí)際,部件的預(yù)防性維修成本低于修復(fù)性維修成本,部件的運(yùn)行成本低于維修成本。

(6) 維修過(guò)程中不會(huì)使系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生遷移;

(7) 兩個(gè)連續(xù)的維修決策時(shí)刻之間不會(huì)發(fā)生部件的狀態(tài)遷移。

1.2 模型建立

為便于連乘運(yùn)算與求和運(yùn)算的書(shū)寫(xiě),用xi和yi分別表示部件i的兩種狀態(tài)(xi和yi與上一段中xi意義相同)。若系統(tǒng)中只有部件i失效,則用Hi(yi|xi)表示部件i由狀態(tài)xi到y(tǒng)i轉(zhuǎn)移概率,對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為Hi。若系統(tǒng)中存在其他部件失效,則用Qi(yi|xi)表示部件i由狀態(tài)xi到y(tǒng)i轉(zhuǎn)移概率,對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為Qi。

多部件系統(tǒng)的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可表示為

其中

Pr(yi|xi,ai)=

(1)

(2)

(3)

式中,cc和cs分別表示系統(tǒng)運(yùn)行的可變成本系數(shù)和固定成本,cs>0。系統(tǒng)運(yùn)行的可變成本與系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān),cc反映了系統(tǒng)在不同狀態(tài)下運(yùn)行成本差異的程度,其值越大則差異越大,系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)運(yùn)行成本的影響越大。

(4)

(5)

(6)

(7)

此線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為

式(6)、式(7)求解的目標(biāo)是一致的,即對(duì)失效相關(guān)的多部件系統(tǒng)中的每一個(gè)部件選擇合適的維修行為,在保證系統(tǒng)可靠性的前提下,使得維修成本最低(得到最小折扣總成本)。得到最小折扣總成本的維修行為組合,稱(chēng)之為最優(yōu)維修策略。最優(yōu)維修策略A*可以這樣描述:

對(duì)于式(7)中的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,當(dāng)規(guī)模較小時(shí),很容易解決。但是,若問(wèn)題的規(guī)模很大時(shí),計(jì)算量以及所需的內(nèi)存空間及計(jì)算時(shí)間都難以承受。為此,提出下述算法,通過(guò)聚合的方法將問(wèn)題的規(guī)模變小,并運(yùn)用迭代的方法求其最優(yōu)解。

2 聚合迭代算法

本節(jié)提出的聚合迭代算法將較大規(guī)模的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題集合成一個(gè)較小規(guī)模的聚合線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,計(jì)算得到后者的最優(yōu)解后,再通過(guò)分解的方法將其分解成原線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的近似解,然后以此近似解作為聚合步驟的參數(shù)重新進(jìn)行“聚合-分解”得到新的近似解,經(jīng)過(guò)有限次迭代,使近似解收斂到原問(wèn)題的最優(yōu)解。最后以此最優(yōu)解求出最優(yōu)維修策略。

圖1 聚合迭代算法流程圖Fig.1 Flow chart of iterative algorithm

步驟2以第t次迭代得到的結(jié)果為參數(shù)聚合原線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題(7):

m=1,2,…,M;k=1,2,…,K

(8)

l=1,2,…,M

(9)

m=1,2,…,M;l=1,2,…,M;k=1,2,…,K

(10)

步驟3求解問(wèn)題(11),得到t+1次迭代的聚合最優(yōu)解。

m=1,2,…,M;k=1,2,…,K

(11)

步驟4分解步驟3中得到的最優(yōu)解,得到以下變量:

(12)

若變量

(13)

步驟5計(jì)算最優(yōu)維修策略。

(14)

在步驟4中,為保證算法的收斂性,使用了非線(xiàn)性算子T,T對(duì)V運(yùn)算定義為

(15)

(16)

m=1,2,…,M

(17)

(18)

(19)

由于不滿(mǎn)足不等式(13),則

(20)

證畢

(21)

由于線(xiàn)性算子T為壓縮映射,所以有式(22)成立。

0<α<1

(22)

由不等式(13)可知不等式(23)成立

(23)

證畢

3 數(shù)值算例

本節(jié)給出兩個(gè)數(shù)值算例,用以說(shuō)明失效相關(guān)程度對(duì)折扣總成本以及最優(yōu)維修策略的影響,探究多部件系統(tǒng)折扣準(zhǔn)則模型中成本參數(shù)對(duì)最優(yōu)維修策略的影響。

3.1 失效相關(guān)程度對(duì)折扣總成本及最優(yōu)維修策略的影響

當(dāng)系統(tǒng)中各部件存在失效相關(guān),維修成本在總成本中占有較高比重時(shí),失效相關(guān)程度越高,折扣總成本也就越高,相應(yīng)的最優(yōu)維修策略相對(duì)于無(wú)失效相關(guān)時(shí)的維修策略,差異也就越大。為了說(shuō)明這一結(jié)論,給出以下3種情況。

情況1系統(tǒng)中各部件不存在失效相關(guān),Hi=Qi,對(duì)?i∈{1,2,…,n};

假定系統(tǒng)由6個(gè)劣化特性(包括劣化狀態(tài)分級(jí)、失效對(duì)其他部件的影響等與本文計(jì)算模型相關(guān)的參數(shù))相同的部件組成(U1～U6),采用文獻(xiàn)[10]中的方法,基于失效相關(guān)多部件系統(tǒng)的實(shí)際數(shù)據(jù),對(duì)解析模型中的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行擬合求解,進(jìn)而得到相關(guān)的成本參數(shù)。本文設(shè)定的成本參數(shù)和轉(zhuǎn)移概率矩陣見(jiàn)表1和表2,設(shè)維修費(fèi)用的單位為“1”。為簡(jiǎn)化分析,考慮到假定的維修成本占系統(tǒng)總成本比重較高,這里將系統(tǒng)運(yùn)行成本暫時(shí)忽略不計(jì)。

下面應(yīng)用聚合迭代算法對(duì)上述情況的最優(yōu)折扣總成本V*和最優(yōu)維修策略A*進(jìn)行計(jì)算。最優(yōu)折扣總成本的計(jì)算結(jié)果如表3所示,由此可得到以下結(jié)論。

表1 維修成本參數(shù)

表2 轉(zhuǎn)移概率矩陣

表3 最優(yōu)折扣總成本

(2) 對(duì)?i,j∈{1,2,…,n},當(dāng)i

上述分析表明,若系統(tǒng)中存在失效相關(guān),當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行成本相對(duì)于維修成本較小且系統(tǒng)規(guī)模較大時(shí),考慮失效相關(guān)制定的維修策略能顯著降低維修成本,降低的程度隨著失效相關(guān)性的增強(qiáng)而提高。

圖2 轉(zhuǎn)移概率矩陣為Qi和時(shí)的維修成本增加比率Fig.2 Increase ratio of maintenance cost when transfer probability matrices are Qi and

3.2 成本參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)折扣總成本的影響

表4 維修成本參數(shù)

(1)c0對(duì)最優(yōu)折扣總成本的影響

圖3 不同c0下的V*與Fig.3 V* and when c0 changes

(2)cf與cp對(duì)最優(yōu)折扣總成本的影響

圖4 不同cf下的V*與Fig.4 V* and when cf changes

(3)cs對(duì)最優(yōu)折扣總成本的影響

圖5 不同cp下的V*與Fig.5 V* and when cp changes

圖6 不同cs下的V*與Fig.6 V* and when cs changes

(4)cc對(duì)最優(yōu)折扣總成本的影響

圖7 不同cc下的V*與Fig.7 V* and when cc changes

3.3 算法對(duì)比

本節(jié)探究應(yīng)用聚合迭代算法與直接求解式(7)中的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題在計(jì)算耗時(shí)和占用內(nèi)存上的差別。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)定同第3.1節(jié),將系統(tǒng)中部件數(shù)量從3個(gè)逐漸增加至9個(gè)。實(shí)驗(yàn)運(yùn)行在Intel Core i5-3210M(2.50 GHz, 2.50 GHz)CPU上,計(jì)算機(jī)RAM為8GB,操作系統(tǒng)為64位Windows 7,算法運(yùn)行在Matlab上。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5所示。

表5 兩算法計(jì)算耗時(shí)與占用內(nèi)存的對(duì)比

4 結(jié) 論

本文在考慮失效相關(guān)與經(jīng)濟(jì)相關(guān)的基礎(chǔ)上,從建模和求解算法兩個(gè)方面研究了多部件系統(tǒng)的維修策略?xún)?yōu)化問(wèn)題。首先建立多部件系統(tǒng)的折扣準(zhǔn)則模型,進(jìn)而將維修策略方程轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,利用聚合迭代算法對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化并求解,最后通過(guò)數(shù)值算例,說(shuō)明了失效相關(guān)程度對(duì)折扣總成本以及最優(yōu)維修策略的影響,探究了多部件系統(tǒng)折扣準(zhǔn)則模型中成本參數(shù)對(duì)最優(yōu)維修策略的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,采用聚合迭代算法可以有效提高運(yùn)算速度,降低內(nèi)存占用。

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