方 偉, 張齡之

(江南大學物聯(lián)網工程學院, 江蘇 無錫 214122)

0 引 言

認知圖是計算智能領域的一個新興的研究熱點,它提供了一個有效的軟計算工具來支持基于先驗知識的自適應行為[1]。文獻[2]在古典認知圖的基礎之上,融合認知圖論和模糊集理論,提出模糊認知圖(fuzzy cognitive maps, FCMs)。由于模糊邏輯能夠比三值邏輯攜帶更多的信息,使得FCMs在定性推理中起著更大的作用,并成為目前認知圖研究的主流,廣泛應用于工業(yè)、軍事、科技、醫(yī)學、建筑等領域[3-7]。

FCMs用來解釋系統(tǒng)中的概念、實體或者數(shù)學變量之間因果關系,利用有向加權圖來建模,即由結點與結點之間的有向弧組成。結點間有向弧的權值反映了兩個結點間的連接強度和類型。因此對FCMs的學習是盡可能找到準確的權值。FCMs的學習算法可大致分3類,分別是基于Hebbian的方法,基于進化算法的方法以及基于Hebbian和進化算法的混合方法。文獻[8]提出的非線性Hebbian學習(nonlinear hebbian learning,NHL)算法是基于Hebbian方法中的代表算法,該算法需要專家的介入,而且對專家的知識精確性要求較高,但是在一些復雜領域的專家知識很難得到,容易出現(xiàn)初始網絡無法重構的現(xiàn)象。為了解決這一問題,研究人員把進化算法應用于FCMs,使得FCMs可以自動選擇數(shù)據(jù)。這種基于進化算法的選擇策略,實質上是將選擇問題轉化為優(yōu)化問題,通過設定合適目標函數(shù)的方法找到問題的最優(yōu)解。文獻[9]提出了用于學習FCMs的實數(shù)稀疏編碼遺傳算法(sparse real-coded genetic algorithms,SRCGA),該算法在實數(shù)編碼遺傳算法(real-coded genetic algorithms,RCGA)的基礎之上采用密度估計參數(shù),引導算法的學習過程。然而,預定義的密度參數(shù)在現(xiàn)實生活中很難求出,使得SRCGA在應用范圍上存在一定局限性。由于系統(tǒng)的復雜性、概念間的相互作用及外部強迫函數(shù)的作用,概念間的關系可能會發(fā)生改變,甚至變?yōu)橄嗷ッ艿年P系,而FCMs不具有非單調推理的能力,這使得FCMs學習算法無法自適應于外界的環(huán)境變化。為了解決該問題,研究人員將多目標演化算法(multi-objective optimization evolutionary algorithms, MOEA)[10]用于FCMs的學習。該類算法針對不同的優(yōu)先級,對多個目標函數(shù)進行折中處理以盡可能使所有目標同時達到最優(yōu),從而得到更為準確的FCMs。文獻[11]設計了兩個目標,使得輸入的歷史數(shù)據(jù)在不同數(shù)據(jù)密度情況下依然可以獲得較優(yōu)秀的解,從而為決策者提供不同屬性的候選方案。多目標演化算法以非支配占優(yōu)和精英保留機制為主要特點,可以對不同目標進行折中處理,單次運行后可以獲得一組具有代表性的帕累托(Pareto)最優(yōu)解集合,使各個目標盡可能同時達到最優(yōu)。基于指標的多目標演化算法(indicator-based evolutionary algorithm,IBEA)[12]利用二元性指標直接計算適應度,提高了算法的收斂性,但是在維護解的多樣性方面表現(xiàn)并不理想。文獻[13]通過聚合函數(shù)權重矢量將子問題劃分到指定鄰域,通過子問題間的優(yōu)化信息來優(yōu)化個體本身,提出了基于分解的多目標演化算法(multi-objective evolutionary algorithm based on decomposition,MOEA/D),能夠很好地解決一定規(guī)模范圍內相異的多目標問題;基于外部存儲引導的分解多目標演化算法(external archive guided MOEA/D,EAG-MOEA/D)[14]利用分解策略和非支配排序策略分別對內部種群和外部種群進行維護,使每一代的搜索區(qū)域更加明確,有效提高了多目標優(yōu)化算法的搜索效率;基于排序和選擇方法的MOEA/D(MOEA/D with sorting and selection,MOEA/D-SAS)[15]通過分解排序策略(decomposition based sorting,DBS)和角度選擇策略(angle based selection,ABS),可以有效處理不規(guī)則的前沿,實現(xiàn)收斂性和多樣性之間的平衡。

上述研究中,通過將多目標優(yōu)化算法應用于模糊認知圖,雖然能夠有效地獲得較為優(yōu)秀的解,但依然存在一些不足:

(1) 以多個目標為優(yōu)化對象對FCM進行學習的方法的出現(xiàn),很好地降低了FCM對專家經驗的依賴,但現(xiàn)有的算法在學習過程中僅對權值進行單方面優(yōu)化,造成模型擬合準確程度不足;

(2) 將現(xiàn)有的多目標進化算法應用于FCM學習,雖然可以找到較為精確的權值,但是隨著節(jié)點數(shù)目的增多,候選解的數(shù)目也會以指數(shù)級的速度增加,容易引起算法的收斂速度降低;同時,現(xiàn)有的多目標進化算法無法保證所得的解集分布較為均勻,導致算法容易陷入局部最優(yōu),使得現(xiàn)有的多目標進化算法無法適用于規(guī)模較大的FCM學習;

(3) 現(xiàn)有多目標FCM學習算法中的目標設計都偏重于對真實權重矩陣和學習權重矩陣之間的差異進行優(yōu)化,忽略了響應序列對真實權重矩陣的影響,容易造成單個目標的解超出規(guī)定范圍。

本文針對FCMs學習過程中僅對權值進行優(yōu)化而造成模型擬合準確程度不足的缺陷,提出了一種基于多目標演化的模糊認知圖學習算法(multiobjective evolutionary algorithm based on coordinate transformation for FCM, MOEA/CT-FCM)。該學習算法首先設計了基于坐標變換的MOEA(multi-objective optimization evolutionary algorithms based on coordinate transformation, MOEA/CT),該方法通過坐標變換(coordinate transformation, CT)策略賦予目標空間中個體新的適應度,并將此適應度值作為個體的收斂信息(convergence information, CI),完成個體CI的賦值,同時,采用一種新的外部存檔策略,當精英個體進入存檔集后,根據(jù)上一步得到的CI,對存檔集中的個體進行篩選,從而尋找到有效收斂個體,加速收斂過程,進一步,引入一種基于Lp-norm的密度篩選方法,利用Fractional距離代替歐式距離,以準確反映個體間的擁擠程度,能夠防止鄰近個體同時被選入存檔集,使所得解集分布更加均勻;接著,通過研究FCMs的固有特性,設計出結點間權值誤差與誤差權重2個求解目標,將FCMs的學習問題抽象為兩目標優(yōu)化問題,以防止單個目標的解集超出規(guī)定范圍的問題;最后再將MOEA/CT算法應用于FCMs的模型學習。本文采用實際工程中9結點,12結點和24結點的FCMs進行仿真實驗,實驗結果表明本文提出的 MOEA/CT-FCM算法,相比于MOEA-FCM、RCGA、分治實數(shù)編碼遺傳(devide and conquer RCGA, D&C RCGA)、基于數(shù)據(jù)控制NHL算法(data and controlling NHL,DD-NHL)、NHL等算法,能夠更準確地表達結點間的因果關系,降低對專家經驗的依賴性。

1 模糊認知圖

FCMs把知識蘊含在概念結點及概念結點間的關系中,通過概念間的依賴與反饋來模擬系統(tǒng)的動態(tài)行為,其數(shù)學模型包括概念結點C,權值w,狀態(tài)值A,激活/閾值函數(shù)g(·)等組成部分[16]。

由Nn個概念結點所組成的結點矩陣可表示為

C=[C1,C2,…,CNn]

(1)

式中,Ci∈[0,1],i=1,2,…,Nn。這些結點之間的模糊因果關系可以用NN×NN維的鄰接權重矩陣表示為

(2)

(3)

(4)

式中,β是用來規(guī)定函數(shù)在0點附近步長的參數(shù),β的取值一般設置為5[19]。

2 MOEA/CT-FCM

2.1 MOEA/CT

針對基于傳統(tǒng)占優(yōu)機制的經典多目標智能算法在迭代過程中對精英種群判斷力較弱,從而導致算法收斂緩慢和無法得到最優(yōu)解的問題,本文在MOEA基礎上提出了一種基于坐標變換的多目標演化算法,進行了3個部分改進:坐標變換策略、外部存儲器更新策略和密度篩選策略。

2.1.1 坐標變換策略

為了尋找更為有效的收斂個體,以加速完成收斂過程,并快速逼近完整的Pareto真實前沿,MOEA/CT算法設計了坐標變換策略。首先以目標空間中的每個個體i為原點依次建立坐標系,將其余個體以目標值為基準投影至新坐標系中,產生新的個體,并將個體i與新個體的歐氏距離和作為個體i的新適應度Dpi表示為

(5)

以兩目標優(yōu)化算法為例,來說明坐標變換模型的建立及個體適應度調整方式,如圖1所示,點A(3,3),B(1,6),C(6,2),D(8,1)為目標空間中的4個非支配解,現(xiàn)以點A為中心建立坐標系,計算各個體在新坐標系下距點A的歐式距離。點B(1,6)在目標f1上優(yōu)于點A,則將點B沿f2方向平移到新坐標系中,得到調整后的點B′(-2,0),同理可得C′(0,-1),D′(0,-2),可得個體A的新適應度為DA=5。

圖1 CT策略示意圖Fig.1 Schematic diagram of CT strategy

2.1.2 改進的外部存儲器更新策略

(6)

式中,g表示當前迭代次數(shù);gmax表示迭代總次數(shù);dj(min)、dj(max)分別表示經調整后其余個體距個體j的最小值與最大值;α值表示目標函數(shù)個數(shù)。

最終通過對非支配解集進行進一步篩選,尋找到更為有效的收斂個體,加速收斂過程。

α的選取會對算法的收斂性造成一定的影響,本文以ZDT1(E.Zitzler，K.Deb and L.Thiele)函數(shù)為例,比較不同取值的α對算法性能的影響。如圖2所示,隨著迭代次數(shù)的增加,收斂性指標γ都呈下降趨勢,當α=2時,γ下降速率較α取其他值時更具優(yōu)勢,說明α取值為2時,算法的收斂速率最快。圖2中各曲線在開始時都有一定的波動,這是由于MOEA/CT算法在初始化階段采用隨機選取個體的方式,導致算法的收斂過程需要經過多次的迭代才能趨于穩(wěn)定,而從圖2中可以看出,當α取值為2時,波動的次數(shù)較少,說明其到達穩(wěn)定狀態(tài)所需的迭代次數(shù)較少。因此本文α取值為2。

圖2 不同α值對算法性能的影響Fig.2 Effects of different α values on the performance of the algorithm

2.1.3 改進的密度選擇策略

在現(xiàn)有多目標優(yōu)化算法中,經常使用的擁擠密度估計方法如:Mahalanobis、Euclidean(L2-norm)平均距離算法等[20-22],在目標函數(shù)個數(shù)增多的情況下并不能準確反映個體間的擁擠程度[23]。文獻[23-24]指出,相比L2-norm距離,Fractional距離(Lp-norm)在處理高維空間問題時效率更高。文獻[25]在上述結論基礎上,通過實驗證明,通過減小p值可以使最遠相鄰個體和最近相鄰個體的計算結果形成較大反差,因此MOEA/CT采用p=1/m時的Fractional距離代替歐式距離計算擁擠距離,以使非支配個體分布更均勻。

為了驗證MOEA/CT算法所設計的3個策略的有效性,本文采用世代距離指標(generational distance,GD)[26],均勻性指標(spacing,SP)[27],收斂性指標γ[28],在ZDT1和ZDT2函數(shù)上進行實驗。分別選取MOEA算法基礎上引入坐標變換策略(transformation function,TF)、坐標變換策略結合改進的外部存儲器策略(TF evolutionary algorithm,TFEA)以及坐標變換策略與改進外部存儲器策略結合密度選擇3種情況,下文簡稱MOEA/TF、MOEA/TFEA及MOEA/CT算法,與MOEA算法進行對比。實驗結果如表1所示,表1中數(shù)據(jù)為各算法迭代100次,獨立運行30次所取的平均值。從表1可以看出,采用了本文提出策略的3種算法,實驗結果較MOEA更優(yōu)。MOEA/TF算法僅選取經過坐標變換后適應度較大的個體加入外部存儲器,直至外部存儲器滿為止。表1中,MOEA/TF算法的GD和γ比MOEA算法更小,說明采用坐標轉換策略后,算法所選取的個體與真實前沿較為接近,但是隨著迭代次數(shù)的增多,非支配解數(shù)量成倍增加,僅依靠坐標變換策略無法對大量非支配解進行有效篩選,因此本文設計了更為有效的外部存儲器篩選策略。MOEA/TFEA算法所得結果的GD和γ值較MOEA/TF算法更小,說明加入本文提出的外部存儲器策略之后,能夠使得算法所選擇的個體更加貼近真實前沿。由于算法未對所獲的解集進行合適的密度篩選,導致MOEA/TF與MOEA/TFEA算法的SP值并不理想,因此本文加入了Lp-norm密度篩選策略,以使得所選解集的密度更加均勻。同樣從表1中可以看出,MOEA/CT算法的SP值較小,說明密度篩選策略能夠使得所選解集的密度更加均勻。

表1 不同策略對算法的影響

為了充分檢驗MOEA/CT算法的性能,本文還將所提算法與改進的非支配排序遺傳算法(improved non-dominated sorting genetic algorithm,NSGA-Ⅱ)[29], 多目標粒子群算法(multi-objective particle swarm optimization,MOPSO)[30], NSGA-Ⅲ[31], 改進的兩階段存儲法(improved two-archive algorithm,Two_arch2)[25]這4種算法進行對比。本文采用與文獻[9]一樣的模擬二進制交叉(simulated binary crossover,SBX)交叉算子和多項式變異算子,所有對比算法的控制參數(shù)設置均采用相應原文文獻中的推薦值,實驗參數(shù)如表2所示。

實驗結果均為各算法獨立運行30次所對應的各測試指標平均值,統(tǒng)計結果如表3所示,各項對比實驗中的最優(yōu)結果均用黑體加粗表示。

表2 實驗參數(shù)設置

表3 5種算法在ZDT1與ZDT2上的實驗結果

ZDT1函數(shù)非劣解集在目標函數(shù)空間是凸的,從表3可以看出,MOEA/CT、Two_arch2,NSGA-Ⅲ都可以很好逼近真實Pareto前沿,但是MOEA/CT算法具有更好的分布性。NSGA-Ⅲ沒有覆蓋整個Pareto前沿面,NSGA-Ⅱ和MOPSO算法雖然有收斂趨勢,但并沒有完全收斂。MOEA/CT在ZDT1函數(shù)所得到的前沿如圖3所示。

圖3 MOEA/CT的ZDT1函數(shù)前沿Fig.3 MOEA/CT front of ZDT1 function

ZDT2函數(shù)的非劣解集在目標函數(shù)空間是非凸的,本算法在各測試指標上表現(xiàn)都很優(yōu)秀,分布均勻,貼近真實前沿且解集的分布寬廣度與真實前沿一致。NSGA-Ⅲ在求解ZDT2時,分布性略優(yōu)于MOEA/CT算法。但是較大的GD值說明其未能逼近整個真實前沿面。MOPSO算法的GD與γ值較小,但是SP值較大,說明其陷入局部最優(yōu)無法跳出。MOEA/CT在ZDT2函數(shù)所得到的前沿如圖4所示。

圖4 MOEA/CT的ZDT2函數(shù)前沿Fig.4 MOEA/CT front of ZDT2 function

2.2 面向FCMs學習的兩目標優(yōu)化模型設計

在多目標優(yōu)化中,通過Pareto最優(yōu)解來評價所得解集的優(yōu)劣性,優(yōu)劣性就是指在目標函數(shù)的解集中對其中一個或多個子目標函數(shù)的進一步優(yōu)化,而不會引起其他子目標函數(shù)的解超出規(guī)定范圍,即多目標優(yōu)化最終會得到一組互相支配的解的集合。

對FCMs學習的目的是通過優(yōu)化權值矩陣,盡可能確定每一對概念結點之間的真實關系。因此,算法將所求得的響應序列和現(xiàn)有的響應序列之間的最小差異設定為第一目標,表示為

(7)

第2個目標是誤差比重,用來評估真實權重矩陣和學習權重矩陣的差異,并與全局數(shù)據(jù)誤差進行比較。結點i的誤差比重計算方式為

(8)

由FCM性質可知,希望通過算法得到盡可能小的結點差異和權重差異,因此誤差比重越小,代表算法所得到的解集越接近真實解集。多目標優(yōu)化是對多個相互矛盾、相互影響的目標進行優(yōu)化,以求得最優(yōu)解,能夠同時滿足多個矛盾的目標函數(shù)。由式(7)、式(8)可推知,當式(7)的值增加時,式(8)的值會在一定程度上減小,而當式(8)的值增加時,式(7)的值不一定增加。實際運行所得結果如圖5所示,其中權重值和結點值的取值范圍為[0,1],可以看出兩個目標函數(shù)之間相互排斥。因此,本文所設計的兩個最小化目標是相互矛盾且相互影響的,符合多目標定義且適用于FCMs系統(tǒng)。

圖5 兩個目標的關系Fig.5 Relationship between the two objectives

2.3 MOEA/CT-FCM

在MOEA/CT中,每一個候選解由一維向量組成,而在 MOEA/CT-FCM中每個候選解由一個權重矩陣組成。為了方便起見,把2維權重矩陣轉化為1維的向量,若權重矩陣如式(2)所示,則轉化后的Nn×Nn的權重可表示為

w=[w11,w12,…,w1Nn,w21,w22,…,

w2Nn,…,wNn1,…,wNnNn]

(9)

式中,w的取值范圍為[-1,1]。

MOEA/CT-FCM算法的具體實現(xiàn)過程如下:

步驟1生成初始種群,即初始權重矩陣;

步驟2進行非支配排序后執(zhí)行進化操作生成子代種群,合并種群后進行非支配排序選擇;

步驟3判斷剩余的種群數(shù)量是否大于預設值,若小于預設值則繼續(xù)執(zhí)行步驟2直至數(shù)量大于預設值;

步驟4若數(shù)量大于預設值進行坐標變換找到收斂性較好的個體,通過函數(shù)篩選更新外部存儲器,之后進行密度篩選,得到不大于種群數(shù)量的精英種群;

步驟5判斷是否達到總迭代次數(shù),若未達到則返回步驟2,反之,運行結束。

MOEA/CT-FCM的具體過程如下:

算法1基于多目標演化的模糊認知圖學習算法

輸入初始種群Pt,迭代次數(shù)gmax,種群數(shù)目N,標識目標函數(shù)個數(shù)m

輸出新種群Pt+1

2 初始化迭代次數(shù):g=1;

3 對初始種群Pt進行非支配選擇,選擇出其中互相不支配的個體,將結果存入種群Qt;

4 While |Qt|≤N{

7 }

9 Fori=1:|Qt| {

10 Forj=1:|Qt| {

11 Fork=1:m{

14 }

15 }

17 }

19 Fori=1:|Qt′| {

20 對個體進行歸一化操作,得到歸一化后的新個體適應度γi;

21 利用式(6)計算Oi;

22 將γi

23 }

24 利用密度選擇策略,對Qt中的個體進行篩選,將結果存入新種群Pt+1

本文主要的運算量是計算經過坐標變換策略調整及收斂距離、Pareto占優(yōu)過程和擁擠距離的計算。若有m個目標,種群數(shù)量為N,計算坐標變換和收斂距離的復雜度為O((mN)2),非支配排序所需計算復雜度為O(NlogM-2N)[32],求解擁擠距離所需計算復雜度最大為O((mN)2)。綜上所述,本算法的時間復雜度為max(O(NlogM-2N),O((mN)2))。

3 實驗結果

本文對3種不同規(guī)模的實際FCM進行學習,分別來源于9結點的工廠監(jiān)控系統(tǒng)[33],12結點的巴西亞馬遜森林砍伐模型[34]和24結點的某學校教育軟件模型[35]。9結點模型與12結點模型的概念結點為確定性結點,24結點模型為隨機不確定性結點。

3.1 實驗參數(shù)

MOEA/CT-FCM應用于9結點模型初始參數(shù)設置與文獻[33]相同,12結點模型初始參數(shù)設置與文獻[34]相同,24結點模型初始參數(shù)為范圍在[0,1]之間的隨機設定值,具體參數(shù)設置如表4所示,其中，Nn表示結點個數(shù);Ns表示響應序列個數(shù);Ns表示時間序列數(shù)目(設定方式詳見第3.2節(jié))。

表4 MOEA/CT-FCM實驗參數(shù)設置

分別選取Data_error, Model_Error, Out_of_Sample_Error和SS_Mean作為算法的評價指標。其中,Data_error是目標函數(shù)f1(W)。模型誤差Model_Error用以評價算法獲得的權值與初始權值之間的差異,表示為

(10)

Out_of_Sample_Error用于評價算法的擬合能力,表示為

(11)

SS_Mean利用統(tǒng)計特性Specificity和Sensitivity來驗證學習算法是否能夠準確預測出2個結點之間存在的邊,并把模糊認知圖學習問題擴展和轉換成了二分類問題。當權重的絕對值大于臨界值時被置為1,而小于臨界值時則置為0。為了進行比較,本文將采用與文獻相同的臨界值以及正負結果的定義,此處設臨界值為0.05。另外,本算法中將權重的絕對值小于0.05的邊識別為正邊,否則該邊被識別為負邊。轉換過程中,T代表正確識別,F代表錯誤識別,P代表正邊,N代表負邊。式(12)、式(13)中N表示滿足條件的邊的數(shù)目。SS_Mean值越接近1,表示算法預測權值的準確性越強,其參數(shù)設置如表5所示。

表5 SS_Mean參數(shù)設置

Specificity、Sensitivity、SS_Mean表示為

(12)

(13)

(14)

3.2 時間序列數(shù)目確定

為了能夠降低MOEA/CT-FCM的計算代價,使FCM盡快達到較穩(wěn)定的學習狀態(tài),本文針對模糊認知圖時間序列數(shù)目的確定進行實驗。為保證實驗的客觀性,本文分別對9結點,12結點和24結點的結點值進行隨機初始化,圖6展示了9結點網絡模型時間序列長度為10的響應序列變化曲線,圖7展示了12結點網絡模型時間序列長度為20的響應序列變化曲線。

圖6 9結點時間序列長度與結點狀態(tài)Fig.6 Time sequence and data statements of 9 nodes

圖7 12結點時間序列長度與結點狀態(tài)Fig.7 Time sequence and data statements of 12 nodes

以Nt(9)表示9個結點的時間序列數(shù)目,Nt(12)表示12個結點的時間序列數(shù)目,從圖6可以看出,在Nt(9)=5之前,各結點的變化值均不穩(wěn)定,這是因為各個算法中下一個時間結點數(shù)值需要由當前時間結點值和權值的共同作用決定,由于初始權值是隨機產生的,因此在學習過程中結點會產生波動。從Nt(9)=5時刻開始,結點狀態(tài)變化幅度逐漸減小,說明模糊認知圖的動力學系統(tǒng)開始變得穩(wěn)定。在確定Nt(12)時,采用了文獻[34]的第一序列,由圖7可以看出，最終各結點值都穩(wěn)定在[0,1]，這是由FCM框架的性質決定,由于初始結點C6=1.4,C7=-0.4,C8=-0.2,導致Nt(12)=4之前結點波動極大,在Nt(12)=12 之后各結點狀態(tài)趨于穩(wěn)定,本文最終選取Nt(12)=20。24結點的時間序列數(shù)目的確定與12結點相同,在此不多做贅述。因此,在MOEA/CT-FCM中,我們選擇Nt(9)=10,Nt(12)=20,Nt(24)=20。

3.3 實驗結果

為了比較MOEA/CT-FCM的優(yōu)化性能,將本文所提算法與MOEA-FCM[11]、RCGA、D&C RCGA[36]、DD-NHL[37]、NHL[8]等5種算法做對比。表6為9結點實驗結果對比,實驗結果均為各算法獨立運行30次所對應的各測試指標的平均值和標準差,各項對比試驗中的最優(yōu)結果均用黑體加粗表示。對比算法的實驗結果來源于文獻[11],“/”表示在原文獻中未給出測量值。MOEA/CT-FCM算法在4個評價指標上均明顯優(yōu)于其余5種算法。9結點工廠監(jiān)控模型中,MOEA/CT-FCM,MOEA-FCM,RCGA,D&C RCGA在Data_Error上都取得了0.00的結果,在結點還原方面比DD NHL和NHL要優(yōu)秀,其中MOEA/CT-FCM,MOEA-FCM在Out_of_Sample_Error上優(yōu)于其他算法,說明在相同結點的情況下其擬合能力更強。由SS_Mean值可以看出,MOEA/CT-FCM能正確學習權值的大小。

表6 9結點實驗結果對比

表7為12結點實驗結果對比。結合表7中SS_Mean值和Model_Error值可以看出,MOEA/CT-FCM不僅可以正確識別概念結點狀態(tài)的變化,在計算概念結點間權值方面的誤差也很小。結合表7種Data_Error值和Model_Error值可以看出,MOEA/CT-FCM的值明顯小于其余5種算法,說明在算法中所設計的f2(w)目標在一定程度上起到了平衡概念結點狀態(tài)值和權值的作用。表8為24結點實驗結果對比。表8反映了 MOEA/CT-FCM在處理不確定性多結點問題的能力。雖然RCGA,D&C RCGA,DD NHL,NHL算法并沒有對Model_Error,SS_Mean進行實驗,但并不影響對算法響應序列穩(wěn)定程度的觀測。MOEA/CT-FCM,MOEA-FCM的Data_Error值明顯較其余對比算法小,說明MOEA/CT-FCM與MODE-FCM能夠準確地還原概念間權值。但MOEA-FCM的SS_Mean值較小,說明在結點數(shù)量增多的情況下,該算法并不能很好的識別結點之間的關系。因此,雖然MOEA-FCM表現(xiàn)很出色,但是相比MOEA/CT-FCM來說略顯遜色。

表7 12結點實驗結果對比

表8 24結點實驗結果對比

4 結 論

模糊認知圖具有強大的推理能力,利用其來處理工程建模問題具有較強的可行性,同時對數(shù)據(jù)的預測具有重要的實際意義。本文通過設計結點間有向弧權值誤差與誤差比重兩個目標,提出了模糊認知圖學習的多目標優(yōu)化模型,利用基于坐標變換的多目標演化算法對該模型進行優(yōu)化求解,有效提高了模糊認知圖的學習精度。通過實驗結果可以看出,基于多目標演化的模糊認知圖學習算法可以有效降低結點數(shù)據(jù)誤差與模型誤差,能夠更準確地得出概念結點間的因果關系,同時能夠適用于不同的實驗數(shù)據(jù)集,說明本文所提出的算法具有一定的應用前景。

[1] 駱祥峰. 認知圖理論及其在圖像分析與理解中的應用[D]. 合肥: 合肥工業(yè)大學, 2003.

LUO X F. Cognitive map theory and its applications in image analysis and understanding[D].Hefei:Hefei University of Technology, 2003.

[2] KOSKO B. Fuzzy cognitive maps[J]. International Journal of Man-Machine Studies, 1986, 24(1): 65-75.

[3] 陳軍, 高曉光, 丁琳. 模糊認知圖在預警機燃油管理中的應用[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術, 2008, 30(9): 1717-1720.

CHEN J, GAO X G,DING L. Application of fuzzy cognitive maps in fuel management of airborne warning and control systems[J]. Systems Engineering and Electronics, 2008, 30(9): 1717-1720.

[4] 李闖,端木京順,雷英杰,等.基于認知圖和直覺模糊推理的態(tài)勢評估方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術,2012,34(10):2064-2068.

LI C, DUANMU J S, LEI Y J, et al. Situation assessment based on cognitive maps and intuitionistic fuzzy reasoning[J]. Systems Engineering and Electronics, 2012, 34(10): 2064-2068.

[5] MENDONCA M, ARRUDA L V R, ROSSATO CHRUN I, et al. Hybrid dynamic fuzzy cognitive maps evolution for autonomous navigation system[C]∥Proc.of the IEEE International Conference on Fuzzy Systems, 2015: 1-7.

[6] PAPAGEORGIOU E I. A new methodology for decisions in medical informatics using fuzzy cognitive maps based on fuzzy rule-extraction techniques[J]. Applied Soft Computing, 2011, 11(1): 500-513.

[7] SENNIAPPAN V, SUBRAMANIAN J, PAPAGEORGIOU E I, et al. Application of fuzzy cognitive maps for crack categorization in columns of reinforced concrete structures[J]. Neural Computing & Applications, 2016: 1-11.

[8] PAPAGEORGIOU E, STYLIOS C, GROUMPOS P. Fuzzy cognitive map learning based on nonlinear hebbian rule[C]∥Proc.of the Australian Conference on Artificial Intelligence, 2003:256-268.

[9] STACH W, PEDRYCZ W, KURGAN L A. Learning of fuzzy cognitive maps using density estimate[J]. IEEE Trans.on Systems Man & Cybernetics Part B Cybernetics, 2012, 42(3):900.

[10] DEB K. Multi-objective ptimization using evolutionary algrithms[M]. Chichester: Wiley, 2001.

[11] CHI Y, LIU J. Learning of fuzzy cognitive maps with varying densities using a multiobjective evolutionary algorithm[J]. IEEE Trans.on Fuzzy Systems, 2016, 24(1): 71-81.

[12] ZITZLER E, KüNZLI S. Indicator-based selection in multi-objective search[J].Lecture Notes in Computer Science,2004,3242: 832-842.

[13] ZHANG Q, Li H. MOEA/D: a multiobjective evolutionary algorithm based on decomposition[J]. IEEE Trans.on Evolutionary Computation, 2007,11(6): 712-731.

[14] CAI X, LI Y, FAN Z, et al. An external archive guided multi-objective evolutionary algorithm based on decomposition for combinatorial optimization[J]. IEEE Trans.on Evolutionary Computation, 2014, 19(4): 508-523.

[15] CAI X, YANG Z, FAN Z, et al. Decomposition-based-sorting and angle-based-selection for evolutionary multiobjective and many-objective optimization[J]. IEEE Trans.on Cybernetics, 2016, 47(9): 1-14.

[16] KOSKO B. Fuzzy cognitive maps[J]. International Journal of Man-machine Studies, 1986, 24(1): 65-75.

[17] TSADIRAS A K. Comparing the inference capabilities of binary, trivalent and sigmoid fuzzy cognitive maps[J]. Information Sciences, 2008, 178(20): 3880-3894.

[18] CHEN N, ZHANG J. Index-based genetic algorithm for continuous optimization problems[C]∥Proc.of the Genetic and Evolutionary Computation Conference, 2011: 1029-1036.

[19] STACH W J. Learning and aggregation of fuzzy cognitive maps-an evolutionary approach[D]. Canada: University of Alberta. 2010.

[20] PSYCHAS I D, DELIMPASI E, MARINAKIS Y. Hybrid evolutionary algorithms for the multiobjective traveling salesman problem[J]. Expert Systems with Applications, 2015, 42(22): 8956-8970.

[21] HUANG D Z, GONG R X, SHU N M. Constrained multi-objective optimization for microgrid based on nondominated immune algorithm[J]. IEEE Trans.on Electrical & Electronic Engineering, 2015, 10(4): 376-382.

[22] LI M, YANG S, ZHENG J, et al. ETEA: a euclidean minimum spanning tree-based evolutionary algorithm for multi-objective optimization[J].Evolutionary Computation, 2014, 22(2): 189-230.

[23] AGGARWAL C C, HINNEBURG A, KEIM D A. On the surprising behavior of distance metrics in high dimensional space[C]∥Proc.of the 8th International Conference on Database Theory, 2001: 420-434.

[24] MORGAN R, GALLAGHER M. Sampling techniques and distance metrics in high dimensional continuous landscape analysis: limitations and improvements[J]. IEEE Trans.on Evolutionary Computation, 2014, 18(3): 456-461.

[25] WANG H D, JIAO L C, YAO X. Two_arch2: an improved two-archive algorithm for many-objective optimization[J]. IEEE Trans.on Evolutionary Computation, 2015, 19(4): 524-541.

[26] VELDHUIZEN D V, LAMONT G B. On measuring multi-objective evolutionary algorithm performance[C]∥Proc.of the Evolutionary Computation, 2000: 204-211.

[27] SCHOTT J R. Fault tolerant design using single and multicriteria genetic algorithm optimization[J].Cellular Immunology,1995, 37(1): 1-13.

[28] DEB K, THIELE L, LAUMANNS M, et al. Scalable multi-objective optimization test problems[C]∥Proc.of the World on Congress on Computational Intelligence, 2002: 825-830.

[29] DEB K, PRATAP A, AGARWAL S, et al. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-Ⅱ[J]. IEEE Trans.on Evolutionary Computation, 2002, 6(2): 182-197.

[30] COELLO C C, PULIDO G T, LECHUGA M S. Handling multiple objectives with particle swarm optimization[J]. IEEE Trans.on Evolutionary Computation, 2004, 8(3): 256-279.

[31] DEB K, JAIN H. An evolutionary many-objective optimization algorithm using reference-point-based nondominated sorting approach, part I: solving problems with box constraints[J]. IEEE Trans.on Evolutionary Computation, 2014, 18(4): 577-601.

[32] KUNG H T, LUCCIO F, PREPARATA F P. On finding the maxima of a set of vectors[J]. Journal of the ACM, 1975, 22(4): 469-476.

[33] STYLIOS C D, GROUMPOS P P. Fuzzy cognitive maps: a model for intelligent supervisory control systems[J]. Compu-ters in Industry, 1999, 39(3): 229-238.

[34] KOK K. The potential of fuzzy cognitive maps for semi-quantitative scenario development, with an example from Brazil[J]. Global Environmental Change, 2009, 19(1): 122-133.

[35] HOSSAIN S, BROOKS L. Fuzzy cognitive map modelling educational software adoption[J]. Computers & Education, 2008, 51(4): 1569-1588.

[36] STACH W, KURGAN L, PEDRYCZ W, et al. Genetic learning of fuzzy cognitive maps[J].Fuzzy Sets & Systems,2005,153(3): 371-401.

[37] STACH W, KURGAN L, PEDRYCZ W. Data-driven nonlinear Hebbian learning method for fuzzy cognitive maps[C]∥Proc.of the IEEE International Conference on Fuzzy Systems, 2008: 1975-1981.