楊 康, 文方青, 黃冬梅, 張 磊, 王 可

(1. 中國電子科技集團公司第二十八研究所, 南京 江蘇 210007; 2. 空中交通管理系統(tǒng)與技術國家重點實驗室, 南京 江蘇 210007; 3. 長江大學電子信息學院, 荊州 湖北 434023; 4. 海軍指揮學院信息系, 南京 江蘇 210016)

0 引 言

伴隨著多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)技術在移動通信領域的不斷成功與發(fā)展,MIMO技術在雷達領域應用的研究方興未艾。利用匹配濾波處理及虛擬通道的思想,MIMO雷達可獲得遠優(yōu)于傳統(tǒng)相控陣雷達系統(tǒng)的性能。MIMO雷達技術是學術界、工程界的研究熱點之一,該研究方向不僅有重大的理論和學術意義,而且應用前景廣闊,特別是具有巨大軍事應用價值和民用價值,美、英、日等科技強國均把它作為發(fā)展未來智能化探測系統(tǒng)的重點突破的技術[1-3]。為了對敵目標進行有效監(jiān)測與阻擊,需要雷達系統(tǒng)能夠快速、精確對敵目標進行定位。角度估計是MIMO雷達目標定位的基本任務之一,因而引起國內(nèi)外學者的廣泛關注。迄今為止,已涌現(xiàn)大量優(yōu)秀的角度估計算法。典型的MIMO雷達角度估計算法有譜峰搜索法[4]、求根方法[5]、基于旋轉(zhuǎn)不變技術的估計算法[6]、傳播算子法[7]、張量方法[8-13]、稀疏表示法[14]等。其中,張量類算法由于能夠挖掘MIMO雷達數(shù)據(jù)的結構相關特性,因而是近幾年的研究熱點。

然而,上述算法的優(yōu)異性能均是在理想的陣列條件下獲得的。實際上,由于雷達系統(tǒng)往往在非理想的環(huán)境下,因而上述算法在實際工程中難以獲得理想的性能。陣列MIMO雷達的非理想環(huán)境之一是陣元互耦影響,其主要表現(xiàn)為相鄰的幾個陣元間數(shù)據(jù)的相互影響。為克服MIMO雷達陣列的互耦效應,已有部分學者開展這方面的研究。文獻[15]提出一種基于Capon算法和迭代思想的DOD與DOA及互耦估計算法,文獻[16]提出了一種基于降維多重譜峰搜索的算法。上述兩種算法均將角度估計轉(zhuǎn)換為二次優(yōu)化的問題,雖然可有效降低運算量,但是譜峰搜索過程仍然具有較大的復雜量。此外,由于二次優(yōu)化求解目標角度過程中,陣列受互耦的影響可能會產(chǎn)生模糊效應,因而角度估計的精度可能會嚴峻下降。利用互耦矩陣的對稱Toeplitz結構,文獻[17]提出了一種基于旋轉(zhuǎn)不變技術(estimation method of signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)的雙基地MIMO雷達角度估計算法,通過選擇性矩陣可以消去陣列的互耦效應。為利用陣列數(shù)據(jù)的多維結構,文獻[18]提出了一種基于實值高階子空間分解(higher-order singular value decomposition,HOSVD)算法。文獻[19]則提出一種基于三線性分解的DOD與DOA估計算法,其可改善張量分解的精度和計算復雜度。文獻[20]采用最小二乘+譜峰搜索的策略進行角度估計,提高了[19]中角度估計的精度,并改善了[19]中的互耦校正的復雜度。文獻[21]則提出一種基于張量壓縮和稀疏表示的雙基地MIMO雷達角度估計算法,該算法僅適合大規(guī)模陣列的參數(shù)估計,同時會導致參數(shù)估計精度的下降。在小規(guī)模陣列時,算法可能會完全失效。

考慮到均勻陣列的旋轉(zhuǎn)不變特性和互耦矩陣的Toeplitz對稱特性,本文提出一種基于改進三線性分解的雙基地MIMO雷達角度估計算法。首先利用選擇性矩陣消去陣列互耦效應,然后構建陣列數(shù)據(jù)的三線性分解模型。考慮到均勻線性陣列(uniform linear array,ULA)的中心對稱特性,利用前后平滑技術對張量數(shù)據(jù)進行處理,再構造陣列的增廣輸出的三線性分解模型。利用三線性分解獲得相關導引矢量的估計,最后再利用陣列的旋轉(zhuǎn)不變特性恢復目標的DOD與DOA。由于三線性分解使用迭代的方式獲得相關導引矢量,因而能獲得比HOSVD更高的估計精度。且陣列增廣輸出為實數(shù),故本算法僅涉及實數(shù)運算,相比已有復數(shù)算法,本文算法的計算復雜度更低。

1 張量基礎與信號模型

1.1 張量基礎

為方便讀者閱讀及理解,首先引入文獻[22]中關于張量操作的3個定義。

定義3(張量模乘性質(zhì)):N階張量X∈CI1×…IN的模乘性質(zhì)主要有如下兩條:

X×n·A×m·B=X×m·B×n·A,m≠n

X×n·A×m·B=X×n·(B·A)

(1)

[X×1·(A1)×2…(AN)]n=

An·[X]n·[AN?…An+1?An-1…?A1]T

(2)

式中,(·)T表示轉(zhuǎn)置。

1.2 信號模型

考慮一個雙基地MIMO雷達的陣列模型,如圖1所示。

圖1 雙基地MIMO雷達工作示意圖Fig.1 Illustration of bistatic MIMO radar

圖1中MIMO雷達的天線系統(tǒng)由M個發(fā)射陣元和N個接收陣元構成,二者均是ULA。假設收發(fā)陣元間距均為d,為不引起陣列相位畸變需d≤λ/2,λ為發(fā)射信號波長,在本文中假設d=λ/2。發(fā)射陣元發(fā)射相互正交的波形。假設發(fā)射天線發(fā)射的基帶信號為相互正交的編碼波形,其中第m(m=1,…,M)路基帶信號為sm∈CQ×1,且滿足

式中,Q為編碼碼長;(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置。假設在雷達遠場處于同一個距離元內(nèi)具有K個目標,第k(1≤k≤K)個目標的方位為(φk,θk),其中為目標的DOD,θk為目標的DOA。假設收、發(fā)陣列相鄰的P+1個陣元間存在互耦效應,互耦系數(shù)分別為cr=[1,cr1,…,crP]T和ct=[1,ct1,…,ctP]T,其中0<|crP|<…

考慮MIMO雷達的一個相干處理時間(coherent processing interval,CPI)包含L個脈沖,則第l(l=1,2,…,L)個脈沖時間的接收陣列的輸出信號為

Xl=CrArdiag(bl)(CtAt)TS+Wl

(3)

(4)

(5)

2 基于實值三線性分解的聯(lián)合角度估計算法

2.1 陣列去耦合

式中,0表示元素全為0的矩陣；I表示單位矩陣;下標均表示矩陣的維數(shù)。容易得知[21]:

(6)

(7)

2.2 實值張量模型

(8)

(9)

(10)

(11)

故通過酉變換后的向量為一個實數(shù)向量[18-21]。結合式(10)、式(11)和定義3有

(12)

上述變換后的方向矩陣中含有目標相關信息,如果能獲得這些矩陣的估計,則可進一步獲得目標參數(shù)的相關估計。在傳統(tǒng)基于子空間方法的角度估計算法中,往往首先將上述張量轉(zhuǎn)換為矩陣的形式,然后對矩陣進行分解獲得目標的信息。這些方法往往無法利用張量數(shù)據(jù)的多維結構信息,通過張量分解的方式往往能獲得更加精確的參數(shù)估計性能?，F(xiàn)有的張量分解方法主要有兩大類:直接法(如HOSVD)和迭代法(三線性分解法)。直接法將張量運算轉(zhuǎn)化為多個子空間分解運算,其計算復雜度往往較大,而迭代法往往通過幾次低維的迭代獲得高精度的參數(shù)估計。三線性分解又稱為平行因子分解(parallel factor decomposition,PARAFAC),是一類重要的張量分解方法,本文采用(trilinear alternate least squares,TALS)進行張量分解,具體過程如下節(jié)所述。

2.3 TALS

(13)

式中,E1=[Er]1；E2=[Er]2；E3=[Er]3。式(13)即為三線性分解模型的矩陣表達形式[11],由于Zr中每個索引位置的元素是由3個矩陣的元素的乘積構成,因此可認為Zr具有3個方向。相應地,Z1、Z2和Z3分別可被視為將張量數(shù)據(jù)Zr沿著發(fā)射方向、接收方向和脈沖方向展開而獲得的矩陣。傳統(tǒng)的子空間分解法往往僅利用了張量的數(shù)據(jù)的某一個方向展開的信息。

TALS算法是一種高效的三線性分解模算法,其采用最小二乘(least squares,LS)代價函數(shù)依次交替的擬合3個矩陣,當擬合誤差達到預期范圍內(nèi)時算法終止。其處理本文所述三線性模型的具體步驟如下：①假設Z1、Z2和Z3中的兩個矩陣已知,采用LS的方法擬合其中的任何一個矩陣；②采用LS的方法擬合剩下的兩個矩陣；③重復①和②直到迭代次數(shù)達到預設值或擬合誤差達到預設閾值?，F(xiàn)以某次具體的迭代過程說明TALS的迭代過程,根據(jù)式(13)可知,對Atr擬合的代價函數(shù)為

(14)

式中,‖·‖F(xiàn)表示矩陣的Frobenius范數(shù)。根據(jù)式(14)易知,Atr的LS估計值為

(15)

(16)

(17)

目標個數(shù)K往往是未知的,但是在本文中假設其為一個已知參數(shù),否則其可以利用現(xiàn)有算法進行有效的估計[23]。由于TALS算法在更新過程中Arr、Atr及Br的誤差將得到改善或者保持不變,但是不可能增大,因而TALS總是會收斂的[24]。TALS的收斂速度與相關矩陣的初始化優(yōu)劣密切相關,一般使用隨機初始化矩陣將獲得較慢的收斂速度,而使用ESPRIT算法可加快算法收斂。此外,使用一些壓縮算法可以進一步加快算法收斂。本文在實際仿真中使用COMFAC算法[25],其主要是通過張量壓縮的方法降低迭代計算的復雜度,一般僅需若干次迭代算法便可快速收斂。

2.4 聯(lián)合DOD與DOA估計

唯一性是三線性分解的重要特征之一。定理1[26]給出了三線性分解的唯一性的條件:

kAtr+kArr+kBr≥2K+2

(18)

(19)

式中,Ω是一個列置換矩陣；N1,N2和N3分別對應的估計誤差矩陣;Δ1,Δ2和Δ3為3個對角矩陣,其對角元素分別表示相應的尺度因子,且其滿足Δ1Δ2Δ3=IK。

(20)

式中,Ψt=diag(gt)；Ψr=diag(gr)；gt=[gt1,gt2,…,gtK]T；gr=[gr1,gr2,…,grK]T；gtk=tan(πsinφk/2)；grk=tan(πsinθk/2),k=1,2,…,K。其他旋轉(zhuǎn)性矩陣分別為

(21)

(22)

綜上所述,現(xiàn)將本文算法的具體流程可以總結如下:

步驟1將接收數(shù)據(jù)按照式(5)排列成一個三維矩陣;

步驟2按照式(7)進行去耦運算,按照式(10)構造前后平滑的數(shù)據(jù)張量Zc,進一步按照式(11)獲得經(jīng)過酉變換的實數(shù)張量Zr;

步驟4按照式(21)獲得gtk、grk(k=1,2,…,K),并按照式(22)獲得DOD與DOA的估計值。

3 算法分析

3.1 復雜度分析

表1 各種算法復雜度的比較

3.2 可辨識度分析

3.5 算法優(yōu)勢分析

本文算法相比傳統(tǒng)算法的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在如下幾個方面:

(1) 能有效應對收發(fā)陣列存在互耦的場景,且無需額外的校準源;

(2) 無需奇異值分解,無需譜峰搜索;

(3) 自動匹配所估計的DOD與DOA;

(4) 三線性分解僅涉及實數(shù)運算,計算復雜度低;

(5) 對相干源仍然適用。

4 仿真結果及分析

場景1收發(fā)陣元弱互耦干擾背景,P=1,互耦系數(shù)分別為ct=[1,0.117 4+j0.057 7],cr=[1,-0.012 1-j0.102 9];

場景2收發(fā)陣元強互耦干擾背景,P=2,互耦系數(shù)分別為ct=[1,0.8+j0.5,0.2+j0.1],cr=[1,0.6+j0.4,0.1-j0.3]。

圖2是在SNR=-15 dB、場景1、非相干源條件下本文算法進行200次蒙特卡羅仿真的散點圖,圖3是在SNR=-10 dB、場景2、相干源(目標一和目標二的相干度為0.99)條件下本文算法200次蒙特卡羅實驗的散點圖。可以看出,兩種仿真條件下3個目標的可以清楚的被估計出來,并且被正確配對,因而本算法對非相干源和相干源均適用。

圖2 場景1非相干源背景下本文算法估計的散點圖Fig.2 Scatter results of the proposed method in case I with non-coherent sources

圖3 場景2相干源背景下本文算法估計的散點圖Fig.3 Scatter results of the proposed method in case II with coherent sources

圖4與圖5分別為所有算法在場景1、非相干源、不同信噪比條件下所提算法RMSE和PSD性能的對比。由圖4可知,在低信噪條件下,張量算法性能較為接近,但性能均優(yōu)于ESPRIT算法。隨著信噪比增加,所有算法的性能均有所提高,但本文算法在信噪比較低時性能優(yōu)于HOSVD算法,在高信噪比條件下性能接近HOSVD。同時,所提算法性能會劣于PARAFAC,這是由本文算法在最后估計過程中存在孔徑損失造成的。由圖5可知,所有算法的PSD在高信噪比時都會達到100%。隨著信噪比的降低,PSD會下降,其開始下降所對應的信噪比位置被稱為信噪比閾值[17]?？梢钥闯?但使用了張量計算的算法信噪比閾值要低于ESPRIT。此外,所提算法的PSD性能在信噪比低于閾值時優(yōu)于HOSVD但劣于PARAFAC。

圖4 場景1非相干源條件下RMSE性能比較Fig.4 RMSE comparison in case I with non-coherent sources

圖5 場景1非相干源條件下PSD性能比較Fig.5 PSD comparison in case I with non-coherent sources

圖6與圖7分別為所有算法在場景2、非相干源、不同信噪比條件下所提算法RMSE和PSD性能的對比。對比圖4、圖5中的相關曲線可知,強互耦環(huán)境下相關算法的性能均有所下降。但是本文算法的RMSE性能與PSD性能仍處于HOSVD與PARAFAC之間,但仍然遠優(yōu)于ESPRIT算法。考慮到本文所提算法在計算復雜度方面具有很大的優(yōu)勢,因而本文所提算法可獲得估計精度和估計復雜度方面的折衷。

圖6 場景2非相干源條件下RMSE性能比較Fig.6 RMSE comparison in case II with non-coherent sources

圖7 場景2非相干源條件下PSD性能比較Fig.7 PSD comparison in case II with non-coherent sources

圖8和圖9分別為所有算法在在場景2、相干源、不同信噪比條件下所提算法RMSE和PSD性能的對比,其中第1個目標和第2個目標的相干度為0.99。可以看出,ESPRIT算法和PARAFAC算法均不能有效的分辨出相干源,而HOSVD算法和本文算法此時均能夠有效工作。此外,本文算法在低信噪比條件下性能優(yōu)于HOSVD算法,在高信噪比條件下性能與HOSVD方法非常接近。綜合考慮到本文算法的復雜度低于HOSVD方法,本文算法要優(yōu)于HOSVD方法。

圖8 場景2相干源條件下RMSE性能比較Fig.8 RMSE comparison in case II with coherent sources

圖9 場景2相干源條件下PSD性能比較Fig.9 PSD comparison in case II with coherent sources

5 結 論

本文提出了一種基于實值三線性分解的互耦條件下雙基地MIMO雷達聯(lián)合DOD與DOA估計算法。構建了接收數(shù)據(jù)的張量模型,利用均勻陣列的中心對稱特性和酉變換構造實值張量數(shù)據(jù)的增廣輸出,并將參數(shù)估計轉(zhuǎn)換為實值三線性分解問題。最后通過陣列旋轉(zhuǎn)不變方法估計目標方位。所提算法能有效應對相干源,并具有較小的計算復雜度。最后,在詳細分析算法性能的基礎上對算法性能進行了仿真分析和比較。

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