田 強(qiáng), 馮大政, 楊 凡, 胡豪爽

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710071)

0 引 言

無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位技術(shù)在雷達(dá)、導(dǎo)航、目標(biāo)跟蹤和無線通信等領(lǐng)域[1-4]有著廣泛的應(yīng)用。多站目標(biāo)定位是指處理中心利用多個(gè)傳感器錨節(jié)點(diǎn)接收到的目標(biāo)定位參數(shù)信息估計(jì)出目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的位置。常見的定位參數(shù)主要有:到達(dá)時(shí)間(time of arrival, TOA)、到達(dá)時(shí)間差(time difference of arrival, TDOA)、到達(dá)角度(angle of arrival, AOA)、信號到達(dá)強(qiáng)度(received signal strength, RSS)等[5-8]。

TOA定位技術(shù)利用目標(biāo)信號到達(dá)多個(gè)傳感器的傳輸時(shí)延來確定目標(biāo)的位置,而傳輸時(shí)延的計(jì)算通常需要已知目標(biāo)信號的發(fā)射時(shí)間,因此目標(biāo)與傳感器之間必須是精確同步的。然而在實(shí)際應(yīng)用中,尤其對于非合作目標(biāo),目標(biāo)與傳感器之間往往存在時(shí)鐘偏差。文獻(xiàn)[9]的研究表明,即便是納米級的時(shí)鐘偏差都會嚴(yán)重影響傳統(tǒng)TOA算法的定位精度。針對以上不同步的問題,目前主要有兩種解決方法[10]:一是將傳感器錨節(jié)點(diǎn)測量的TOA數(shù)據(jù)相減,消除未知的時(shí)鐘偏差,轉(zhuǎn)化為TDOA定位模型。然而,該方法會增加定位方程的非線性程度,而且減法處理會引入有色噪聲,導(dǎo)致性能下降[11]。二是利用TOA測量數(shù)據(jù)對時(shí)鐘偏差和目標(biāo)位置進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)。聯(lián)合估計(jì)算法能夠獲得更高的定位精度,近年來受到了廣泛的關(guān)注[12-16]。

聯(lián)合同步與定位問題本質(zhì)上是一個(gè)非線性、非凸的參數(shù)估計(jì)問題。利用最大似然估計(jì)(maximum likelihood estimator,MLE)能夠得到非線性問題的漸進(jìn)最優(yōu)解,但需要進(jìn)行格點(diǎn)搜索,計(jì)算量很大;通常的做法是利用泰勒級數(shù)(Taylor-series, TS)法[17]進(jìn)行迭代求解,然而該方法需要一個(gè)迭代初始值,其收斂性過分依賴于初始值的選取,在初始值選取不好的情況下,很容易落入局部極小點(diǎn),甚至出現(xiàn)發(fā)散的情況。文獻(xiàn)[13]將原聯(lián)合同步與定位問題轉(zhuǎn)化為對二次方程的求解,有效避免了非線性運(yùn)算,并且得到了目標(biāo)位置和時(shí)鐘偏差的閉式解;然而該算法只適用于目標(biāo)位于傳感器內(nèi)部的情況,當(dāng)目標(biāo)位于傳感器陣列的外部時(shí),二次方程會出現(xiàn)多解甚至虛數(shù)解,對解的選取會嚴(yán)重影響算法的估計(jì)性能。文獻(xiàn)[14]通過引入輔助變量克服非線性問題,并利用兩步加權(quán)最小二乘(two-step weighted least square, TSWLS)算法得到了目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的解析解,該方法在測量誤差較小時(shí)可以逼近克拉美羅下界(Cramer-Rao lower bound, CRLB),但測量誤差較大時(shí)估計(jì)性能較差。近年來,一些學(xué)者引入凸優(yōu)化方法[15-16],利用半正定松弛(semi-definite relaxation, SDR)技術(shù),將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解;然而由于松弛近似后的目標(biāo)函數(shù)不再是緊的,因此該方法并不能得到最優(yōu)解,而且優(yōu)化過程計(jì)算量較大。

本文基于線性校正技術(shù)提出一種新的聯(lián)合估計(jì)算法,該算法首先利用加權(quán)最小二乘理論得到目標(biāo)參數(shù)的初始值,然后對初始值的偏差進(jìn)行線性校正。與傳統(tǒng)方法相比,該方法可以得到閉式解,同時(shí)又克服了傳統(tǒng)閉式解方法中根的選取問題;在目標(biāo)位于傳感器陣列內(nèi)部與外部兩種情況下都可以逼近CRLB。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)證明了該算法的有效性。

1 定位模型

不失一般性,假設(shè)在二維平面內(nèi)分布M個(gè)時(shí)鐘相互同步的傳感器錨節(jié)點(diǎn),其坐標(biāo)分別為si=[xi,yi]T,i=1,2,…,M;待測目標(biāo)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為x=[x,y]T;目標(biāo)節(jié)點(diǎn)與傳感器網(wǎng)絡(luò)是不同步的,假設(shè)時(shí)鐘偏差為τ。根據(jù)TOA定位原理,目標(biāo)信號到達(dá)第i個(gè)傳感器的本地時(shí)間為

(1)

式中,‖si-x‖2表示目標(biāo)x到傳感器si的距離;c為光速;Δti為時(shí)間測量誤差。

將式(1)兩邊同時(shí)乘c,可以得到

ri=cti=‖si-x‖2+τ+ni,i=1,2,…,M

(2)

聯(lián)合同步與定位問題就是利用方程(2)中的測量數(shù)據(jù)ri,同時(shí)估計(jì)出目標(biāo)位置x以及時(shí)鐘偏差τ。必須說明的是,為了簡單起見,上述定位模型是建立在二維平面上的,但是文中算法很容易推廣到三維空間中。

2 本文算法

2.1 加權(quán)最小二乘估計(jì)

(3)

定義輔助變量η=xTx-τ2,同時(shí)令θ=[τ,xT,η]T,式(3)寫成矩陣形式為

G1θ-h1=φ

(4)

B=diag(‖s1-x‖2,‖s2-x‖2,…,‖sM-x‖2)

(5)

式(4)是關(guān)于θ的線性方程,根據(jù)加權(quán)最小二乘理論,可求出θ的解為

(6)

式中,加權(quán)矩陣W=E[φφT]-1=(BQnBT)-1,其中Qn為測量誤差矢量n的協(xié)方差矩陣。需要說明的是，由式(5)可知,式中W的計(jì)算與目標(biāo)真實(shí)位置x有關(guān),而x是無法先驗(yàn)已知的。因此,在實(shí)際應(yīng)用時(shí),可先令W為單位陣I,求出式(6)的最小二乘解,然后再利用最小二乘解對W進(jìn)行近似計(jì)算。

(7)

2.2 線性偏差校正

(8)

為了利用系統(tǒng)定位方程進(jìn)行偏差校正,將式(8)代入式(3)中,經(jīng)整理可得

(9)

式(9)的推導(dǎo)過程中忽略了二階偏差項(xiàng)ΔxTΔx和Δτ2。

G2ξ-h2=φ

(10)

式(10)是關(guān)于偏差ξ的線性方程,其加權(quán)最小二乘求解為

(11)

(12)

將式(12)代入式(8)中,則可以得到偏差校正后的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)為

(13)

3 性能分析

對于任何無偏估計(jì),CRLB確定了其參數(shù)估計(jì)誤差協(xié)方差所能達(dá)到的下界,因此用其可以很好地評估本文所提算法的估計(jì)性能。根據(jù)文獻(xiàn)[13]的研究結(jié)果,基于TOA的聯(lián)合同步與定位問題的CRLB為

(14)

(15)

當(dāng)測量誤差較小時(shí),由φ=Bn的定義可知,E[Δξ]=03×1,即線性偏差校正后的估計(jì)結(jié)果是近似無偏估計(jì)。

(16)

分別將G2和W的定義代入式(16)中,可得

(17)

當(dāng)測量誤差n充分小時(shí),即滿足

ni/‖si-x‖2≈0,i=1,2,…,M

(18)

時(shí),由式(7)可知,加權(quán)最小二乘估計(jì)的偏差Δθ是測量誤差n的線性組合,因此有近似

(19)

根據(jù)式(2)中TOA定位方程及式(8)、式(18)、式(19)的結(jié)果可得

(20)

將式(20)代入式(17)中,可得

(21)

根據(jù)以上分析可知,本文提出的基于線性校正的聯(lián)合同步與定位算法,在測量誤差較小時(shí)近似為有效估計(jì)。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

為了驗(yàn)證文中算法的有效性,做了以下仿真實(shí)驗(yàn),并將本文算法的估計(jì)性能與最大似然估計(jì)(maximum likelihood, ML)算法、文獻(xiàn)[6]中的最小-最大算法(min-max algorithm,MMA)、文獻(xiàn)[9]中的加權(quán)最小二乘(weighted least square, WLS)算法、文獻(xiàn)[14]中的TSWLS算法以及CRLB進(jìn)行了比較。

本文仿真實(shí)驗(yàn)在二維環(huán)境下進(jìn)行,假定二維平面上有8個(gè)接收傳感器,其坐標(biāo)分別為

s1=[50,50]T,s2=[50,-50]T,s3=[-50,50]T

s4=[-50,-50]T,s5=[50,0]T,s6=[0,50]T

s7=[-50,0]T,s8=[0,-50]T

圖1(a)和圖1(b)分別為當(dāng)目標(biāo)在傳感器陣列內(nèi)部時(shí),各算法對目標(biāo)位置和時(shí)鐘偏差的估計(jì)性能隨測量誤差變化的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從圖1中可以看出,MMA算法的均方根誤差始終偏離CRLB,這主要是因?yàn)镸MA算法利用凸松弛技術(shù),導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)的約束條件不是緊的,造成性能損失,只能得到次優(yōu)解。WLS算法、ML算法、TSWLS算法和本文算法的估計(jì)性能在測量誤差較小時(shí)逼近CRLB;然而隨著測量誤差的增加,各算法的均方根誤差都有所增加。其中,WLS算法比本文算法較早地出現(xiàn)門限效應(yīng);而ML算法的均方根誤差急劇上升,這是因?yàn)楫?dāng)測量誤差較大時(shí),迭代初始值偏離真實(shí)值較遠(yuǎn),導(dǎo)致算法局部收斂,甚至發(fā)散。此外,本文算法在測量誤差較大時(shí)性能優(yōu)于TSWLS算法,主要原因是,本文算法在第二步偏差校正過程中不僅利用了變量之間的函數(shù)關(guān)系而且充分利用了系統(tǒng)的原定位方程,因此提高了對測量誤差容忍性。由圖1可以看出,本文算法的估計(jì)均方根誤差一直保持最小,估計(jì)性能優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

圖1 目標(biāo)位于傳感器陣列內(nèi)部時(shí)各算法的估計(jì)性能比較示意圖Fig.1 Performance comparison of various algorithms for the source inside the sensor array

圖2(a)和圖2(b)分別為當(dāng)目標(biāo)在傳感器陣列外部時(shí),各算法對目標(biāo)位置和時(shí)鐘偏差的估計(jì)性能隨測量誤差變化的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從圖2中可以得到與實(shí)驗(yàn)1類似的結(jié)論。但值得注意的是,在本實(shí)驗(yàn)的條件下,WLS算法的均方根誤差始終偏離CRLB,當(dāng)測量誤差較大時(shí),甚至出現(xiàn)了發(fā)散的現(xiàn)象,這主要是因?yàn)楫?dāng)目標(biāo)在傳感器陣列外部時(shí),在WLS算法的二項(xiàng)式方程求根過程中出現(xiàn)虛數(shù)解,導(dǎo)致算法性能嚴(yán)重下降。在本實(shí)驗(yàn)條件下,本文算法與TSWLS算法性能近似,但根據(jù)圖2中局部放大圖可以看出,文中算法性能在測量誤差較大時(shí)仍略優(yōu)于TSWLS算法。而隨著測量誤差的增大,所有算法的性能均有所下降,而文中算法的均方根誤差始終保持最低,具有較高的精度。

圖2 目標(biāo)位于傳感器陣列外部時(shí)各算法的估計(jì)性能比較示意圖Fig.2 Performance comparison of various algorithms for the source outside the sensor array

以上仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析一致,文中算法在測量誤差較小時(shí)能夠逼近CRLB。從仿真結(jié)果可以看出,隨著測量誤差的增加,文中算法的性能優(yōu)于傳統(tǒng)方法,并且在目標(biāo)位于傳感器陣列內(nèi)部和外部兩種情況下都具有較高的估計(jì)精度。

5 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)TOA定位中目標(biāo)與傳感器時(shí)鐘不同步的問題,提出了基于線性校正的聯(lián)合同步與定位算法。通過對定位方程的線性近似,求出加權(quán)最小二乘解作為初始值,然后利用系統(tǒng)定位方程對初始值的偏差進(jìn)行線性校正。理論分析了該算法在測量誤差較小時(shí)為近似有效估計(jì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算法性能優(yōu)于傳統(tǒng)的聯(lián)合估計(jì)算法,對測量誤差具有容忍性,在目標(biāo)位于傳感器內(nèi)部和外部兩種情況下都具有較高的定位與同步精度。

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