呂 娜，張 靜，邱旭東

(1.大連民族大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116650；2.北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

1 引論

微分差分方程存在于很多領(lǐng)域，并具有廣泛的應(yīng)用，例如計算機科學(xué)、生物數(shù)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、組合學(xué)、數(shù)學(xué)物理、離散幾何、量子物理，等等。對于微分差分方程的研究最初是從Fermi等人在1950年的工作開始的。1991年，D. Levi和P. Winternitz[1]將李群方法推廣到離散方程，并得到了這些方程的對稱。近來科學(xué)家們對于微分差分方程的對稱性質(zhì)和構(gòu)造精確解以及相應(yīng)的物理現(xiàn)象愈發(fā)感興趣，許多有效的分析方法相繼產(chǎn)生[2-5]。2005年，樓森岳[6]在CK直接法的基礎(chǔ)上巧妙地構(gòu)造了一種修正的直接法，稱為“樓直接法”，該方法不涉及群論思想，結(jié)果形式簡單，易于使用。

樓直接方法的主要思想為：對于給定的非線性微分方程

F(xi,u,uxi,uxixj,…,)=0,i,j=1,2,…,n,

(1)

設(shè)方程(1)具有如下形式的解

u(x1,x2,…,xn)=W(x1,x2,…xn,U(ξ1,ξ2,…ξn))。

(2)

式中：ξ1是(x1,x2,…,xn)的函數(shù)，且U(ξ1,ξ2,…,ξn)滿足與(1)形式相同的另一個方程

F(ξi,U,Uξi,Uξi,ξj,…,)=0,i,j=1,2,…,n。

(3)

將(2)代入到(1)，并結(jié)合(3)進行整理和化簡，得到一個關(guān)于W和ξi的確定方程組。通過逐步化簡來求解這個方程組，從而確定W和ξi的具體表達式，進而通過關(guān)系式(2)得到方程(1)的對稱變換。本文主要利用樓直接方法研究一個微分差分方程的對稱變換，并給出該方程的新精確解和數(shù)值算例。

2 (2+1)-維Toda-like晶格方程的對稱變換

考慮如下的(2+1)-維Toda-like晶格方程[7]

(4)

式中：vn=vn(x,t)。引入變換

(5)

則方程(4)變?yōu)?/p>

(6)

為了獲得方程(6)的對稱變換，令

un=A+B·U(n,ξ,τ)。

(7)

式中：A、B、ξ和τ都是關(guān)于n、x、t的函數(shù)。令U(n)≡U(n,ξ,τ)，使其與晶格方程(6)有相同的形式，但關(guān)于新的獨立變量ξ,τ，有

U(n)ξτ=U(n)τ(2U(n)-U(n-1)+U(n+1))。

(8)

將(7)式帶入方程(6)，然后利用(8)消去U(n)ξτ，得到

B(n,x,t)ξtξxU(n)ξξ+B(n,x,t)τtτxU(n)ττ+V1(n,x,t,U(n-1),U(n),U(n+1),U(n)ξ,U(n)τ)=0。

(9)

式中：V1是一個與U(n)ξξ,U(n)ττ無關(guān)的復(fù)雜函數(shù)。方程(9)對于任意解U成立，當(dāng)且僅當(dāng)U的各階導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)為零。從方程(9)可以看出ξtξx=0,τtτx=0,不失一般性，假設(shè)

ξ=ξ(n,x),τ=τ(n,t)，

(10)

將(10)代入方程(6)，有

B(n,x,t)tξxU(n)ξ+V2(n,x,t,U(n-1),U(n),U(n+1),U(n)τ)=0。

(11)

式中：V2是一個與U(n)ξ無關(guān)的函數(shù)。消去U(n)ξ的系數(shù)，可以看出B(n,x,t)與t無關(guān)，設(shè)B(n)=B(n,x)，所以(7)可以化簡為

un=A(n,x,t)+B(n)·U(n,ξ(n,x),τ(n,t))。

(12)

下面將(12)代入晶格方程(6)中，由于U(n),U(n-1),U(n+1)是方程(8)的任意解，收集U(n),U(n+1),U(n-1)和其導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)，可得關(guān)于可微函數(shù)A,B,ξ和τ的確定方程組

τt[2A(n)B(n)-A(n-1)B(n)-A(n+1)B(n)-B(n)x]=0,

B(n)τt[ξx-B(n-1)]=0,B(n)τt[ξx-B(n+1)]=0,2B(n)τt[ξx-B(n)]=0,

B(n-1)At=0,B(n)At=0,B(n+1)At=0,

A(n)xt-2A(n)tA(n)+A(n)tA(n-1)+A(n)tA(n+1)=0。

(13)

式中：A(n)=A(n,x,t)。

求解上述方程組得到

(14)

式中：f1(x),f2(x),b(x),h1(n),τ(n,t)是任意函數(shù)；n是任意常數(shù)。

結(jié)合(14)式，(7)化為

(15)

因此得到了關(guān)于Toda-like晶格方程的一個定理。

定理1 如果U(n)=U(n,x,t)是方程(6)的一個解，那么由(15)確定的un也是其一個解。

利用文獻[8]中的方法，獲得方程(6)的一個雙曲函數(shù)解，

(16)

式中：φn=dn+kx+G(t)+c，且d,k,c,δ是常數(shù)，F(xiàn)(x),G(t)是任意函數(shù)。

根據(jù)定理1，

(17)

是方程(6)的一個新的類孤子解，其中

(18)

3 數(shù)值算例

圖1 類孤子解(17)在n=5時的圖像

圖2 類孤子解(17)在n=5時的圖像

圖3 類孤子解(17)在n=3時的圖像

圖4 類孤子解(17)在n=7時的圖像

4 結(jié) 語

本文利用樓直接法得到了(2+1)-維Toda-like晶格方程的對稱變換，并給出這個方程一個新的類孤子解。若想直接獲得微分差分方程帶有豐富任意函數(shù)的精確解，往往計算過程比較復(fù)雜，而借助于對稱變換則可以較輕易地達到這個目的。因此對稱變換是獲得微分差分方程豐富精確解的有效工具。

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