湖北省荊州市東方紅中學(xué)(434100) 白宗化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》(以下簡稱“課標(biāo)(2011版)”)指出:數(shù)學(xué)知識的教學(xué),要注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”,把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中,注重知識的結(jié)構(gòu)和體系,處理好局部知識與整體知識的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性,體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解.數(shù)學(xué)知識的教學(xué)是一個整體,不是“碎片化”的單一的一節(jié)課的教學(xué).因此,教師在課堂上要幫助學(xué)生了解知識的結(jié)構(gòu),構(gòu)建知識的網(wǎng)絡(luò)體系.

下面筆者以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》為例,通過幾則案例來說明,如何把握知識之間的內(nèi)在關(guān)系,有效提升教師自身的教學(xué)能力.

一、把握知識的并列關(guān)系,教師要有整體意識

教材的很多內(nèi)容都是“點(diǎn)狀”的,有些知識只是基于某種事實(shí)和現(xiàn)狀而進(jìn)行編排的,順序上并沒有嚴(yán)格的要求.教材只是我們教學(xué)的一種資源,沒有必要迷信教材,非得按教材的順序去教.要變“教教材”為“教知識”.教師要充分研究教材,研究學(xué)生,把握這種“并列關(guān)系”來預(yù)設(shè)教學(xué)活動.

案例1“代入消元法解二元一次方程組”(七年級下冊)

師:如何解這個方程組?

生1:可以由①得y=10-x,然后代入②得2x+(10-x)=16,從而可解出這個方程中的x,進(jìn)而求出y.

師:很好!這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的思想,叫做消元思想.這種方法叫做代入消元法.

生2:(舉手)老師,也可以用②-①得x=6,再代入①可得y=4.

師:你真愛動腦筋,這也是我們常用的一種消元的方法—加減消元法.教師順著學(xué)生的思維,因勢利導(dǎo),介紹加減消元法 ······

評析與思考 人教版教材上關(guān)于“代入消元法”和“加減消元法”是分為前后兩節(jié)課時,先介紹“代入消元法”,再介紹“加減消元法”.教材編者根據(jù)二元一次方程組的一般特點(diǎn),認(rèn)為“加減消元法”要稍微復(fù)雜一點(diǎn),所以放在“代入消元法”的后面介紹.事實(shí)上,這兩種方法是一種“并列關(guān)系”,是“消元”的兩種不同的方法,是一對“雙胞胎”,并無先后之分.教師沒有必要把這兩種方法割裂開來去講授.

可以結(jié)合具體的學(xué)生基礎(chǔ)情況,選擇先研究“代入消元法”,或者先研究“加減消元法”,或者兩種方法一起作“整體性講解”.具體情形要具體對待,教師要做到“應(yīng)對有法”.如果簡單地否定、回絕學(xué)生—“這是下一節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,我們下節(jié)課再來研究‘加減消元法’”,那么這將澆滅學(xué)生“學(xué)習(xí)的火焰”.

二、把握內(nèi)容的延伸關(guān)系,教師要有“長程”意識

基于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),教材的很多章節(jié)都是整體與局部的關(guān)系.正是這種整體與局部的包含關(guān)系的存在,要求我們從學(xué)生成長發(fā)展的長程思考,以整體結(jié)構(gòu)的方式對教材進(jìn)行結(jié)構(gòu)加工和生命激活的處理,開發(fā)和拓展教學(xué)內(nèi)容的育人資源.

案例2“實(shí)數(shù)”(七年級下冊)

例 已知實(shí)數(shù)a、b、c的位置如圖所示,試化簡:

這是我校七年級一位年青教師公開課中展示的一道例題.很多七年級教輔資料、練習(xí)冊中都出現(xiàn)過類似的習(xí)題.從學(xué)情反饋來看,很多學(xué)生并沒有掌握,學(xué)生在練習(xí)時,錯誤率高達(dá)65%以上.雖然七年級少數(shù)基礎(chǔ)較好的學(xué)生可以解決這一類問題,但是絕大多數(shù)學(xué)生要做正確是很困難的.在評課的過程中,有的老師就說“這類題現(xiàn)在九年級的學(xué)生都很容易做錯.”

評析與思考 “課標(biāo)(2011版)”指出:數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程,逐步理解和掌握的”······“因此,教材在呈現(xiàn)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容與思想方法時,應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識積累,在遵循科學(xué)性的前提下,采用逐級遞進(jìn)、螺旋上升的原則.從有理數(shù)到無理數(shù)是數(shù)的范圍的又一次擴(kuò)充.七年級的學(xué)生才剛剛接觸無理數(shù)這一陌生的概念,這里人為地拔高教學(xué)要求是否適切,很值得大家商榷.況且學(xué)生對于“式”的理解總是比“數(shù)”的理解要困難的多.

三、把握章節(jié)的特殊關(guān)系,教師要有歸納意識

復(fù)習(xí)舊知識可以“以舊導(dǎo)新”,有效促進(jìn)知識的遷移,從而達(dá)到高效學(xué)習(xí)新知的目的.教師在教學(xué)中適時利用表格歸納新、舊知識之間的特殊關(guān)系,縱向?qū)Ρ?使學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)形成一個有機(jī)的整體.

案例3 “相似三角形”(九年級下冊)

在學(xué)習(xí)了“相似三角形”的概念以后,我們可以用圖表的形式,與“全等三角形”對比歸納它的定義、圖形性質(zhì)、表示方法以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系(如下表).由于兩者之間有著特殊的關(guān)系,這樣對比歸納,有利于后面學(xué)習(xí)相似三角形的性質(zhì)和判定.

全等三角形相似三角形定義能夠完全重合的兩個三角形對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形圖形性質(zhì)形狀、大小完全一樣形狀一樣、大小未必一樣表示方法△ABC ～= △A′B′C′△ABC ～ △A′B′C′相似比k=1 k區(qū)別與聯(lián)系(1)找對應(yīng)元素的方法一樣.(2)全等三角形是相似比為1的相似三角形,但相似三角形不一定全等.

評析與思考 全等三角形是相似三角形的特殊情況,是相似比為1的兩個三角形.把全等看成相似的特例,從相似這一上位知識來從新認(rèn)識全等這一下位知識,建立章節(jié)知識之間的特殊與一般關(guān)系.數(shù)學(xué)中我們一般先研究特殊關(guān)系,在研究一般關(guān)系.這種“從特殊到一般”的研究方法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到.例如在研究“相交線”時,我們先研究“特殊的相交”—“垂直”關(guān)系;在“平行四邊形”的學(xué)習(xí)中,我們先研究“一般平行四邊形”,再研究“特殊的平行四邊形”—“菱形、矩形、正方形”;在學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”時,我們先研究特殊的“正比例函數(shù)”;在研究二次函數(shù)“y=ax2+bx+c(a/=0)的圖形與性質(zhì)”時,我們先研究“y=ax2(a/=0)的圖像與性質(zhì)”······

從“特殊到一般”、從“簡單到復(fù)雜”是研究數(shù)學(xué)問題的一般思路.數(shù)學(xué)家在證明“哥德巴赫猜想”時,也是從最簡單的情況開始研究的.所以,我們在進(jìn)行課堂教學(xué)時,更要牢牢把握這種關(guān)系,歸納知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,達(dá)到“利學(xué)利教”的效果.

四、把握概念的相通關(guān)系,教師要有類比意識

“授之以魚不如授之以漁”,數(shù)學(xué)中很多概念和研究方法具有相通性.教師要善于抓住這些知識和方法之間的“共性”來進(jìn)行講解,打通知識、方法之間的“任督二脈”.

案例4“一元一次不等式組的解法”(七年級下冊)

師:二元一次方程組的解的定義是什么?

生1:兩個方程的公共解叫做二元一次方程組的解.

生2:找兩個不等式組解集的公共部分.

師:(引入定義)一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集······

評析與思考 前蘇聯(lián)教育家烏申斯基認(rèn)為:“在教學(xué)論中,比較應(yīng)當(dāng)是一種基本方法.”對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說,這個思想也是正確的.人們對任何事物的認(rèn)識都是通過與其相似或相異的其他事物的比較來實(shí)現(xiàn)的.“在比較中認(rèn)識一切”,這句格言說明了“比較”在認(rèn)識中的作用.

“異中求同”的類比教學(xué)形式在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到,例如,“二次根式”加減運(yùn)算,把它與已學(xué)過的“整式”加減運(yùn)算比較,可以發(fā)現(xiàn)它們的合并法則都是一樣的,不同點(diǎn)只是“同類根式”與“同類項”.還有“分式的基本性質(zhì)”與“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”、“不等式的基本性質(zhì)”與“等式的基本性質(zhì)”等等.

教材知識的呈現(xiàn)是符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律的,具有科學(xué)性.很多章節(jié)的知識之間具有層次性、關(guān)聯(lián)性和延伸性的關(guān)系.教師對教材的處理能力的強(qiáng)弱可以看做是其教學(xué)是否走向成熟的一個重要標(biāo)志.教師在教學(xué)中要合理把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,找準(zhǔn)知識之間“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”,領(lǐng)悟教學(xué)之“道”,提升教學(xué)之“效”.