江蘇省揚(yáng)州大學(xué)(225002) 濮安山 丁嘉雯

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯起點(diǎn),是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ),是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心,因而理解概念是一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ),概念不清就無(wú)法進(jìn)一步開展其它數(shù)學(xué)活動(dòng),可見(jiàn)概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的地位.然而,當(dāng)前忽視概念教學(xué),取而代之應(yīng)試解題的現(xiàn)象十分普遍,尤其在高中,許多教師認(rèn)為:概念就是一種規(guī)定,記憶是主要的,所以常常采用“一個(gè)定義,幾項(xiàng)注意”的方式“灌輸”概念,這樣的教學(xué)效果可想而知:學(xué)生變成了解題機(jī)器,只知其然而不知其所以然.因此,尋求新的有效的概念教學(xué)法是高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的迫切需要,也應(yīng)是廣大高中數(shù)學(xué)教師的不懈追求.基于上述背景,本文將基于指導(dǎo)概念教學(xué)的重要理論–APOS理論,以三角函數(shù)的開篇和基礎(chǔ)–“任意角”為例,嘗試對(duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行探索,以期獲得一些啟發(fā).

一、APOS理論概述

任何一個(gè)數(shù)學(xué)教育中的理論或模型都應(yīng)該致力于對(duì)“學(xué)生是如何學(xué)數(shù)學(xué)的”及“什么樣的教學(xué)計(jì)劃可以幫助這種學(xué)習(xí)”的理解,而不僅僅是陳述一些事實(shí).基于這樣的考慮,1991年美國(guó)數(shù)學(xué)家、教育家杜賓斯基等人提出了APOS理論:APOS分別是由英文action(操作)、process(過(guò)程)、object(對(duì)象)和scheme(圖示)的首字母所組合而成.APOS理論是源于杜賓斯基試圖對(duì)皮亞杰(Piaget)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“自反抽象(Reflective Abstraction)”理論進(jìn)行拓展的一種嘗試.杜賓斯基認(rèn)為,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,如果引導(dǎo)個(gè)體經(jīng)過(guò)思維的操作、過(guò)程和對(duì)象等幾個(gè)階段后,個(gè)體一般就能在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上把它們組成圖式,從而理清問(wèn)題情景、順利解決問(wèn)題,因而學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念要經(jīng)過(guò)“活動(dòng)”、“過(guò)程”、“對(duì)象”、“圖式”四個(gè)階段:

1.第 一階段–活動(dòng)(或操作)(Action)階段

數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際,并應(yīng)用于實(shí)際.為更好地理解這些數(shù)學(xué)概念需要還原操作或活動(dòng),要引導(dǎo)學(xué)生化身為數(shù)學(xué)家,通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)來(lái)獲得知識(shí),而這些操作和活動(dòng)過(guò)程恰恰就蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征,是學(xué)生最需要知曉的部分.作為教師,可通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)際體驗(yàn),與已獲得的知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系和比較,引發(fā)學(xué)生的思考,引起思維和認(rèn)知沖突,這樣便使學(xué)生獲得了對(duì)問(wèn)題的初步認(rèn)識(shí).因此這一階段的學(xué)習(xí)是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的起點(diǎn).

2.第 二階段–過(guò)程(Process)階段

在此階段杜賓斯基認(rèn)為學(xué)生需要掌握一種特殊的能力:內(nèi)化和壓縮.在“活動(dòng)階段”學(xué)生獲得了直觀感知,隨后的這一階段,就要對(duì)其進(jìn)行組織和處理,經(jīng)歷觀察、聯(lián)想、歸納等過(guò)程,加之思考,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“再創(chuàng)造”.此階段中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將具體問(wèn)題抽象化,形成抽象思維,抽象出概念所特有的性質(zhì),該階段進(jìn)行的順利與否將直接影響下一階段概念的概括和生成,因此第二階段是學(xué)生概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵階段.

3.第 三階段–對(duì)象(Object)階段

概念發(fā)展到了對(duì)象階段,已不再是歷時(shí)的程序、算法步驟了,而是呈現(xiàn)一種共時(shí)的形態(tài),一種結(jié)構(gòu),一個(gè)抽象的整體.該階段表現(xiàn)為個(gè)體通過(guò)前面的抽象,認(rèn)識(shí)到了概念的本質(zhì),進(jìn)一步對(duì)概念進(jìn)行嚴(yán)格定義,并進(jìn)行數(shù)學(xué)符號(hào)化表示,成為一個(gè)具體的對(duì)象,在以后的學(xué)習(xí)中能夠以此為對(duì)象進(jìn)行新的活動(dòng).所以,“對(duì)象”在某一個(gè)層次和更高一級(jí)層次之間起著一種樞紐作用:既是概括的結(jié)果,又是新的概括的起點(diǎn).

4.第 四階段–圖示(Scheme)階段

經(jīng)過(guò)前三個(gè)階段,概念此時(shí)作為對(duì)象,是學(xué)生整個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一個(gè)節(jié)點(diǎn),它需要與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中其他知識(shí)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)逐漸建立聯(lián)系,形成新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),即學(xué)生對(duì)前面幾個(gè)階段的經(jīng)歷及大腦中原有相關(guān)方面的問(wèn)題圖式進(jìn)行不斷的整合、精致,最終形成綜合的圖式結(jié)構(gòu),從而應(yīng)用到數(shù)學(xué)實(shí)際中去.這樣通過(guò)持續(xù)的建構(gòu),學(xué)生的思維認(rèn)知水平才能上升到更高的層次,對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和認(rèn)知會(huì)進(jìn)一步深化.值得一提的是,有的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí),一兩次的“APOS”是不能形成完整的“圖式”的,如“函數(shù)”概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)復(fù)雜而困難的過(guò)程,學(xué)生在初中、高中和大學(xué)都需要經(jīng)歷不同程度的概念建構(gòu).

APOS理論被引入到我國(guó)的數(shù)學(xué)教育界,是為數(shù)不多的依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)而建立的教學(xué)理論.與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)相比較,APOS理論教學(xué)更能體現(xiàn)“學(xué)生主體,教師主導(dǎo)”的建構(gòu)主義理念,更符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),揭示了數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的建構(gòu)過(guò)程,應(yīng)值得重視和深究.

二、“任意角”教學(xué)設(shè)計(jì)為例來(lái)探討APOS理論的應(yīng)用

蘇教版教材中“任意角”是必修四第一章三角函數(shù)的第一節(jié)第一課時(shí),這是對(duì)初中銳角三角函數(shù)的一個(gè)延伸和推廣的概念課,也是對(duì)集合與函數(shù)的知識(shí)的又一滲透,所以本節(jié)課起著一個(gè)鋪墊和承上啟下的作用,為今后學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)提供依據(jù).

1.活 動(dòng)階段

教師在復(fù)習(xí)過(guò)初中角的定義(靜態(tài)定義)以及分類后,提出以下問(wèn)題:

問(wèn)題1我們以前所學(xué)的角都是在[0?,360?]范圍里,那么生活中的角是不是都在這個(gè)范圍呢?(教師出示鐘作為教具,學(xué)生拿出事前準(zhǔn)備的紙質(zhì)鐘)現(xiàn)在是北京時(shí)間8點(diǎn)20分,老師手里的時(shí)鐘才6點(diǎn)55分,請(qǐng)撥動(dòng)分針調(diào)整到正確時(shí)間,并思考兩個(gè)問(wèn)題:

(1)分針在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否形成角;

(2)若形成角,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中轉(zhuǎn)了幾度?

(請(qǐng)學(xué)生通過(guò)教具演示后回答)

師生活動(dòng):根據(jù)已學(xué)的知識(shí),由于成角的過(guò)程是運(yùn)動(dòng)的,無(wú)法找到兩條靜止的射線,所成角超過(guò)了初中的認(rèn)知范圍[0?,360?],而且角有方向,有必要將角的概念推廣到任意角,那用什么辦法才能推廣到任意角呢?(運(yùn)動(dòng))

設(shè)計(jì)意圖 主要通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手演示觀察,在活動(dòng)中激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.角的概念初中已有定義,以此為“生長(zhǎng)點(diǎn)”,基于已有認(rèn)知而又高于已有認(rèn)知,形成認(rèn)知沖突,啟發(fā)學(xué)生思考,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

2.過(guò) 程階段

角的概念的推廣

(1)“旋轉(zhuǎn)”形成角,如圖1

圖1

角的定義:平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.射線的端點(diǎn)稱為角的頂點(diǎn),射線旋轉(zhuǎn)的開始位置和終止位置稱為角的始邊和終邊.如圖1,旋轉(zhuǎn)形成的角α,點(diǎn)O是角α的頂點(diǎn),射線OA和OB分別是角α的始邊和終邊.

問(wèn)題2 如果現(xiàn)在是北京時(shí)間8點(diǎn)45分,再次調(diào)整時(shí)間,觀察旋轉(zhuǎn)成角的方向.(請(qǐng)學(xué)生通過(guò)教具演示)

師生活動(dòng):請(qǐng)學(xué)生不斷演示將時(shí)鐘調(diào)快和調(diào)慢10min、30min、50min,觀察不同的旋轉(zhuǎn)方向(逆時(shí)針或順時(shí)針),大小相同的角因?yàn)榉较虿煌煌?

問(wèn)題3 請(qǐng)同學(xué)們自行建構(gòu),如何區(qū)別定義按逆時(shí)針和順時(shí)針的角?

師生活動(dòng):鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)已有知識(shí),大膽發(fā)言,交流意見(jiàn).

問(wèn)題4 有同學(xué)會(huì)疑惑為什么順時(shí)針為負(fù)角,逆時(shí)針為證角呢?

師生活動(dòng):邀請(qǐng)兩位同學(xué)上臺(tái)演示轉(zhuǎn)一圈,多為向左轉(zhuǎn)一圈(同學(xué)課后也可自己演示),由此得出生活中生物的本能確定逆時(shí)針為正,因此定義按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角,叫做正角;按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角,叫做負(fù)角;如果射線沒(méi)作任何旋轉(zhuǎn),那么也把它看成一個(gè)角,叫做零角.

如圖 2,以 OA 為始邊的角 α =210?,β =-150?,γ =660?.

圖2

用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后,角的范圍推廣到任意角了,它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角.正角和負(fù)角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量,它的正負(fù)規(guī)定純系習(xí)慣,就好像與正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定一樣,零角無(wú)正負(fù),就如同數(shù)零無(wú)正負(fù)一樣.

設(shè)計(jì)意圖 此過(guò)程與學(xué)生實(shí)踐緊密結(jié)合,使學(xué)生親身體驗(yàn)正負(fù)角的差異性,此即概念生成的過(guò)程.

3.對(duì) 象階段

問(wèn)題5 我們知道了任意角的概念,理解了正角、負(fù)角和零角,那么該如何來(lái)研究它呢?(簡(jiǎn)便、統(tǒng)一、實(shí)用)

師生活動(dòng):師生共同討論,根據(jù)已學(xué)的函數(shù),知道函數(shù)的圖象都是通過(guò)平面直角坐標(biāo)系來(lái)研究的,那么也在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論角,從而得出象限角的概念:將角的頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合,角的終邊(除頂點(diǎn)外)在第幾象限,就把這個(gè)角叫做第幾象限的角(或說(shuō)這個(gè)角在第幾象限).如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限,或稱這個(gè)角為終邊落在軸上的角.

問(wèn)題6下列各角:

(1)-50,405,270,-30,330,-390分別是第幾象限角?

(2)并且思考其中-30?,330?,-390?這些角間有什么內(nèi)在的聯(lián)系?

師生活動(dòng):學(xué)生回答完問(wèn)題(1)后,由學(xué)生觀察,發(fā)現(xiàn)330?,-390?它們的終邊都與-30?的終邊相同,共同探究終邊相同的角的集合表示,即所有與α終邊相同的角連同α在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合:S={β|β = α+k·360?,k ∈ Z},教師有必要講解注意點(diǎn)○1k∈Z;○2α是任意角;○3“+”號(hào)連接;○4終邊相同的角不一定相等,但相等的角,終邊一定相同;終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè),它們相差360?的整數(shù)倍.

設(shè)計(jì)意圖 象限角推出是通過(guò)一道例題來(lái)完成,這樣可以在檢驗(yàn)學(xué)生前面知識(shí)點(diǎn)的同時(shí),讓學(xué)生在例題中發(fā)現(xiàn)探索,從而自然過(guò)渡到象限角.該階段歸納明晰對(duì)象,強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的主動(dòng)積極性,也鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)言語(yǔ)表達(dá)和歸納能力.

4.圖 示階段

練習(xí)1下列命題:○1第一象限角都為銳角;○2第二象限角大于第一象限角;○3小于180?的角是鈍角、直角或銳角.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為.

練習(xí)2-1120角是第幾象限角?與-1120角終邊相同的最小正角是多少?最大負(fù)角是多少?

問(wèn)題7通過(guò)本節(jié)課你感覺(jué)自己學(xué)到了什么?

師生活動(dòng):先給學(xué)生時(shí)間完成練習(xí),必要時(shí)進(jìn)行適當(dāng)提示,再鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)言交流本節(jié)課收獲.

設(shè)計(jì)意圖 練習(xí)1為象限角的理解而設(shè)計(jì);練習(xí)2為終邊相同的角理解與應(yīng)用而設(shè)計(jì);問(wèn)題7由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課知識(shí)點(diǎn),喚起學(xué)生對(duì)原有知識(shí)的回憶,自覺(jué)地找到新舊知識(shí)的聯(lián)系,使新學(xué)知識(shí)更牢固,理解更深刻,形成心理圖示.

三、結(jié)束語(yǔ)

在教學(xué)實(shí)踐中,要實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)從“灌輸式”到“建構(gòu)式”的轉(zhuǎn)變,需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)精心設(shè)計(jì)情境引入和問(wèn)題串,在教學(xué)過(guò)程中留給學(xué)生足夠的思考和探究的時(shí)間,讓學(xué)生“變身”數(shù)學(xué)家,因?yàn)閷W(xué)生對(duì)知識(shí)真正意義的理解與建構(gòu)是建立在親歷操作的基礎(chǔ)上的.APOS理論為高中概念教學(xué)提供了一個(gè)操作層面的指導(dǎo),讓學(xué)生在“操作(A)階段”中體驗(yàn)、在“過(guò)程(P)階段”中感悟、在“對(duì)象(O)階段”中歸納、在“圖式(S)階段”中升華.總之,APOS理論對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)有一定的借鑒作用和參考價(jià)值,值得我們教師反思與探究.