摘要：在高中學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們對(duì)曲線與導(dǎo)數(shù)都進(jìn)行了較為細(xì)致的學(xué)習(xí)，對(duì)其性質(zhì)與定義也有了一定的了解，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸，能夠得出相關(guān)曲線導(dǎo)數(shù)的部分內(nèi)容，其廣泛的應(yīng)用價(jià)值，決定了其研究?jī)r(jià)值?；诖耍疚木颓€導(dǎo)數(shù)的定義及一些性質(zhì)進(jìn)行了分析，首先，介紹了筆者在對(duì)曲線導(dǎo)數(shù)這一問(wèn)題進(jìn)行研究的前期過(guò)程做出的一些思考，然后對(duì)其定義與性質(zhì)進(jìn)行了分析，進(jìn)一步明確了這一問(wèn)題研究的必要性。

關(guān)鍵詞：曲線導(dǎo)數(shù)；方向?qū)?shù)；充分條件

一、 前言

對(duì)曲線導(dǎo)數(shù)存在的充分條件及其基本性質(zhì)的相關(guān)研究，有利于豐富微積分理論，同時(shí)，對(duì)于筆者及其他同學(xué)的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與未來(lái)的大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)具有極大的幫助。因此，筆者以高中導(dǎo)數(shù)知識(shí)為基礎(chǔ)，從曲線導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，商品價(jià)格對(duì)商品銷售額的影響這一角度出發(fā)，對(duì)曲線導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了進(jìn)一步探究。文獻(xiàn)研究中結(jié)合的數(shù)學(xué)知識(shí)包括多元函數(shù)微分學(xué)以及偏導(dǎo)數(shù)及曲線微分等知識(shí)，極大地鍛煉了自身的數(shù)學(xué)邏輯思維與探究學(xué)習(xí)能力。

二、 問(wèn)題思考

導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)中的重要概念，對(duì)近代數(shù)學(xué)的整體研究與發(fā)展具有重要的推動(dòng)意義，這主要取決于其揭示了量與量之間的變化聯(lián)系，致使其在自然與經(jīng)濟(jì)等眾多學(xué)科當(dāng)中都取得了較為廣泛的應(yīng)用前景，其應(yīng)用價(jià)值得到了充分的發(fā)揮。對(duì)于不同的研究問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)都可以被賦予相應(yīng)的定義，除卻常規(guī)的導(dǎo)數(shù)定義，數(shù)學(xué)專家們也對(duì)方向?qū)?shù)、上右導(dǎo)數(shù)與上左導(dǎo)數(shù)等進(jìn)行了定義，對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了一定的研究與規(guī)范。筆者基于對(duì)經(jīng)濟(jì)與數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)提出曲線導(dǎo)數(shù)的相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行了研究，進(jìn)一步對(duì)曲線導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)進(jìn)行了總結(jié)與分析。

三、 曲線導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)

在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的研究當(dāng)中發(fā)現(xiàn)，商品價(jià)格與銷售額之間存在一定的相互影響關(guān)系，這種關(guān)系通過(guò)相關(guān)數(shù)學(xué)原理進(jìn)行表示能夠得到銷售額S=（P，Q），其中，P所代表的是商品價(jià)格，Q代表的則是商品P的銷量。由此能夠明確商品銷售價(jià)格與銷量之間存在一種非線性關(guān)系，可表示為Q=f（P），若在商品銷售過(guò)程中，商品價(jià)格P與銷量Q遵循該非線性關(guān)系進(jìn)行變化，則我們就能將銷售額的變化率視作一個(gè)方向?qū)?shù)，這種定義原理，是由于S=（P，Q）中的P與Q同時(shí)作為自變量，并不會(huì)沿著同一條射線方向進(jìn)行直線變化，而是會(huì)遵循某一曲線規(guī)律進(jìn)行相關(guān)變化。在對(duì)商品價(jià)格與銷售額之間關(guān)系的研究過(guò)程中，最終若要明確S=（P，Q）中自變量P與Q在曲線Γ：Q=f（P）上變化時(shí)函數(shù)S的變化率，就需要提出一種新型的導(dǎo)數(shù)定義來(lái)進(jìn)行輔助研究，即為曲線導(dǎo)數(shù)定義。

（一） 曲線導(dǎo)數(shù)的定義

曲線導(dǎo)數(shù)的定義內(nèi)容如下：假設(shè)一個(gè)函數(shù)z=f（x，y），在這一函數(shù)區(qū)域D內(nèi)有定義；過(guò)區(qū)域D上的一個(gè)點(diǎn)M（x，y）作一條曲線，該曲線為Γ：x=φ（t），y=φ（t）。當(dāng)點(diǎn)M沿著曲線Γ變化時(shí)，函數(shù)z=f（x，y）就會(huì)相應(yīng)產(chǎn)生一定的變化量，當(dāng)這一變化量為沿曲線的平均變化率時(shí)，且存在極限，則就能夠成認(rèn)定函數(shù)z=f（x，y）在其區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)M處沿曲線方向的導(dǎo)數(shù)存在。

依據(jù)曲線導(dǎo)數(shù)的這一定義，我們能夠明確若曲線Γ為射線，則曲線導(dǎo)數(shù)的定義就會(huì)發(fā)生變化，將與方向?qū)?shù)一致，由此，我們能夠?qū)⒎较驅(qū)?shù)作為曲線導(dǎo)數(shù)定義中的特殊情形進(jìn)行以下充分條件的研究。此時(shí)曲線導(dǎo)數(shù)的定義即可歸結(jié)為：一個(gè)函數(shù)z=f（x，y），在一點(diǎn)處某個(gè)射線Γ：Q=f（P）方向上變化，這一距離的變化率即為曲線導(dǎo)數(shù)；若這變化率中同時(shí)考慮到與射線Γ：Q=f（P）指向恰好相反的另一條射線，在定義過(guò)程中，令函數(shù)的變化距離帶上負(fù)號(hào)，由此，就得到與正向射線導(dǎo)數(shù)相對(duì)稱的曲線導(dǎo)數(shù)。

依舊是上述假設(shè)函數(shù)z=f（x，y），若在區(qū)域D上存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，且在M點(diǎn)連續(xù)，則曲線函數(shù)z=f（x，y）在M點(diǎn)處存在。對(duì)這一定理的完全證明，首先應(yīng)采用曲線圖形內(nèi)容對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的變化軌跡進(jìn)行準(zhǔn)確呈現(xiàn)，再依據(jù)曲線導(dǎo)數(shù)的定義，對(duì)其變化過(guò)程進(jìn)行有效分析，在兩點(diǎn)逐漸逼近的過(guò)程中，兩點(diǎn)之間的弧線可將其近似看為直線，進(jìn)而得出其變化軌跡變化量。此后，在進(jìn)一步利用微分計(jì)算，得出曲線導(dǎo)數(shù)的充分條件。

（二） 曲線導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)

曲線導(dǎo)數(shù)雖在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域有著極為廣泛的應(yīng)用，但其研究過(guò)程多以數(shù)學(xué)原理為基礎(chǔ)，明確曲線導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，能夠更好地實(shí)現(xiàn)曲線導(dǎo)數(shù)在相關(guān)研究中的應(yīng)用價(jià)值，推動(dòng)數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域與經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域共同獲得較大的發(fā)展。

以上述曲線導(dǎo)數(shù)的定義為基礎(chǔ)，提出以下幾點(diǎn)曲線導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，其中包括曲線導(dǎo)數(shù)在曲線為射線時(shí)的特殊形式。

若存在沿著同一曲線變化的兩個(gè)函數(shù)變化量，則說(shuō)明在函數(shù)f1±f2區(qū)域內(nèi)同樣存在曲線導(dǎo)數(shù)；若存在沿著同一曲線變化的兩個(gè)函數(shù)變化量，則說(shuō)明在函數(shù)f1·f2區(qū)域內(nèi)同樣存在曲線導(dǎo)數(shù)；若存在沿著同一曲線變化的兩個(gè)函數(shù)變化量，則說(shuō)明在函數(shù)f1/f2區(qū)域內(nèi)同樣存在曲線導(dǎo)數(shù)。

四、 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，對(duì)曲線導(dǎo)數(shù)的定義及一些性質(zhì)的研究，有利于對(duì)現(xiàn)階段高中所學(xué)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行鞏固，同時(shí)，還對(duì)多元函數(shù)微分、曲線微分、偏導(dǎo)數(shù)等知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行初步了解，從相關(guān)文獻(xiàn)當(dāng)中，還能了解并學(xué)習(xí)到知識(shí)研究過(guò)程的邏輯思維，對(duì)以后的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)具有極大的幫助。另外，對(duì)曲線導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)的研究，便于以后經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，是筆者今后在高中學(xué)習(xí)以及未來(lái)大學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)方向。

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作者簡(jiǎn)介：

趙浩博，河南省平頂山市，平頂山市第一中學(xué)。endprint