摘 要：在平面上給出n個(gè)點(diǎn)（不共線，n>1），且任意兩點(diǎn)之間都有直線相連，記此圖為Gn，點(diǎn)猜想稱Gn中至少有一條直線僅過(guò)兩個(gè)點(diǎn)。在空間作n條平行線（不共面，n>2），任意兩平行線確定一個(gè)平面，記此立體圖為Vn，線猜想稱Vn中至少有一個(gè)平面，其上僅有兩條平行線。本文對(duì)“點(diǎn)猜想”做了介紹，然后將它拓展為空間中的“線猜想”，加以論證，并給出了幾個(gè)相關(guān)的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：點(diǎn)；直線；平面；空間；Gn；Vn；點(diǎn)猜想；線猜想

一、 點(diǎn)猜想

點(diǎn)猜想是一個(gè)有著傳奇色彩的猜想。它誕生于一百多年前，內(nèi)容簡(jiǎn)單明了，甚至一個(gè)小學(xué)生都可以看明白。有趣的是它引起了很多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，并力圖攻克它，但是都以失敗告終。

本文將對(duì)“點(diǎn)猜想”做簡(jiǎn)單介紹，并給出相關(guān)結(jié)論，然后再拓展到三維空間，得到“線猜想”。

我們首先看點(diǎn)猜想的相關(guān)定義：

定義1 在平面上給出n個(gè)點(diǎn)（不能共線），且任意兩點(diǎn)之間都有直線相連，稱此圖為Gn。點(diǎn)猜想即為：

定理1 （點(diǎn)猜想）Gn中至少有一條直線，其上面僅有兩個(gè)點(diǎn)。

圖1中有4個(gè)點(diǎn)，4條線，其中3條線上只有兩個(gè)點(diǎn)；圖2有5個(gè)點(diǎn)，6條線，其中有4條線上只有兩個(gè)點(diǎn)。

從點(diǎn)猜想被提出，幾十年過(guò)去了，數(shù)學(xué)家們沒有找到答案。在被認(rèn)為是一個(gè)無(wú)法攻克的大難題時(shí)，一個(gè)非常巧妙、非常簡(jiǎn)潔的證明誕生了。它只涉及了簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)，只不過(guò)多用了幾分計(jì)謀。

下面我們看簡(jiǎn)單有趣的證明。

證明：首先，我們對(duì)每一點(diǎn)作出其到最近的直線之間的距離（通過(guò)它的直線不算在內(nèi)），然后選擇所有距離中最短的那個(gè)，不妨設(shè)此最短距離由點(diǎn)

O和直線L確定，則L上至少有Gn中的兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)為A，B，我們可以很容易證明L上僅有A，B兩個(gè)點(diǎn)。

反正法：假設(shè)L上還有第三個(gè)點(diǎn)C，則由點(diǎn)C與點(diǎn)O可以確定Gn中的一條直線OC，我們分兩種情況證明結(jié)論。

（1）點(diǎn)C在線段AB之外。

此時(shí)可作點(diǎn)B到直線OC的距離BF，顯然兩個(gè)直角三角形Rt△CEO與Rt△CFB相似，且BF

（2）點(diǎn)C在線段AB之內(nèi)。

非常顯然，此種情形與（1）的證明類似。

點(diǎn)猜想或者還有其他多種證明方法，待感興趣的人們?nèi)ヌ骄俊?/p>

下面我們來(lái)看關(guān)于點(diǎn)猜想的幾個(gè)結(jié)論。

引理1 當(dāng)n≥4時(shí)，若Gn中至少有n-2個(gè)點(diǎn)共線，則Gn中至少有n-1條直線上僅有兩個(gè)點(diǎn)。

證明（1）若Gn中有n-1個(gè)點(diǎn)共線，顯然，Gn中有n-1條直線上僅有兩個(gè)點(diǎn)，如圖5。

（2）若Gn中只有n-2個(gè)點(diǎn)共線，則當(dāng)n=4時(shí)，Gn中所有直線上都只有兩個(gè)點(diǎn)，共有6條，結(jié)論得證，如圖6。

當(dāng)n>4時(shí)，分兩種情形，<1>剩余的兩個(gè)點(diǎn)與此n-2個(gè)點(diǎn)中的某一個(gè)共線，如圖7，此時(shí)Gn中有2n-4條直線上僅有兩個(gè)點(diǎn)，且2n-4>n-1。

<2>剩余的兩個(gè)點(diǎn)與此n-2個(gè)點(diǎn)中的任意一個(gè)都不共線，如圖8，此時(shí)Gn中有2n-3條直線上僅有兩個(gè)點(diǎn)，2n-3>n-1。

定理2 當(dāng)n≥3時(shí)，Gn中至少有兩條直線上僅有兩個(gè)點(diǎn)，或者有一條直線上僅有兩個(gè)點(diǎn)，還有一條直線上僅有三個(gè)點(diǎn)。

證明當(dāng)n=3時(shí)，結(jié)論顯然成立。

當(dāng)n>3時(shí)，由定理1知，Gn中至少有一條直線上僅有兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)為A，B，將此A，B兩個(gè)點(diǎn)以及與其相關(guān)聯(lián)的直線全部去掉，則有以下兩種情形：

（1）剩余的n-2個(gè)點(diǎn)共線。

根據(jù)引理1，Gn中至少有n-1條直線上僅有兩個(gè)點(diǎn)，n-1>2。

（2）剩余的n-2個(gè)點(diǎn)不共線。

此時(shí)，添上一些直線，可得到一個(gè)Gn-2。并且顯然，此Gn-2中的直線都在此Gn中。由定理1可知，Gn-2中至少有一條直線l上僅有兩個(gè)點(diǎn)。若點(diǎn)A，B都不在l上，則Gn中至少有兩條直線，其上僅有兩個(gè)點(diǎn)。若點(diǎn)A，B中有一個(gè)點(diǎn)在l上，則Gn中有一條直線，其上僅有三個(gè)點(diǎn)。此時(shí)即為，Gn中有一條直線，其上僅有兩點(diǎn)，還有一條直線，其上僅有三點(diǎn)。并且A，B兩點(diǎn)一定不會(huì)全部都在直線l上，因?yàn)橹本€AB上僅有兩個(gè)點(diǎn)。

二、 線猜想

顯然，點(diǎn)猜想為二維空間中的結(jié)論，我們將其拓展到三維空間中，即有如下結(jié)論。

定義2 設(shè)三維空間中有n條平行線（不共面，n>2），將任意兩平行線所確定的平面一一畫出，稱此立體圖為Vn。

線猜想即為：

定理3 （線猜想）Vn中至少存在一平面，其上只有兩條平行線。

證明：對(duì)Vn中每條直線作到與它距離最近的平面的垂線，取距離最短者，設(shè)此直線為l，此平面為α，下面用反證法證明α上只有兩條平行線。

假設(shè)α上有三條平行線l1，l2，l3，其排列次序依次為l1，l2，l3，并設(shè)它們與l所確定的平面依次為β1，β2，β3。作PA⊥α，其中P∈l，A∈α，下面分兩種情況討論。

情形一：A∈l2（如圖9），過(guò)點(diǎn)A作AC⊥β3，垂點(diǎn)為C，則△ACP是直角三角形，所以AC

情形二：Al2（如圖10），則A在l2的兩側(cè)，并且有兩種情形，或者到l1的距離大于到l3的距離，或者到l3的距離大于到l1的距離。不妨設(shè)A到l3的距離大于到l1的距離，在l2上任取一點(diǎn)E，作EF⊥β3，垂點(diǎn)為F，由于點(diǎn)A到l3的距離大于點(diǎn)F到l3的距離，所以EF

引理2 當(dāng)n≥4時(shí)，若Vn中至少有n-2條線共面，則Vn中至少有n-1個(gè)面上僅有兩條平行線。

證明若Vn中有n-1條線共面，顯然，Vn中有n-1個(gè)面上僅有兩條平行線。

若Vn中只有n-2條線共面，當(dāng)n=4時(shí)，顯然，Vn中所有平面上都只有兩條平行線。當(dāng)n>4時(shí)，Vn中的n-2條線共面S1，另外兩條線l1，l2不在S1上，它們構(gòu)成S2，則有兩種情形。

（1）S1上的n-2條線都不在S2上，此時(shí)，Vn中有2（n-2）+1個(gè)面上僅有兩條平行線。

2（n-2）+1=2n-3>n-1

（2）S1上的n-2條線中有一條在S2上，此時(shí)，Vn中有2（n-3）個(gè)面上僅有兩條平行線。

2（n-3）=2n-6>n-1

定理4 當(dāng)n≥3時(shí)，Vn中至少有兩個(gè)平面上僅有兩條平行線，或者有一個(gè)平面上僅有兩條平行線，另一個(gè)平面上僅有三條平行線。

證明當(dāng)n=3時(shí)，顯然Vn中的3個(gè)平面上僅有兩條平行線。

當(dāng)n>3時(shí)，設(shè)某平面上僅有兩條平行線l1，l2。若剩余的n-2條線共面，則根據(jù)引理2，Vn中至少有n-2（≥2）個(gè)平面上僅有兩條平行線。

若剩余的n-2條線不共面，則可構(gòu)成Vn-2，并且顯然Vn-2中的平面都在Vn中，根據(jù)定理4，Vn-2中至少有一個(gè)平面S上僅有兩條平行線。若l1，l2不在S上，則Vn中至少有兩個(gè)平面上僅有兩條平行線。若l1，l2中有一條在S上，則S上僅有三條平行線，Vn中至少有一個(gè)平面上僅有兩條平行線，還有一個(gè)平面上僅有三條平行線，并且顯然l1，l2不會(huì)全部在S上。

定理5 當(dāng)n>3時(shí)，若Vn中只有一個(gè)平面上僅有兩條平行線，則Vn中有兩個(gè)平面上僅有三條平行線，或者還有一個(gè)平面上僅有四條平行線。

證明當(dāng)n≤5時(shí)，可以很容易驗(yàn)證，Vn中僅有兩條平行線的平面不止一個(gè)，所以下面僅需考慮n>5時(shí)的情況即可。

設(shè)Vn中只有一個(gè)平面上僅有兩條平行線l1，l2，將此l1，l2以及與其相關(guān)聯(lián)的平面去掉，剩余的n-2條平行線一定不共面。否則根據(jù)引理2，Vn中僅過(guò)兩條平行線的平面大于一個(gè)，與前提矛盾.于是剩余的n-2條平行線上再添加一些平面，即可得到Vn-2。根據(jù)定理4，有兩種情況：（1）Vn-2中有兩個(gè)平面，其上僅有兩條平行線。

（2）Vn-2中有一個(gè)平面上僅有兩條平行線，還有一平面上僅有三條平行線。

對(duì)于（1），直線l1，l2一定分別在這兩個(gè)平面上，否則Vn中僅過(guò)兩條平行線的平面大于一個(gè)，與前提矛盾。所以，Vn中有兩個(gè)平面，其上僅有三條平行線。

對(duì)于（2），設(shè)Vn-2中僅過(guò)兩條平行線的平面為S1，僅過(guò)三條平行線的平面為S2，則l1，l2兩條直線中一定僅有一條在S1上，否則與前提矛盾。若另一條不在S2上，則Vn有兩個(gè)平面，其上僅有三條平行線，若另外一條直線在S2上，則有一個(gè)平面，其上僅有四條平行線。

定理4，5表明，當(dāng)n≥3時(shí)，Vn中僅過(guò)兩條平行線的平面或者大于一個(gè)，或者僅有一個(gè)。若只有一個(gè)，則Vn中一定至少存在一個(gè)僅過(guò)三條平行線的平面，若只有一個(gè)僅過(guò)三條平行線的平面，則一定至少存在一個(gè)僅過(guò)四條平行線的平面.由此可得，關(guān)于平面與平行線具有遞推關(guān)系，我們?nèi)钥梢岳^續(xù)往下論證。

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作者簡(jiǎn)介：王美艷，江蘇省蘇州市，蘇州工業(yè)園區(qū)服務(wù)外包職業(yè)學(xué)院。endprint