渠懷蓮

一、凸顯信息化教學優(yōu)勢

依據(jù)導數(shù)的幾何意義，運用幾何畫板作出導函數(shù)圖像，學生很容易體會到求導公式的生成過程.本章側重于對導數(shù)本質(zhì)的認識，通過大量的實例由淺入深，由表及里，層層展示出其數(shù)學思想與方法，“局部以直代曲”的辯證思想逐步引申，建立起導數(shù)的數(shù)學模型，進而形成數(shù)學理論.

經(jīng)過前面近5課時的學習，學生已經(jīng)掌握了平均變化率、瞬時變化率，以及導數(shù)的定義和幾何意義等相關知識，初步領悟了由特殊到一般、由具體到抽象等研究數(shù)學問題的基本思想方法.

二、激活數(shù)學微實驗探究

教學目標：1.能根據(jù)導數(shù)的定義求幾個簡單函數(shù)的導數(shù)，加深對導數(shù)概念的理解；

2.掌握利用導數(shù)公式表求簡單函數(shù)導數(shù)的方法；

3.體會建立數(shù)學理論的過程，感受學習數(shù)學和研究數(shù)學的一般方法，進一步發(fā)展思維能力.

重點：利用導數(shù)的定義及導數(shù)公式表求簡單函數(shù)的導數(shù).

難點：通過概括、推廣并猜想出冪函數(shù)的求導公式.

教法、學法：啟發(fā)式教學；自主探究法、合作學習法等.

教學工具：普羅米修斯交互式電子白板、幾何畫板、多媒體投影機等.

教學過程：

（一）問題情境

在上一節(jié)中，我們用割線逼近切線的方法引入了導數(shù)的概念，那么如何求函數(shù)的導數(shù)呢？（求函數(shù)導數(shù)的一般步驟.gsp）

設計意圖：通過復習回顧函數(shù)在一點處的導數(shù)定義，過渡到導函數(shù)的概念，并歸納出求導數(shù)的一般步驟.此處用幾何畫板演示“割線逼近切線”的過程及切點運動帶動切線變化的過程，得出各點的導數(shù)是自變量x的函數(shù)即導函數(shù).

（二）探究活動

用導數(shù)的定義求下列各函數(shù)的導數(shù)：

（1）f（x）=kx+b；（2）f（x）=C；（3）f（x）=x；（4）f（x）=x2；（5）f（x）=x3.（多媒體展臺學生解答）

思考 由上面（3）、（4）及（5）的結果，你能發(fā)現(xiàn)什么一般規(guī)律嗎？

答案 （xn）′=nxn-1（n∈N*）.

證明 方法一：數(shù)學歸納法（略）.

方法二：利用二項式定理（略）.

方法三：令a=x+Δx，b=x，

（4）ΔyΔx=a2-b2a-b=（a-b）（a+b）a-b=a+b.

（5）ΔyΔx=a3-b3a-b=（a-b）（a2+ab+b2）a-b=a2+ab+b2.

方法四：利用等比數(shù)列的前n項和公式證明：

an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn=an+1-bn+1a-b，

其中n∈N*，a，b是不為0的常數(shù)，且a≠b.

證明 當n=1時，由（3）知成立；

當n≥2時，令a=x+Δx，b=x，由預備公式知：

（x+Δx）n-xn（x+Δx）-x=（x+Δx）n-1+（x+Δx）n-2x+（x+Δx）n-3x2+…+xn-1，

并注意到，當Δx→0時，（x+Δx）n-1-kxk→xn-1，其中k=0，1，…，（n-1），共n項，

所以，當Δx→0時，（x+Δx）n-xnΔx→nxn-1，

即（xn）′=nxn-1（n∈N*）.

這里的n對正整數(shù)及零都成立，那么是否對負整數(shù)適用，甚至分數(shù)呢？我們現(xiàn)在驗證一下：

（6）f（x）=1x；

（7）f（x）=x.（多媒體展臺學生解答）

事實上，在我們的猜想中，公式（xn）′=nxn-1（n∈N*）指數(shù)為無理數(shù)時也成立，比如，n=2.因我們所學知識有限，現(xiàn)在還不能給出詳盡的證明.

結論：（xα）′=αxα-1（α為常數(shù)）.

設計意圖 充分調(diào)動學生探究求導公式的生成過程及理論支撐，引導學生用定義推導幾個初等函數(shù)的導數(shù)公式，注重規(guī)范化書寫的常規(guī)訓練；同時，使學生進一步體會導數(shù)的思想和內(nèi)涵以及歸納推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.

（三）回顧小結

在線查詢導數(shù)：http：//baike.baidu.com/view/30958.htm

1.求函數(shù)導數(shù)的方法.

2.掌握幾個常見函數(shù)導數(shù)的定義求法和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式.

3.研究數(shù)學問題的基本方法：由特殊到一般、由具體到抽象.

（四）作業(yè)要求

1.完成教材P20第5、6、7題；

2.課外探究：自選基本初等函數(shù)求導表中一個公式證明.

教學反思：

1.凸顯信息化教學的優(yōu)勢

教學中充分運用交互式電子白板、幾何畫板、網(wǎng)絡資源等將抽象的數(shù)學理論知識具體化、形象化，吸引學生注意力及提升學生的探究興趣.在平時教學中，要多利用信息技術的功能優(yōu)勢調(diào)控教學活動，將其恰當?shù)刈鳛橘Y源環(huán)境、交流環(huán)境、知識表達與加工工具，引導學生有效地投入到學習與探究之中，促進學生學習能力發(fā)展.

2.體現(xiàn)新課標調(diào)控的理念

在冪函數(shù)求導公式的探究過程中，依指數(shù)的取值情境——正整數(shù)、零、負整數(shù)、分數(shù)及無理數(shù)進行有效探究，并給出了指數(shù)是正整數(shù)時的證明，利用了等比數(shù)列相關知識，體現(xiàn)出知識點的融合及網(wǎng)絡框架建構的歷程.讓學生體會建立數(shù)學理論的過程，感受學習數(shù)學和研究數(shù)學的一般方法，進一步發(fā)展思維能力.

3.打破中庸化思維的束縛

教學中要依據(jù)學生的最近發(fā)展區(qū)知識儲備進行高效教學，對于本節(jié)知識點來說，如果僅講授幾個公式的運用，而沒有相應的生成過程及理論支撐，學生的思維層次是無法提升到一定高度的.在平時教學中，我們就要敢于打破中庸化思維的束縛——不求出彩但求無錯，真正為學生的思維發(fā)展奠基，關注學生的終身發(fā)展，而不是一味地盯住分數(shù)，陷于題海，做無盡頭的機械訓練.

【參考文獻】

[1]范暉.“導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應用”的教學設計與反思[J].中學數(shù)學月刊，2013（2）：25-26.

[2]陳孟算，陳敬星.“導數(shù)問題中的難點及解決方法舉例”教學設計[J].數(shù)學學習與研究，2012（17）：20-21.endprint