張雨晴

在復(fù)習(xí)課中，有些教師廣泛查閱課外資料，以選擇大量所謂好的例題在課堂中講解.事實(shí)上，教材中就有大量樸實(shí)無華、輻射性強(qiáng)的問題或例題，等待我們?nèi)タ偨Y(jié)和挖掘.

高中數(shù)學(xué)（人教A版）必修5第三章數(shù)列中，在描述遞推法與遞推公式時(shí)，給出了如下的引例：如果一個(gè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)等于它的前一項(xiàng)的2倍加1，即an=2an-1+1（n>1），那么a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，….

我們知道，這是典型的一階線性遞推數(shù)列，它的一般形式為a1=a，an+1=pan+q， （其中p≠0，1，p，q均為常數(shù)）.教材中僅用此例說明什么是遞推法與遞推公式，而沒有求其通項(xiàng)公式，更沒有做進(jìn)一步的研究與探討.我們認(rèn)為，該例題是進(jìn)行單元復(fù)習(xí)或高考復(fù)習(xí)的極佳素材，是已知遞推公式求通項(xiàng)公式的典型例題，它的通項(xiàng)公式的各種求法可遷移到某些一階非線性遞推數(shù)列及二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法.下面對該題的解法做一深入探究.

題目 已知a1=1，an=2an-1+1（n>1），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解法1 （用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列）

設(shè)an=2an-1+1可化為an+λ=2（an-1+λ），即an=2an-1+λ，所以λ=1.從而an+1=2（an-1+1），即an+1an-1+1=2，所以{an+1}是以2為公比的等比數(shù)列，又它的首項(xiàng)為a1+1=2，故an+1=2·2n-1=2n，故an=2n-1.

解法2 （通過作差構(gòu)造等比數(shù)列）

因?yàn)閍n=2an-1+1，所以an+1=2an+1，兩式相減得an+1-an=2（an-an-1），即an+1-anan-an-1=2，所以{an+1-an}是以a2-a1=2為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列，故an+1-an=2·2n-1=2n，所以an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+22+…+2n-1=2n-1.

解法3 （利用方程的思想）

由解法2，有an+1-an=2·2n-1=2n.（1）

又因?yàn)閍n=2an-1+1，所以an+1=2an+1.（2）

（2）代入（1）得an=2n-1.

解法4 （構(gòu)造差式再利用累加法）

因?yàn)閍n=2an-1+1，所以an-2an-1=1，

上式兩邊同除以2n，得an2n-an-12n-1=12n，

利用累加法，得

an2n=a12+a222-a12+a323-a222+…+an2n-an-12n-1

=12+122+123+…+12n=1-12n，

故an=2n-1.

解法5 （累加法）

由已知得an-2an-1=1，

則a2-2a1=1，（1）

a3-2a2=1，（2）

a4-2a3=1，（3）

…

an-2an-1=1.（n-1）

由（1）式+12×（2）式+122×（3）式+…+12n-2×（n-1）式，得

12n-2an-2a1=1+12+122+…+12n-2=2-12n-2，

故an=2n-1.

解法6 （迭代法）

因?yàn)閍n=2an-1+1，a1=1，則

an=2an-1+1=2（2an-2+1）+1=22an-2+2+1

=22（2an-3+1）+2+1=23an-3+22+2+1=…

=2n-1a1+2n-2+2n-3+…+2+1

=2n-1+2n-2+2n-3+…+2+1=2n-1.

解法7 （歸納—猜想—證明）

∵an=2an-1+1，a1=1，

∴a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，

故猜想an=2n-1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=21-1=1，結(jié)論顯然成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak=2k-1，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

ak+1=2ak+1=2（2k-1）+1=2k+1-1，

所以n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.

綜合（1）（2）可知，an=2n-1對一切n∈N+都成立.

以上七種解法為解決許多數(shù)列問題提供了思路，其中解法1是通解通法，運(yùn)用它可以求解以下三類一階非線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式：（1）a1=a，an=pan-1+kn+b（n>1）；（2）a1=a，an=pan-1+kn2+bn+c（n>1）；（3）a1=a，an=pan-1+kqn+b（n>1）.其中a，p，k，b，c均為常數(shù)，且p≠0，1，k≠0.也可以求解二階線性遞推數(shù)列：F1=F2=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2（n≥3）的通項(xiàng)公式.在實(shí)際教學(xué)中，教師可以采用講授法，也可以讓學(xué)生先在課下分組探究，再在課堂上匯報(bào)不同的解法，教師點(diǎn)評與補(bǔ)充.

作為例1的練習(xí)，我們可把教材中習(xí)題2.1A組第4題第一小題由寫前五項(xiàng)改為求通項(xiàng)公式：已知a1=12，an=4an-1+1（n>1），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.endprint