摘要：本文主要介紹范希爾幾何思維水平的幾個層級和幾何教學階段，這對所要講解的結(jié)合內(nèi)容展開研究，同時，對照中小學數(shù)學課程標準，提出范希爾幾何思維水平對特殊的平行四邊的教學啟示，從而啟發(fā)教學，引導教學實踐。

關(guān)鍵詞：范希爾理論；幾何思維水平；教學教學實踐；菱形；平行四邊形

范希爾理論在中學數(shù)學教育教學中發(fā)揮著重大的作用，符合中學生學習數(shù)學的認知特點，對于中學數(shù)學課標“圖形與幾何”的教學起著引導作用。在新課程改革以來，我們的課堂發(fā)揮著更為重要的作用，教師的主體作用也越來越明顯，隨之而來的挑戰(zhàn)也在增加，這就要求教師能夠合理安排教材內(nèi)容，適當布置作業(yè)以及選擇適合學生學習的課后習題，但是有的教材設(shè)置卻往往與實際不是特別相符，導致學生所要學習的知識與他們現(xiàn)有的思維水平脫節(jié)。在幾何教學中，幾何概念的學習也是相當枯燥的，學生在學習的過程中很容易失去數(shù)學學習的信心，而且在教學實踐中，越來越多的老師雖然注重生活實踐，但卻只是停留在表面，沒有引導學生將菱形、正方形、平行四邊形等特殊的圖形的概念從實際生活中抽象出來。

一、 范希爾理論的基本內(nèi)容

（一） 幾何思維水平

水平0：視覺，學生可以通過四邊形的整體輪廓認識、能畫出或者能夠模仿課本或?qū)嵨锂嫵隽庑巍⒄叫魏烷L方形，但是還是不能夠通過四邊形特有的特征或者要素來命名來分析菱形，也無法對菱形、正方形、長方形做出具體的幾何概論。例如：正方形、長方形、矩形，很多兒童不能夠明顯區(qū)分。

水平1：分析，兒童能夠分析菱形、正方形、長方形的組成要素及其特征，能夠利用他們的性質(zhì)來做題，但是無法理解性質(zhì)之間的關(guān)系，也沒法了解矩形等的定義。例如：學生會知道手帕是四四方方的，紙張是四四方方的，但很難區(qū)分正方形和長方形。

水平2：非形式化的演繹，學生能夠建立四邊形他們之間的幾種關(guān)系，也能找到區(qū)分，但是如何證一個四邊形是菱形、正方形或者長方形還是有難度的。例如：學生很難證明長方形是特殊的平行四邊形。

水平3：形式的演繹，學生可以知道四邊形的概念是由四條線段首尾順次連接而成的平面圖形，還知道四邊形有四個角和四條邊，而且能很清楚地區(qū)分和知道特殊的四邊形的判定及性質(zhì)，也能夠做到利用特殊的四邊形的性質(zhì)解決實際問題。例如：學生知道正方形的一個內(nèi)角就可以計算四邊形的內(nèi)角和和周長。

水平4：嚴密性，學生能夠在不同公理系統(tǒng)下理解幾何性質(zhì)，能夠分析比較不同的幾何系統(tǒng)，如菱形的面積計算出了底乘高，還可以利用對角線乘積的一半計算。

（二） 幾何教學階段

階段1：學前咨詢，教師與學生進行學前交流，教師可以了解學生的最近發(fā)展區(qū)，以便幫助學生更好地學習四邊形的判定及其性質(zhì)。

階段2，教師為學生安排教學活動，比如在菱形的學習過程中，教師可以通過幾何證明的方法或者裁剪的方法來研究菱形的基本性質(zhì)。

階段3：闡明，通過學習了平行四邊形，學生產(chǎn)生了已有的關(guān)于四邊形的認知，教師就可以盡可能地減少教學提示，讓學生在現(xiàn)有的知識水平上提出自己的觀點或者想法，形成自己的知識系統(tǒng)。

階段4：自有定向，教師給學生布置作業(yè)，學生會碰到不同類型的題目，他們可以通過查閱資料或者自主探究的方法逐漸地在摸索中積累學習經(jīng)驗，通過建立四邊形之間的框架或者學習體系來明確幾何學習的考察方向。

階段5：學生通過自主學習消化，形成自己的思想，并且產(chǎn)生自己關(guān)于四邊形的理解，教師通過課堂講解及其答疑解難做全面的評述來幫助學生完成這一重要的過程。

二、 范希爾幾何理論對中學數(shù)學教學的啟示

（一） 聯(lián)系生活實際，合理創(chuàng)設(shè)學習情境。

范希爾的水平層次2告訴我們，數(shù)學學習要注重生活實踐，才能讓學生在生活中感受幾何。

（二） 結(jié)合認知規(guī)律，進行合理預(yù)設(shè)。

在引導定向階段，教師要給學生安排教學活動，這樣才能讓數(shù)學課堂符合的認知規(guī)律和結(jié)合思維水平。

（三） 注重增強數(shù)學體驗，發(fā)展學生的空間思維。

大多數(shù)小學生的思維水平都停留在0和1，少部分人停留2，說明學生思維發(fā)展不平衡，這就需要增強學生的數(shù)學體驗。

（四） 強調(diào)因材施教，提高教學效率。

針對不同學生的幾何思維水平制定合理可行的教學方案。

（五） 構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供數(shù)學學習的發(fā)展平臺。

（六） 提供數(shù)學學習的多樣課程，適應(yīng)個性選擇。

（七） 倡導積極主動、勇于合作、勇于探究的數(shù)學學習方式。

（八） 注重提高學生的數(shù)學思維能力：運算推理能力、邏輯思維能力、空間想象能力。

（九） 發(fā)展學生的數(shù)學應(yīng)用意識。

（十） 師生與時俱進地認識“雙基”，緊抓基本知識與基本技能。

（十一） 數(shù)學學習需要強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化。

（十二） 體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，如在課堂中融入數(shù)學思想、數(shù)學史。

（十三） 數(shù)學教育教學實踐要更加注重教育技術(shù)與數(shù)學課程的結(jié)合。

（十四） 建立合理、科學的數(shù)學學習體系和數(shù)學評價體系。

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作者簡介：

汪忠流，云南省昆明市，云南師范大學。endprint