張 俐， 郭超朋， 劉京亮

(1. 北京航空航天大學 機械工程及自動化學院， 北京 100191； 2. 北京航空精密機械研究所， 北京 100076)

隨著制造業(yè)數字化、智能化發(fā)展， 機械制造對零部件特征高效、高精度檢測的要求逐步提高. 三坐標測量是精密檢測的一種重要方式， 廣泛應用于機械零部件測量. 圓錐面作為機械零件表面常見的二次曲面， 相對于平面、球、圓柱等二次曲面擬合， 圓錐面擬合參數多， 距離函數復雜且擬合初值計算困難.

對于標準二次曲面， 多采用數值迭代優(yōu)化計算方法擬合. 在數值迭代優(yōu)化擬合中， 初值計算[1]、距離函數模型及優(yōu)化方法的選擇對擬合結果準確性影響較大. 研究人員利用不同初值計算方法獲取擬合初值并進行迭代優(yōu)化擬合. 李岸[2]、劉元朋[3]等利用錐面的單位法矢形成的高斯映像計算擬合初值， 需計算各數據點法矢,計算較復雜且精度有限. 梁爽[4]等利用待擬合標準二次曲面周圍的平面與其位置約束關系計算擬合初值， 該方法利用工件多表面位置約束關系， 但其計算受工件表面情況限制.

Lukács G[5]等提出利用“忠實距離”取代空間數據點到曲面“真實距離”的二次曲面擬合方法， 該方法具有代表性. 但Lukács G僅使用隨機選取的不超過4個點位置與法矢估算二次曲面的幾何參數初值， 可靠性很低， 易導致算法收斂慢， 或收斂于局部最小值[1].

幾何參數初值選取對非線性距離目標函數優(yōu)化能否收斂至全局最優(yōu)點是至關重要的. 三坐標測量采樣策略是確定工件尺寸是否符合既定設計標準和規(guī)格的關鍵， 采樣獲取信息量取決于采樣點數量和采樣數據波動[6]. 因此本文提出基于確定采樣策略的圓錐面擬合方法,根據確定的采樣策略可靠估計圓錐面幾何參數初值， 結合Benk″P[7]等提出的圓錐面距離函數模型逼近函數表達式， 精確計算圓錐面幾何參數.

1 圓錐面距離函數參數化

圖 1 圓錐面距離函數模型示意圖Fig.1 Cone distance function model

圖 1 中d(s,p)表示三維數據點Pi到圓錐面的距離，O表示坐標原點，Os表示坐標原點在圓錐面軸線上的投影點， 設Os到圓錐頂點A的距離為δ，Ps為空間點Pi在圓錐面軸線上的投影點，θ為圓錐面的錐頂半角，n為圓錐面單位軸向向量, 其它相關各點的位置關系為

PsPse∥PiPe∥AD,PsPs1⊥AD,P1Ps2⊥AD.

(1)

由圖 1 可知

d(s,pi)=|PiPs2|-|P2Ps1|=|PiPs|·cosθ-|APs|·sinθ，

(2)

即

d(s,pi)=(OsP-n〈OsPi,n〉)cosθ-(δ-〈OsPi,n〉)sinθ.

(3)

記:P=PiO,S=OsO則

d(s,pi)=(P-S-n〈P-S,n〉)cosθ-(δ-〈P-S.n〉)sinθ.

(4)

在文獻[7]中， Benk″ P得到該距離函數模型帶有約束條件的逼近函數表達式

d(s,p)=λp2-〈p,n′〉2+〈p,s′〉+A,

(5)

(6)

P=(x2,y2,z2,2xy,2xz,2yz,x,y,z,1)T，

(7)

即知距離函數表達式為:d(s,p)=STP， 則數值迭代優(yōu)化的目標函數為

(8)

2 圓錐面擬合方法

本文提出基于確定采樣策略的圓錐面擬合方法. 由確定采樣策略獲取的數據點位置信息及數據點的空間幾何關系， 可靠準確地估算圓錐面幾何參數初值， 再利用非線性最小二乘法求解圓錐面幾何參數精確值， 算法穩(wěn)定可靠.

2.1 采樣策略

圖 2 圓錐面采樣示意圖Fig.2 Cone sampling diagram

采樣策略是影響測量精度、效率的主要因素. 三坐標測量機采樣策略內容包含采樣點數量及分布. 大衛(wèi)·弗蘭克[8]在三坐標檢測策略中推薦圓錐面測量采樣點數為12個或15個. 在實際手動測量中常用采樣點分布確定方法有： 分層規(guī)則均勻采樣和隨機采樣. 文中采用分層規(guī)則均勻采樣方法確定采樣點分布， 保證采樣點在采樣區(qū)域上盡可能均勻分布[9]， 采樣點數量選取15個， 具體采樣分布如圖 2 所示.

圖 2 表示圓錐面俯視圖， 其中不同直徑大小的圓表示圓錐面上垂直于圓錐軸向的空間圓， 空間圓上點表示三坐標測量機采樣數據點. 文中確定的采樣方案為： 在圓錐面上垂直于圓錐軸向的三個空間圓上采樣， 直徑最大空間圓上均勻采集6個數據點， 直徑最小空間圓上均勻采集4個數據點， 第3個空間圓上均勻采集5個數據點， 采樣點數共15個.

在實際手動采樣過程中， 數據點分布要求盡可能均勻且分布在與軸向垂直的錐面空間圓上， 這與實驗人員操作經驗有關系.

2.2 初值計算

依據確定的采樣策略， 構建錐面與采樣點的空間幾何關系， 計算圓錐面幾何參數， 即為錐面擬合初值， 錐面與空間圓的幾何關系如圖 3, 圖 4 所示.

圖 3 錐面與采樣空間幾何關系示意圖Fig.3 Spatial relation of Cone and sampling points

圖 4 錐面與采樣空間圓平面幾何關系示意圖Fig.4 Flat relation of Cone and sampling circles

本文初值計算方法的步驟為： 由離散數據點坐標， 分別擬合3個空間圓， 計算圓心坐標及半徑， 再根據三角幾何關系， 計算圓錐面頂點、錐頂半角以及圓錐面軸向向量.

2.2.1 空間圓擬合

在初值計算中， 空間圓擬合過程較為復雜， 空間圓擬合思路是利用坐標變換將空間圓轉換為平面圓進行擬合,計算平面圓半徑、圓心參數,再利用坐標變換矩陣反求三維圓圓心坐標,最終得到空間圓參數.

空間圓轉換為平面圓擬合的具體過程是： 由離散采樣數據點， 擬合出空間圓所在平面， 利用平面信息建立新坐標系， 再利用坐標變換將這些數據點坐標轉換到新的坐標系下， 即可將空間圓擬合轉化為平面圓擬合.

1) 平面擬合. 本文采用分層規(guī)則均勻采樣方法， 對圓錐面分3層采樣， 每層數據點可擬合出空間圓所在平面. 空間平面的一般方程為

Ax+By+Cz+D=0,

(9)

式中：C≠0. 將一般方程轉化為

ax+by+c-z=0.

(10)

利用最小二乘思想， 即

(11)

利用函數梯度求解該表達式最小值， 即可求得平面參數a，b，c值.

2) 坐標變換. 在空間圓所在平面上建立新的坐標系， 將擬合該平面的數據點通過坐標轉換， 轉換至新坐標系下. 坐標變換構造的主要思路是： ① 構造平移矩陣T， 平移原坐標系OXYZ， 使其坐標原點O與新坐標系原點O′重合； ② 構造旋轉矩陣R， 利用旋轉變換使兩坐標系坐標軸重合. 坐標變換的構造方法較多， 在此不予詳述. 數據點坐標在新坐標系O′X′Y′Z′中坐標值計算公式為

(x′,y′,z′,1)=(x,y,z,1)·T·R.

(12)

3)平面圓擬合. 新坐標系下空間數據點可視為平面坐標點， 即可以對平面圓進行擬合. 平面圓曲線上數據點滿足表達式

f(x,y)=x2+ux+y2+vy+w=0,

(13)

假設測量數據點數為n， 根據誤差理論[10]， 由于測量數據點存在誤差， 數據點坐標(xi,yi)不滿足曲面方程， 將其變形可得單個觀測點誤差方程為

vi=uxi+vyi+w-(-x2-y2).

(14)

實際測量中， 為提高平面圓擬合精度， 觀測點數多于3個點， 形成多余觀測， 再進行平差運算， 多觀測點誤差方程組可整理為

V=AΔa-L,

(15)

式中：

(16)

根據最小二乘平差原理可得

Δa=(ATA)-1ATL.

(17)

計算求得Δa， 即可求得平面圓圓心及半徑.

(18)

式中：T為坐標變換中平移矩陣；R為坐標變換中旋轉矩陣.

2.2.2 參數計算

圓錐面幾何特征參數主要包括: 圓錐軸向向量， 圓錐面頂點坐標及錐頂角. 圖 4 表示1/4錐體平面示意圖， 其中：R1，R2，R3分別表示3個擬合空間圓半徑；C1，C2，C3分別表示3個空間圓的圓心；A表示圓錐面頂點， 直線AB表示圓錐面的軸線；θ表示錐頂半角.

1) 軸向向量. 假設已求得3個空間圓的圓心分別為C1，C2，C3， 空間圓半徑分別為：R1，R2，R3， 則圓錐面軸向向量可由3個空間圓圓心C1,C2,C3坐標擬合空間直線AB計算， 空間直線擬合方法在此不予詳述.

2) 錐頂點坐標. 錐頂點坐標根據圓心C1，C2，C3在軸線上的投影點之間距離， 利用三角形相似關系， 計算出錐頂點到已求投影點距離,即可求得頂點坐標.

3) 錐頂半角. 錐頂半角θ利用正切計算公式計算:

(19)

2.3 圓錐面擬合算法

建立圓錐面幾何距離參數化方程后， 可知距離目標函數是非線性函數， 因此利用Levenberg-Marquardt[11]方法對距離目標函數進行迭代優(yōu)化計算， 以初值計算求解的圓錐面參數作為迭代優(yōu)化的初始值.本文基于確定采樣策略的圓錐面擬合算法步驟如下：

1) 依據圓錐面距離函數模型,得到錐面距離逼近函數表達式;

2) 利用由確定采樣策略獲取的三維數據點分別計算空間圓的圓心及半徑， 并根據空間圓的幾何位置關系計算圓錐面頂點坐標， 錐頂半角及軸向向量;

3) 利用已計算的圓錐面幾何參數初值作為迭代初始值， 采用Levenberg-Marquardt方法進行優(yōu)化計算， 最終得到圓錐面精確參數.

3 實驗分析

本節(jié)對圓錐面擬合算法進行實驗驗證. 依據確定的采樣策略， 利用三坐標測量機在兩個不同軸向位置上對兩個不同大小的圓錐體， 分別在1/4圓錐面， 1/2圓錐面， 3/4圓錐面及整個圓錐面區(qū)域進行多次采樣， 每組實驗獲取15個采樣數據點， 分別利用圓錐面擬合算法及經PTB認證的Rational DMIS軟件對圓錐面參數進行計算， 對比計算結果并分析.

本文實驗數據較多， 故只列出1/2圓錐面采樣和整個圓錐面采樣計算結果表格， 如表 1, 表 2 所示， 表中初值計算表示本文初值計算的結果， 算法1數據表示本文算法擬合計算的結果， 算法2數據表示Rational DMIS軟件計算的結果， 差值表示兩算法擬合結果差值.

表 1 1/2圓錐面采樣計算結果

由表 1, 表 2 中數據可知， 本文圓錐面幾何參數初值計算結果與圓錐面擬合結果接近， 且本文擬合算法計算結果與Rational DMIS軟件計算結果的小數點后兩位數基本保持一致， 二者擬合結果的差值很小. 表3是本文算法對圓錐面擬合誤差的計算結果， 誤差計算方法為： 計算采樣點到擬合圓錐面的距離， 最大誤差表示采樣點到圓錐面的最大距離值， 平均誤差表示采樣點到圓錐面的平均距離. 由表 3 可知， 在實驗中采樣區(qū)域為1/2圓錐面時， 圓錐面擬合算法擬合最大誤差為0.014 104 mm； 采樣區(qū)域為整個圓錐面時， 擬合最大誤差為0.008 603 mm， 綜上可知， 本文算法擬合結果準確、精度高.

表 2 整圓錐面采樣計算結果

表 3 圓錐面擬合誤差計算結果

4 結 論

針對圓錐面擬合初值計算不理想而導致擬合結果不準確的問題， 本文提出基于確定采樣策略的圓錐面擬合方法. 該方法利用所有數據點位置信息及其空間幾何關系， 可以準確可靠地估算圓錐面幾何參數初值， 距離函數優(yōu)化過程收斂快， 能夠快速準確計算目標函數全局最優(yōu)點. 經實驗證明： 本文算法擬合結果精度較高， 解決了擬合初值計算不理想導致擬合不準確甚至失敗的問題， 實現了圓錐面的精確擬合， 為三坐標測量軟件中標準二次曲面擬合提供了新方法.

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