錢寶玉

創(chuàng)新整合點(diǎn)

利用幾何畫板軟件設(shè)計(jì)了鑲嵌實(shí)驗(yàn)室，學(xué)生借助計(jì)算機(jī)，可以直觀地在計(jì)算機(jī)上對(duì)多邊形進(jìn)行鑲嵌實(shí)驗(yàn)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)出平面圖形鑲嵌的條件。

教材分析

平面圖形的鑲嵌是八年級(jí)的一節(jié)綜合實(shí)踐課，本節(jié)課主要是讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、小組合作、多媒體輔助（幾何畫板鑲嵌實(shí)驗(yàn)室）等多種形式探究平面圖形鑲嵌的條件。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)。通過(guò)這個(gè)課題的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，綜合應(yīng)用已有知識(shí)解決問題的過(guò)程，從而加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，提高思維能力，獲得分析問題的方法，對(duì)于今后的學(xué)習(xí)具有重要的意義。

學(xué)情分析

學(xué)生經(jīng)歷了對(duì)平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形等性質(zhì)和判定的探索活動(dòng)，掌握了有關(guān)特殊四邊形的性質(zhì)、判定，并了解多邊形的內(nèi)角和外角。在本章前幾節(jié)的探索活動(dòng)中，學(xué)生體現(xiàn)了主動(dòng)合作和實(shí)踐動(dòng)手能力，積累了一定的探索圖形性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，以及在活動(dòng)過(guò)程中表現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)表達(dá)能力和數(shù)學(xué)思考的發(fā)展水平。

八年級(jí)學(xué)生對(duì)鑲嵌的認(rèn)識(shí)大多數(shù)來(lái)源于生活實(shí)際中的感性認(rèn)識(shí)，對(duì)其內(nèi)在規(guī)律關(guān)注不夠，因而在本章教學(xué)中教師應(yīng)通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，組織學(xué)生動(dòng)手活動(dòng)，在活動(dòng)中與學(xué)生共同探究加深對(duì)鑲嵌的認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律，將感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)。

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：通過(guò)探索平面圖形的鑲嵌，知道用單一的正多邊形圖形能進(jìn)行平面鑲嵌的只有正三角形、正四邊形或正六邊形，并能運(yùn)用正多邊形圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的鑲嵌設(shè)計(jì)；在探究的過(guò)程中，理解正多邊形是否能夠鑲嵌的原因。

過(guò)程與方法目標(biāo)：培養(yǎng)從實(shí)際中發(fā)現(xiàn)問題、解決實(shí)際問題的能力；培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，理論聯(lián)系實(shí)際；培養(yǎng)動(dòng)手操作、自主探索、合作學(xué)習(xí)的能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、說(shuō)理等學(xué)習(xí)活動(dòng)，在體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性和創(chuàng)造性中提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心；在探索過(guò)程中，培養(yǎng)合作交流意識(shí)和一定的審美情感；進(jìn)一步體會(huì)平面圖形在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

教學(xué)環(huán)境與準(zhǔn)備

課前準(zhǔn)備好若干常見的基本圖形的紙板：正三角形12個(gè)、正方形4個(gè)、正五邊形4個(gè)、正六邊形4個(gè)、正八邊形4個(gè)、一般的三角形6個(gè)、一般的四邊形4個(gè)。安排學(xué)生復(fù)習(xí)回顧多邊形內(nèi)角和公式（n-2）180°，能夠根據(jù)公式計(jì)算出常見的正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。

安排學(xué)生在多媒體教室學(xué)習(xí)，注意分組，在計(jì)算機(jī)上安裝好幾何畫板鑲嵌實(shí)驗(yàn)室軟件。

教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)情境，明晰概念

師：同學(xué)們，大家都知道，數(shù)學(xué)是來(lái)源于生活，同時(shí)反過(guò)來(lái)為生活服務(wù)的，只要大家做一個(gè)生活的有心人，處處觀察我們生活的世界，你們就會(huì)發(fā)現(xiàn)許許多多的數(shù)學(xué)奧秘。今天我們要研究的平面圖形的鑲嵌，也和我們的生活息息相關(guān)。（播放《關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美》的視頻）大家看，這是我們的校園，大家都非常熟悉，如果細(xì)心觀察，你們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這里面隱藏著一個(gè)數(shù)學(xué)的奧秘?，F(xiàn)在，讓我們一起走進(jìn)校園，然后從數(shù)學(xué)的角度來(lái)思考，校園里到底隱藏著一個(gè)怎樣的數(shù)學(xué)奧秘呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)讓學(xué)生觀看視頻，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)就在我們身邊，滲透數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，同時(shí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)中的美。

提出問題：當(dāng)你漫步在校園里的時(shí)候，你是否發(fā)現(xiàn)了這些地磚和墻磚的拼鋪？實(shí)際上這種拼鋪在我們生活當(dāng)中也隨處能看見，請(qǐng)大家從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)進(jìn)行思考，這些地磚、墻磚還有天花板，它們有什么樣的共同特征？

學(xué)生討論，說(shuō)出特征，教師將學(xué)生所說(shuō)的特征進(jìn)行總結(jié)和概括，在此基礎(chǔ)上明晰平面圖形鑲嵌的概念。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)觀察和思考，初步總結(jié)出平面圖形鑲嵌的定義，并掌握定義中的關(guān)鍵詞，為開展操作和探究活動(dòng)做好準(zhǔn)備。

2.操作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

探究活動(dòng)一：同種正多邊形的鑲嵌

提出問題：小明家的新房進(jìn)行地面裝修，他的父母在某建材市場(chǎng)選購(gòu)材料的過(guò)程中看到如下幾種形狀的地磚：正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形和正八邊形。如果只選擇一種進(jìn)行地面裝修，哪幾種可供選擇？

操作探究：請(qǐng)各小組合理分工，利用多邊形模板或幾何畫板動(dòng)手操作驗(yàn)證（如圖1），得出結(jié)論，小組合作完成導(dǎo)學(xué)案上的探究報(bào)告，并準(zhǔn)備進(jìn)行小組展示。

活動(dòng)時(shí)間：4分鐘。

請(qǐng)某個(gè)小組將探究活動(dòng)一的鑲嵌圖案在黑板上進(jìn)行展示。

教師引導(dǎo)學(xué)生按照探究報(bào)告的問題進(jìn)行匯報(bào)交流。

①哪些正多邊形可以鑲嵌？哪些不能進(jìn)行鑲嵌？

②請(qǐng)結(jié)合拼圖，具體說(shuō)一下能夠鑲嵌的圖形是如何鑲嵌的？

③請(qǐng)結(jié)合拼圖，具體說(shuō)一下正五邊形和正八邊形為什么不能進(jìn)行鑲嵌？

④根據(jù)以上探究，你們能總結(jié)一下鑲嵌的條件嗎？一個(gè)正多邊形要能夠進(jìn)行平面鑲嵌，它的內(nèi)角要滿足什么條件？

設(shè)計(jì)意圖：提出現(xiàn)實(shí)問題，組織學(xué)生以小組為單位開展操作與探究，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究報(bào)告，引導(dǎo)學(xué)生初步總結(jié)出平面圖形鑲嵌的條件以及正多邊形鑲嵌的條件。

師：通過(guò)剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你們還能再找到能夠進(jìn)行平面鑲嵌的正多邊形嗎？說(shuō)說(shuō)你們的想法。（引導(dǎo)：能否用代數(shù)的方法解決剛才的問題？）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)使用代數(shù)方法解決問題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合以及方程思想在解決問題中的作用。

師：剛才我們研究的這些圖形都是正多邊形，是內(nèi)角的度數(shù)和邊長(zhǎng)也都相等的多邊形，可以說(shuō)是特殊的多邊形，那么對(duì)于任意的多邊形，是否也能夠按照剛才的規(guī)律進(jìn)行鑲嵌呢？

我們?cè)谘芯繂栴}時(shí)，很多時(shí)候是先研究特殊的情況，再研究一般的情況，這在數(shù)學(xué)上是一種從特殊到一般的數(shù)學(xué)方法。endprint

探究活動(dòng)二：任意多邊形的平面鑲嵌

提出問題：小明的爸爸在裝修過(guò)程中用一些邊角余料切割成一些形狀、大小完全相同的任意三角形，他用這些三角形能進(jìn)行地面鑲嵌嗎？任意的四邊形呢？

操作探究：請(qǐng)各小組合理分工，利用任意三角形和任意四邊形模板或幾何畫板動(dòng)手操作驗(yàn)證（如圖2），根據(jù)操作驗(yàn)證，小組合作完成導(dǎo)學(xué)案上的探究報(bào)告，并準(zhǔn)備進(jìn)行小組展示。

活動(dòng)時(shí)間：4分鐘。

某個(gè)小組將探究活動(dòng)二的鑲嵌圖案在黑板上進(jìn)行展示。

教師引導(dǎo)學(xué)生按照探究報(bào)告的問題進(jìn)行匯報(bào)交流。

①任意三角形和任意四邊形是否可以進(jìn)行鑲嵌？

②具體說(shuō)一下它們是如何鑲嵌的？

師：剛才研究的圖形都是用同一種多邊形，對(duì)于兩種甚至三種多邊形的組合，是否也有這樣的規(guī)律呢？在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們往往先從簡(jiǎn)單的開始研究，再研究復(fù)雜的情況，這就是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

探究活動(dòng)三：邊長(zhǎng)相等的兩種正多邊形的組合鑲嵌

提出問題：小明的父母想用剛才邊長(zhǎng)相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形中的兩種地磚進(jìn)行地面裝修，請(qǐng)幫他們?cè)O(shè)計(jì)出利用兩種地磚進(jìn)行組合鑲嵌的方案。

操作探究：小組PK。編號(hào)為奇數(shù)的小組利用動(dòng)手操作來(lái)設(shè)計(jì)方案，編號(hào)為偶數(shù)的小組利用探究活動(dòng)一和探究活動(dòng)二發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，利用幾何畫板進(jìn)行鑲嵌實(shí)驗(yàn)（如圖3）。

活動(dòng)時(shí)間：5分鐘。

奇數(shù)組代表匯報(bào)探究成果。

①哪些正多邊形的組合可以進(jìn)行平面鑲嵌？

②它們是如何鑲嵌的？

偶數(shù)組代表匯報(bào)通過(guò)方程思想探究得出的結(jié)果。

總結(jié)探究活動(dòng)三得出的結(jié)論。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分組探究，讓學(xué)生用不同的方法解決，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的多樣性。

3.總結(jié)歸納，提煉精華

通過(guò)以上的探究活動(dòng)，總結(jié)歸納多邊形可以鑲嵌的條件：一是拼接點(diǎn)處幾個(gè)內(nèi)角的和能夠構(gòu)成360度角，二是相等的邊互相重合。

4.思維拓展，應(yīng)用提升

提出問題：剛才我們研究的不管是同一種多邊形的鑲嵌還是組合圖形的鑲嵌，都是一些規(guī)則的圖形，那么對(duì)于不規(guī)則的圖形，是否也能進(jìn)行平面鑲嵌呢？

教師出示如下頁(yè)圖4所示的兩個(gè)圖案，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出鑲嵌方法。

提出問題：如下頁(yè)圖5，在一個(gè)正方形的內(nèi)部減去一個(gè)圖形，并平移，形成新的圖案。以這個(gè)圖案為“基本單位”能否進(jìn)行鑲嵌？

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)通過(guò)剛才的三組圖形得到的結(jié)論。

設(shè)計(jì)意圖：從規(guī)則圖形到不規(guī)則圖形，為學(xué)生提供一種設(shè)計(jì)鑲嵌基本圖案的方法。

5.作業(yè)布置，學(xué)以致用

師：我校新校區(qū)正在建設(shè)中，請(qǐng)根據(jù)今天所學(xué)習(xí)的鑲嵌的知識(shí)，為我校新校區(qū)設(shè)計(jì)一種教室地面的鑲嵌方案，要求用三種正多邊形組合進(jìn)行設(shè)計(jì)。你有多少種設(shè)計(jì)方案？

其實(shí)，鑲嵌就在我們身邊，它每時(shí)每刻都在裝點(diǎn)著我們的生活。希望大家通過(guò)今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，能用眼睛去發(fā)現(xiàn)美，用心靈去感受美，用智慧去創(chuàng)造美。在鑲嵌的背后，還有更多的數(shù)學(xué)奧秘等待著我們?nèi)ヌ剿鳎グl(fā)現(xiàn)。最后，伴隨著悠揚(yáng)動(dòng)聽的葫蘆絲旋律，讓我們?cè)谛蕾p一組鑲嵌作品中結(jié)束本節(jié)課的學(xué)習(xí)。

● 教學(xué)反思

本節(jié)課的設(shè)計(jì)，我以自己創(chuàng)作的《學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)和校園中的數(shù)學(xué)》的視頻引入，同時(shí)以生活中常見的豐富多彩的鑲嵌的視頻作為結(jié)尾，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)和我們的生活息息相關(guān)，數(shù)學(xué)就在我們身邊，數(shù)學(xué)可以給我們帶來(lái)美。

在操作和研究環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了三個(gè)探究活動(dòng)，分別是同種正多邊形的鑲嵌、任意多邊形的鑲嵌、邊長(zhǎng)相等的兩種正多邊形的鑲嵌。設(shè)計(jì)時(shí)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，先研究特殊的圖形，再研究一般的圖形；先研究單一的簡(jiǎn)單的圖形，再研究組合的復(fù)雜的圖形；先研究規(guī)則的圖形，再研究不規(guī)則的圖形。在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)并經(jīng)歷“從特殊到一般”“從簡(jiǎn)單到復(fù)雜”“從規(guī)則到不規(guī)則”等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般方法，同時(shí)在過(guò)程中滲透了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)學(xué)思想和方法貫穿本節(jié)課的始終。

當(dāng)然，通過(guò)實(shí)際的授課，本課還是存在很多需要重新思考和改進(jìn)的地方：

①學(xué)生活動(dòng)時(shí)間充分、活動(dòng)形式多樣，活動(dòng)進(jìn)行得也比較順利，但對(duì)于部分學(xué)生而言還存在著“玩”的情況，對(duì)于這類學(xué)生來(lái)說(shuō)活動(dòng)的形式?jīng)_淡了活動(dòng)的目的。

②教學(xué)語(yǔ)言不夠精練，重復(fù)性的話語(yǔ)雖然起到了重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的作用，但仍顯冗長(zhǎng)而羅嗦；而一些指向過(guò)于明確的細(xì)化問題在某種程度上限制了學(xué)生的思維。

③時(shí)間分配上存在著前松后緊的情況，概念處理顯得過(guò)于拖沓，以至于后期的思考問題不夠深入，這還需要在活動(dòng)設(shè)計(jì)和課堂節(jié)奏的調(diào)整上下功夫。

④若能在活動(dòng)的初始階段把密鋪所需要的“量”（頂點(diǎn)、邊、角）都抓出來(lái)，給學(xué)生以具體呈現(xiàn)，本節(jié)課的學(xué)生活動(dòng)會(huì)更具思想性。

⑤由于時(shí)間有限，本節(jié)課的研究?jī)H限于多邊形的頂點(diǎn)和頂點(diǎn)重合、相等的邊重合的情況，在探究過(guò)程中，學(xué)生也出現(xiàn)了相等的邊不重合的情況，可以借助拼圖在黑板上進(jìn)行演示，讓學(xué)生認(rèn)同相等的邊必須重合，否則不能進(jìn)行連續(xù)的鑲嵌。也可以借助幾何畫板軟件進(jìn)行進(jìn)一步的探究和嘗試，但由于時(shí)間關(guān)系，利用幾何畫板的探究設(shè)想并沒有進(jìn)行。而對(duì)于其他形式基本沒有涉及，這也容易造成學(xué)生思維的局限性，可以在以后的教學(xué)中適當(dāng)加以鋪墊和解釋。endprint