蔡振樹

[摘 要] 文章主要對“函數零點”的校本作業(yè)進行歸類，剖析了函數零點、方程的根與函數的圖像的交點的靈活轉換，旨在幫助學生探索數學素養(yǎng)培育的載體.

[關鍵詞] 函數零點；高考題；解方程；數形結合；導數；取值范圍

函數零點的定義：一般地，對于函數y=f（x）（x∈D），把使得f（x）=0的實數x叫作函數y=f（x）的零點. 零點與方程的解及函數圖像與x軸交點的橫坐標等有緊密的關系. “函數零點”這知識點的校本作業(yè)設計也是圍繞這三個關系展開的，校本就是基于學生實際來設計問題和解決問題，進而培育學生的數學素養(yǎng).

題目設計可以體現(xiàn)函數零點、方程的根與函數的圖像的交點的靈活轉換，重在函數圖像與性質等基本知識的領悟及深化，滲透等價轉化、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，并從函數零點的分布、函數零點個數的探究以及構建不等式解決參數取值范圍等切入，旨在通過題目的處理來幫助學生從多角度、多視點、多層次地訓練數學理性思維能力，揭示數學的本質學習，是數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養(yǎng)培育的有力載體，對數學學習潛能的培養(yǎng)具有十分重要的意義. 以下從幾個方面來設計問題及對這類問題進行歸類解析.

運用基礎知識和基本定理判斷函數零點的分布

函數零點的分布問題，即對應方程根的取值范圍，解決的策略主要是利用函數零點的存在性定理，或者結合函數的圖像和性質，或者一些特殊點來解決，培育學生最基本的數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng).

例1：已知函數f（x）=-logx，在下列區(qū)間中，包含f（x）零點的區(qū)間是（ ）

A. （1，2） B. （2，3）

C. （2，4） D. （1，3）

解法一：（零點的存在性定理）依題意得f（1）=-log21=6>0，f（2）=-log22=3-2=1>0，f（3）=-log23=2-log23>2-log24=0，f（4）=-log24=-2=-<0，故有f（2）·f（4）<0，從而由零點的存在性定理可知，包含f（x）零點的區(qū)間為（2，4），故選C.

解法二：構造兩個函數：y=與y=log2x，則圖像的交點所在區(qū)間即為y=f（x）零點所在區(qū)間，如圖1所示：

因為>log22，

若函數圖像易畫出，則易解決；若圖像不易畫出，則考慮零點的存在性定理，但需注意，該定理運用的前提條件是該函數在區(qū)間上無間斷點，而且對于（a，b），f（a）·f（b）<0只是f（x）在（a，b）上存在零點的充分條件而已.

通性通法來判斷函數零點、方程根的個數

函數零點、方程根的個數的判斷屬于定性判斷，其解決的主要思路有通過解方程判斷解的個數以及數形結合，充分運用函數及方程思想等來解決問題，這些方法屬于通性通法，對學生數學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展具有十分重要的意義.

1. 解方程法

若函數f（x）對應的方程f（x）=0較好求解，可通過定義法把函數f（x）零點問題轉化為求方程f（x）=0的解，方程解的個數即為對應函數零點的個數.

例2：函數f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上零點的個數為（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：求方程xcosx2=0在區(qū)間[0，4]上解的個數，易知x=0為一個解；而當x∈[0，4]時，x2∈[0，16]，由cosx2=0得x2=+kπ，k∈Z，則k只能取0，1，2，3，4，即此時可得到5個不同的解，從而知方程xcosx2=0的根共有6個，即函數f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上零點的個數為6個，故選C.

2. 數形結合法

若函數結構為F（x）=f（x）-g（x），其中f（x）及g（x）為兩個不同類型的基本初等函數，則可通過數形結合法解決，即根據函數零點、方程的根與函數圖像的關系知，函數F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程f（x）-g（x）=0有實數根？圳函數y=f（x）與y=g（x）有交點，從而可把函數F（x）=f（x）-g（x）的零點問題轉化成研究函數y=f（x）與y=g（x）的交點問題，而有時又需要把方程f（x）-g（x）=0根的問題轉化成研究函數F（x）=f（x）-g（x）的零點問題，通過圖像反映與軸的交點的情況.

例3：函數f（x）=2sinxsinx+-x2的零點個數為_____.

解析：f（x）=2sinxsinx+-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2，所以，求f（x）的零點個數就是求函數y=sin2x與y=x2的交點個數，如圖2所示：答案為2個.

注意：通過研究可以發(fā)現(xiàn)函數的零點是一個具有“數”和“形”兩方面含義的概念，因此，在研究時常常應把兩者結合起來考慮，并掌握基本函數的圖像及其圖像變換，考慮數形結合法解題.

關注學習差異研究參數的取值情況

由函數零點（方程根）的存在情況求參數的取值問題，關鍵是利用函數方程思想或數形結合思想，構建關于參數的方程或不等式求解. 常用的方法有直接法、數形結合法及導數法等.對含參問題的求解，體現(xiàn)關注學生的學習差異，是對學生更高層次的素養(yǎng)形成的培育.

1. 直接法

直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍.

例4：若函數f（x）=x2+2ax+4a2-3的零點有且只有一個，則實數a=________.

解析：易知函數f（x）=x2+2ax+4a2-3是偶函數，所以要使其零點只有一個，這個零點只能是0. 令f（0）=0得，a= ±，而當a=時，f（x）=x2+x，它只有一個零點0，符合題意；當a=-時，f（x）=x2-x，它有三個零點，分別為0，及-，不符合題意，綜上，a=.

2. 數形結合法

例5：已知函數f（x）=log2（x+1），x>0，-x2-2x，x≤0， 若函數g（x）=f（x）-m有3個零點，則實數m的取值范圍是______.

分析：遇到此類問題，首先要通過運用函數與方程的思想進行等價轉化，轉化為兩個更簡單的函數，畫出函數圖像，數形結合，結合交點個數確定參數范圍.

解析：函數g（x）=f（x）-m有3個零點，轉化為f（x）-m=0的根有3個，進而轉化為y=f（x）與y=m的交點有3個.畫出函數y=f（x）的圖像，則直線y=m與其有3個公共點. 又拋物線頂點為（-1，1），從而由圖像可知實數m的取值范圍是（0，1）.

3. 導數法

例6：已知函數f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0>0，則實數a的取值范圍是（ ）

A. （2，+∞） B. （1，+∞）

C. （-∞，-2） D. （-∞，-1）

思路一：由于參數a是函數f（x）的最高次項的系數，可以對參數a分a=0，a>0，a<0三類進行討論，再結合導數求極值的思路，分別研究出各種情況下函數f（x）的單調性，進而明確函數f（x）的大致圖像分布，從而結合題目條件“存在唯一正零點”得出結論.

思路二：用分離參數法，運用化歸轉化、數形結合思想，把函數f（x）等價轉換成函數y=a與y=3·-的唯一的交點在y軸右側，從而再結合導數思維突破，得出參數a的取值范圍.

本文通過對“函數零點”這相關知識點校本作業(yè)的選取和設計進行歸類探析，著重從基本問題處入手，讓學生在探索解題方法及思路形成中不斷培育數學抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，體會蘊含的數形結合、函數與方程等數學思想方法，在學習實踐中加深對數學本質的理解，并體現(xiàn)學習差異，不斷增強函數應用的意識，在學習中得到不同程度的發(fā)展.