曹慧亮，張英杰，閆捷，李宏生，申沖，劉俊

（1.中北大學(xué)電子測試技術(shù)國防科技重點實驗室，太原030051；2.北京電子工程研究所，北京100854；3.東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京210096）

隨著微機械加工工藝的不斷改進以及對微機械陀螺儀研究的深入，微機械陀螺儀的精度逐步提高，其精度已經(jīng)可滿足很多高精度領(lǐng)域的應(yīng)用要求[1-4]。在眾多不同原理的微機械陀螺儀中，很多科研單位和公司選擇了采用雙質(zhì)量結(jié)構(gòu)、電容檢測和靜電驅(qū)動工作方式的微機械陀螺結(jié)構(gòu)，以減小檢測軸向加速度對陀螺輸出信號的影響[4]。有研究表明[1]，即使是在大氣壓環(huán)境中，微機械陀螺儀敏感結(jié)構(gòu)的機械噪聲也有約2((°)·h-1)/√Hz，而電路噪聲約為 6((°)·h-1)/√Hz，因此，提高微機械陀螺儀結(jié)構(gòu)輸出信號的信噪比可在不惡化電路噪聲的基礎(chǔ)上有效提高微機械陀螺儀的噪聲指標(biāo)。而增加結(jié)構(gòu)機械靈敏度是一種提高陀螺結(jié)構(gòu)輸出信號信噪比行之有效的方法，該方法可增大陀螺標(biāo)度因數(shù)指標(biāo)，在受同樣的電路噪聲影響下可大大提高陀螺性能。由于微機械陀螺儀采用了驅(qū)動和檢測模態(tài)諧振的工作原理，其結(jié)構(gòu)機械靈敏度與驅(qū)動和檢測模態(tài)諧振頻率差 Δf成反比[4]，所以理論上當(dāng) Δf=0 Hz 時，陀螺機械靈敏度達到峰值。但由于受到加工誤差等方面因素的限制，即使在設(shè)計階段將驅(qū)動和檢測模態(tài)諧振頻率設(shè)置相等，實際加工出的結(jié)構(gòu)也很難達到Δf=0 Hz的狀態(tài)，因此需要研究調(diào)節(jié)Δf的方法以使結(jié)構(gòu)的機械靈敏度達到最大。

驅(qū)動和檢測模態(tài)的諧振頻率由相應(yīng)模態(tài)的等效剛度與等效質(zhì)量的比值決定[2]，而對于模態(tài)的等效質(zhì)量，其值固定很難發(fā)生改變，所以在工程上最為有效的方法為固定驅(qū)動模態(tài)固有頻率而調(diào)節(jié)檢測模態(tài)的等效剛度以達到改變 Δf的目的[5,7]。需要指出的是，由于壓膜梳齒結(jié)構(gòu)只能產(chǎn)生靜電負(fù)剛度，即讓原有的機械剛度減小，所以如果采用檢測模態(tài)頻率調(diào)節(jié)方案需要設(shè)定檢測模態(tài)的諧振頻率大于驅(qū)動模態(tài)諧振頻率[2]。上述方案實施過程中的難點在于如何判斷驅(qū)動和檢測模態(tài)頻差，目前采用的方案主要有美國佐治亞理工學(xué)院通過檢測回路中正交信號的幅值來判斷是否達到頻率調(diào)諧狀態(tài)（當(dāng)處于頻率調(diào)諧狀態(tài)時，正交信號為最大值）[5]。文獻[6-7]中都采用了通過檢測通道中正交信號的相位與驅(qū)動信號相位相對量來判斷驅(qū)動和檢測模態(tài)之間是否調(diào)諧。文獻[7-9]中還介紹了通過哥式信號和外部對檢測模態(tài)施加低頻激勵信號的方式來判斷驅(qū)動和檢測模態(tài)是否匹配。文獻[10]采用鎖相環(huán)檢測驅(qū)動信號和檢測模態(tài)位移信號的相位以實現(xiàn)模態(tài)匹配的檢測。文獻[11]則通過采用“極值尋找控制器”來尋找使檢測模態(tài)達到運動峰值的點，以此方法判斷模態(tài)匹配。但當(dāng)陀螺處于模態(tài)匹配時，其機械帶寬會急劇降低至0 Hz（機械帶寬為0.54Δf），所以必須通過有效辦法拓展帶寬[12]，以保證陀螺滿足實際應(yīng)用。

本文采用了基于驅(qū)動位移相位信息的頻率調(diào)諧原理，有效避免了由于 90°移相環(huán)節(jié)引入的相位誤差，并此基礎(chǔ)上，結(jié)合PI經(jīng)典搭建了相關(guān)的控制系統(tǒng)。

1 雙質(zhì)量硅微機械陀螺結(jié)構(gòu)模型及調(diào)諧原理

本文所述的硅微機械陀螺儀結(jié)構(gòu)機械模型如圖 1所示，結(jié)構(gòu)中包含了驅(qū)動模態(tài)（沿x軸方向，包括驅(qū)動框架、驅(qū)動模態(tài)剛度和阻尼、哥式質(zhì)量塊）和檢測模態(tài)（沿y軸方向，包括檢測框架、檢測模態(tài)剛度和阻尼、哥式質(zhì)量塊），其中驅(qū)動框架和檢測框架只在x和y方向有一個自由度，哥式質(zhì)量塊在x和y方向同時具有兩個自由度[2]。

圖1 硅微機械陀螺結(jié)構(gòu)機械模型Fig.1 Mechanical model of MEMS gyroscope structure

微機械陀螺儀結(jié)構(gòu)振動情況的動力學(xué)方程如下式所示：

它們分別是驅(qū)動和檢測模態(tài)的諧振角頻率和品質(zhì)因數(shù)。從式(1)可以看出，mc在 my中占的比重與哥氏力的大小成正比，為方便分析，這里令 mc=my。假設(shè)驅(qū)動模態(tài)所受靜電力為一個恒頻恒幅的正弦波，即 Fd,x=Fdsin(ωdt)，其中，F(xiàn)d為其驅(qū)動幅度，ωd為其驅(qū)動角頻率。通常情況下，為了獲得最高的驅(qū)動位移，通常令驅(qū)動模態(tài)工作在其諧振頻率點，即有ωd= ωx，則驅(qū)動模態(tài)和檢測模態(tài)位移可表達為：

其中，

則當(dāng)ωy和ωd值相差較大(Δf＞10 Hz)且Qy為數(shù)千量級時，φy≈0，那么ys(t)=Aysin(ωdt)與驅(qū)動位移信號相位相差90°。當(dāng)ωy和ωd相差較小（Δf≈0Hz）時，由于在控制過程中會存在超調(diào)的現(xiàn)象，ωy和ωd值的大小會出現(xiàn)交替，則φy值又存在以下兩種情況：

從式(4)可知，無論Δf從左側(cè)還是右側(cè)趨向于0，φy值最終都將等于-90°，即 ys(t)=Aycos(ωdt)與驅(qū)動位移信號同頻同相。為了使梳齒檢測具有更好的線性度，通常都采用滑膜形式，即改變交疊面積的方式。但若想產(chǎn)生靜電負(fù)剛度，則需要采用壓膜方式。一個典型的壓膜梳齒的示意圖如圖2所示[2,9]。

圖2 壓膜電容示意圖Fig.2 Schematic of squeeze film capacitance

通過計算可得到壓膜電容上下兩極板間產(chǎn)生的靜電力，如下式所示[2]：

式中：ε0=8.85×10-12F/m 為介電常數(shù)；y0為兩板間沿 y軸的間距；x0為兩板在 x軸方向上的疊加長度；z0為兩板在z方向的長度；x、y分別為兩極板沿x、y軸相對位移量；?x和?y分別代表沿著x、y方向力的矢量。將式(5)中?y矢量方向上的分量進一步對y求導(dǎo)，可得壓膜電容上下極板間產(chǎn)生的靜電剛度：

式中，n為調(diào)諧梳齒數(shù)量，且y<

對于采用“推挽”結(jié)構(gòu)的調(diào)諧梳齒，其產(chǎn)生的靜電剛度值為式(6)中的兩倍[8-9]，則通過式(6)可知，通過改變加載在上下極板間的電壓V即可調(diào)節(jié)剛度值。進一步地，檢測模態(tài)的諧振頻率可表達為：

表1為微機械陀螺結(jié)構(gòu)模型參數(shù)。在其基礎(chǔ)上，圖3給出了調(diào)節(jié)電壓V和諧振頻率以及模態(tài)剛度關(guān)系曲線?？梢钥闯?，隨著V的增大，ωy逐漸ωd，當(dāng)V≈ 10 V時，兩模態(tài)諧振頻率相等，但隨著V的進一步增大，檢測模態(tài)諧振頻率小于驅(qū)動模態(tài)諧振頻率，且差值逐步拉大。因此，可將調(diào)節(jié)電壓作為控制量，但在控制過程中需要判斷何時 Δf=0 Hz。值得注意的是，由于調(diào)節(jié)電壓的范圍的限制，在設(shè)計過程中，驅(qū)動和檢測模態(tài)的諧振頻率差值不應(yīng)設(shè)計得過大。

表1 結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Structure and system parameters

圖3 調(diào)節(jié)電壓和諧振頻率以及模態(tài)剛度關(guān)系曲線Fig.3 Relationship between adjust voltage and resonant frequency and stiffness

2 頻率調(diào)諧控制系統(tǒng)設(shè)計

為了能夠?qū)︻l率調(diào)諧系統(tǒng)進行實時控制，系統(tǒng)的觀測量必須始終存在，而上述檢測模態(tài)的位移只能通過外部施加靜電力才能產(chǎn)生，不適合應(yīng)用在未配備檢測反饋電極的陀螺結(jié)構(gòu)中。本文采用正交信號與驅(qū)動位移信號相位關(guān)系作為觀測量搭建控制系統(tǒng)。正交信號與上節(jié)分析的檢測位移信號相位相差 90°，則在未調(diào)諧狀態(tài)下正交信號與驅(qū)動位移同相，調(diào)諧后正交信號應(yīng)與驅(qū)動位移信號正交。進一步的對正交信號在頻率調(diào)諧過程中的信號成分進行分析，如圖4所示[2]。

圖4 正交信號成分與頻差關(guān)系Fig.4 Relationship between quadrature error signal components and resonant frequency split

從圖4中可知，當(dāng)頻差趨等于0時，正交信號幅度達最大（這也正是文獻[5]中采用正交信號峰值判斷頻率調(diào)諧狀態(tài)的原因），此時其中的cos(ωdt)分量約為0，同時，Δf在-1 Hz到+1 Hz范圍內(nèi) cos(ωdt)分量的幅度與Δf呈一一對應(yīng)的單調(diào)遞減關(guān)系，且線性度較好，因此它可用作模態(tài)調(diào)諧的判據(jù)。由于正交信號一直存在于結(jié)構(gòu)中，因此本節(jié)采用正交信號與驅(qū)動位移信號x(t)相位差作為判斷頻率調(diào)諧的依據(jù)，則正交校正環(huán)節(jié)不應(yīng)完全消除正交信號（應(yīng)只保留較小幅度的正交信號以減小其對哥氏信號的影響）。其調(diào)諧控制系統(tǒng)原理如圖5所示。

圖5 調(diào)諧控制系統(tǒng)框圖Fig.5 Schematic of tune controlling system

正交等效輸入角速率ΩQE在驅(qū)動位移同相信號的調(diào)制下產(chǎn)生正交力FQE作用于檢測模態(tài)上。檢測模態(tài)輸出信號經(jīng)過位移-電容轉(zhuǎn)換裝置Kyc和前級放大器Kpre處理后被驅(qū)動回路中驅(qū)動位移同相信號 Vdaccos(ωdt)解調(diào)，經(jīng)過兩階低通濾波器FLPF1和FLPF2作用后送入放大環(huán)節(jié)Kampt中，后與參考電壓信號Vreft進行比較，結(jié)果經(jīng)過比例積分控制器和調(diào)諧靜電力負(fù)剛度轉(zhuǎn)換系數(shù)Kstiff的作用產(chǎn)生調(diào)節(jié)剛度Δk，與初始剛度ky疊加后形成最終剛度改變檢測模態(tài)的諧振頻率 ωy。上述系統(tǒng)可動態(tài)調(diào)節(jié) Δk，直至 cos(ωdt)的分量與參考電壓基準(zhǔn)Vreft相等，可通過調(diào)節(jié)Vreft來調(diào)節(jié)ωy和頻差Δf。

圖6 陀螺在Simulink中的仿真模型Fig.6 Gyroscope simulation model in Simulink

本文在之前微機械陀螺儀系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上加入了頻率調(diào)諧PI控制模塊以及諧振頻率解算模塊[13]，如圖 6所示，其中的控制器參數(shù)如表 2所示。采用 PI控制器的頻率調(diào)諧系統(tǒng)能夠較方便地在模擬電路中實現(xiàn)，并具有很好的可靠性和重復(fù)性。通過調(diào)節(jié)基準(zhǔn)模塊Vreft可對頻差的穩(wěn)態(tài)誤差進行調(diào)整，由于后期涉及到帶寬拓展的問題（可采用比例積分相位超前控制方法[12]），所以系統(tǒng)工作點初步設(shè)定為Δf=0.03 Hz。

對圖6調(diào)諧控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析，可得到其奈奎斯特曲線，如圖7所示，圖中曲線并未包括(-1,0j)點，可以證明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

表2 控制器參數(shù)Tab.2 Controller parameters

圖7 頻率調(diào)諧控制系統(tǒng)回路奈奎斯特圖Fig.7 Nyquest map of the system

圖8 系統(tǒng)仿真曲線Fig.8 System simulation curves

3 頻率調(diào)諧控制系統(tǒng)仿真

為了減小與其他控制系統(tǒng)的耦合，并觀察頻率調(diào)諧系統(tǒng)的動態(tài)特性，本文首先將整個系統(tǒng)開始仿真，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時（設(shè)定系統(tǒng)穩(wěn)定時間為 1 s），再將調(diào)諧系統(tǒng)開啟，以此主要分析調(diào)諧控制系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)定性等問題。為了對比本文之前的分析內(nèi)容，本文選取了三個觀測點：第一路為驅(qū)動位移信號 x(t)，其相位信號作為調(diào)諧系統(tǒng)的參考基準(zhǔn)；第二路為檢測位移信號 y(t)，由于回路中沒有接入任何外界輸入角速率，所以位移信號主要成分應(yīng)為正交信號，其相位也是極為重要的觀測量；第三路為頻差Δf信號。仿真結(jié)果如圖 8（左）所示，可以清楚看到，未加入調(diào)諧系統(tǒng)時，陀螺的驅(qū)動和檢測回路在0.5 s以后就基本達到了穩(wěn)定狀態(tài)，在1 s時加入調(diào)諧控制系統(tǒng)，對驅(qū)動回路的穩(wěn)定工作并無影響，檢測位移信號變大，這進一步驗證了頻差減小時，整個陀螺的機械靈敏度有大幅度提升。在調(diào)諧系統(tǒng)加入后0.5 s，系統(tǒng)進入另一個穩(wěn)定狀態(tài)，此時檢測位移幅值恒定，頻差也基本保持不變。為了更清楚地反映圖8（左）中的信息，將時間軸放大，如圖8右下（時間軸范圍為0.5～0.505 s，此時系統(tǒng)處于未加入調(diào)諧系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)）和圖8右上（時間軸為4.5～4.505 s，此時系統(tǒng)處于加入調(diào)諧系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)）所示，其中，在整個過程中，驅(qū)動位移幅值均在0.8 μm左右恒定不變。在調(diào)諧系統(tǒng)工作之前，檢測位移幅值約為0.013 μm左右，其相位與驅(qū)動位移相位相差 180°（其中均為正交信號），此時驅(qū)動和檢測模態(tài)頻率差Δf穩(wěn)定在20.2 Hz左右。當(dāng)調(diào)諧控制系統(tǒng)工作后，檢測位移信號幅值增大為0.13 μm 左右，其相位與基準(zhǔn)相位（驅(qū)動位移信號）相差-90°。由于系統(tǒng)中只有正交信號，故達到了頻率調(diào)諧狀態(tài)，此時驅(qū)動和檢測模態(tài)頻率差Δf為-0.032 4 和-0.032 5 之間，與之前設(shè)定的頻率差-0.03 Hz基本吻合，誤差產(chǎn)生原因主要是由于參考電壓基準(zhǔn)Vreft所致。

上述過程證明了頻率調(diào)諧控制系統(tǒng)的有效性、穩(wěn)定性和快速性。此外，為了更好地反映頻率調(diào)諧的效果，針對調(diào)諧前后陀螺的標(biāo)度因數(shù)指標(biāo)進行了仿真（如圖9所示）。調(diào)諧前，陀螺標(biāo)度因數(shù)為 13.1 mV/((°)·s-1)（圖 9 上），調(diào)諧后標(biāo)度因數(shù)為 220.6 mV/((°)·s-1)（圖 9 下），提高了近17倍，大大優(yōu)化了靈敏度等參數(shù)。

圖9 頻率調(diào)諧前（上圖）后（下圖）陀螺標(biāo)度因數(shù)仿真結(jié)果Fig.9 Scale factor simulation results,before(up)and after(down)mode-matching

4 結(jié) 論

較小的驅(qū)動-檢測模態(tài)頻率差可使微機械陀螺儀具有更高的靈敏度和精度。本文針對上述需求基于檢測模態(tài)壓膜梳齒設(shè)計了微機械陀螺儀模態(tài)調(diào)諧控制系統(tǒng)，調(diào)諧狀態(tài)通過檢測回路中正交信號與驅(qū)動位移信號相位差判定，控制系統(tǒng)采用了經(jīng)典的PI控制器保證了其具有較好的移植特性，實現(xiàn)簡單。仿真結(jié)果顯示了控制系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性、快速性和動態(tài)特性。

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