陳飛超， 黃懷緯

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院， 廣東 廣州 510640)

0 引 言

功能梯度材料定義為由多勻質(zhì)材料層組成的復(fù)合疊層， 各勻質(zhì)材料層屬性按照TTO均勻化模型給定. 陶瓷/金屬功能梯度材料(Functionally Graded Materials， FGM)產(chǎn)生于1986年[1]， 是一種新型耐熱材料. FGM中陶瓷和金屬的共混比率沿材料厚度方向從0到1呈現(xiàn)連續(xù)的變化， 使材料宏觀性能連續(xù)過渡， 避免了傳統(tǒng)疊層復(fù)合材料由于界面物性不連續(xù)而導(dǎo)致的應(yīng)力集中現(xiàn)象發(fā)生. 特別是在極度惡劣的熱環(huán)境下， FGM具有優(yōu)異的抗裂和耐熱性能. 目前， FGM的應(yīng)用領(lǐng)域正逐步被拓展， 是一種極具應(yīng)用前景的新型工程材料[2].

近年來， 各國學(xué)者對(duì)FGM板殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能進(jìn)行了廣泛而深入的探索， 特別是對(duì)于彈性屈曲問題的研究， 已取得許多卓有成效的成果. Feldman等[3]通過經(jīng)典板理論， 研究了面內(nèi)荷載下彈性FGM矩形板的線性屈曲問題； Javaheri等[4]通過變分法研究了FGM矩形板在面內(nèi)荷載下的屈曲行為； Yang等[5]基于高階剪切變形板理論， 對(duì)FGM矩形板的動(dòng)力穩(wěn)定性進(jìn)行了分析； Morimoto[6]等通過Galerkin法研究了FGM矩形板在局部加熱情況下的熱屈曲問題； Asseaee等[7]對(duì)FGM矩形板橫縱比對(duì)屈曲性能和后屈曲剛度的影響進(jìn)行了分析； Sherafa等[8]通過最小勢(shì)能法， 分析了幾種不同幾何特性的FGM矩形板單軸壓縮屈曲臨界荷載的變化； 陳江[9]采用線性理論， 用數(shù)值計(jì)算方法分析了FGM板的前屈曲力學(xué)行為； 張永強(qiáng)[10]采用半解析方法計(jì)算FGM圓柱殼的彈塑性臨界荷載； 邵玉龍[11]等將二階一致無網(wǎng)格法應(yīng)用于FGM板， 結(jié)果表明這種計(jì)算方法大幅度提高了FGM結(jié)構(gòu)的計(jì)算效率.

盡管FGM板殼結(jié)構(gòu)彈性屈曲理論已較為完善， 但對(duì)于FGM板殼彈塑性屈曲和后屈曲問題的研究仍十分有限. 為探索材料物理非線性效應(yīng)對(duì)FGM板結(jié)構(gòu)屈曲及后屈曲性能的影響， 本文采用有限元程序ABAQUS對(duì)FGM矩形板的彈塑性屈曲和后屈曲問題進(jìn)行了數(shù)值模擬， 分析中計(jì)入了材料物理非線性和結(jié)構(gòu)幾何非線性的雙重影響.

1 材料屬性

通常情況下陶瓷組分在厚度方向的分布服從冪律分布[3]， 即

Vc=(0.5+z/h)k,Vc+Vm=1,(1)

式中：V表示組分體積含量， c和m分別對(duì)應(yīng)于陶瓷相和金屬相；k為組分參數(shù)；z為板內(nèi)點(diǎn)到板中心面的距離， 偏向陶瓷面取正；h為板厚度.

為了準(zhǔn)確模擬FGM沿厚度方向漸變的材料屬性， 借鑒復(fù)合材料分層模型的定義方法， 將FGM沿厚度方向劃分足夠多的勻質(zhì)層， 各勻質(zhì)層的材料屬性由共混材料均勻化的TTO模型[9,10]決定. 陶瓷屬于脆性材料， 假設(shè)在變形過程中陶瓷組分材料始終保持彈性， 那么FGM的楊氏模量E(z)、 泊松比v(z)、 屈服強(qiáng)度σy(z)、 唐氏模量Et(z)分別表示為

(2)

式中：l1=(q+Ec)/(q+Em);l2=(q+Ec)/(q+Etm);q為應(yīng)力-應(yīng)變傳遞數(shù)， 且q≥0. 當(dāng)q=0時(shí)有σy=σym， 即一旦金屬材料屈服， 則FGM材料也將屈服. 以下計(jì)算中， 根據(jù)文獻(xiàn)[11]采用TiB/Ti FGM的材料參數(shù)， 選取q=4.5 GPa， 其陶瓷和金屬組分材料的彈塑性材料屬性為

Ec=375 GPa,vc=0.14,

Em=107 GPa,vm=0.34,

Etm=14 GPa,σym=450 MPa.

2 計(jì)算方法

采用有限元程序ABAQUS對(duì)FGM矩形板的彈塑性屈曲問題進(jìn)行數(shù)值模擬， 由于計(jì)入材料的物理非線性和結(jié)構(gòu)變形的幾何非線性效應(yīng)， 故本征值屈曲分析方法無法適用， 因此調(diào)用Riks算法開展計(jì)算工作.

FGM矩形板長為a， 寬為b， 厚度為h， 板兩邊固支， 另兩邊自由， 如圖1(a)所示. 為使板結(jié)構(gòu)具有屈曲構(gòu)型， 必須引入初始缺陷， 本文以偏心位移加載. 單軸面內(nèi)壓縮時(shí)， 首先將B支座水平平移微小初始偏心位移Δ′， 再對(duì)C滑塊施加鉛垂位移Δ， 如圖1(c)所示， 計(jì)算過程中以鉛垂方向的反力作為實(shí)際的面內(nèi)單軸壓縮力.

圖 1 FGM矩形板的幾何尺寸、 邊界條件及軸向加載方式Fig.1 Geometry size, boundary conditions and axial loading mode of FGM rectangular plates

定義FGM板材料屬性時(shí)， 將材料沿厚度方向分為20個(gè)勻質(zhì)疊層， 取各層中面位置的材料屬性， 結(jié)合式(1)和(2)定義該勻質(zhì)層的材料屬性. 表 1 為k=1的情況下部分疊層中面的材料屬性. 根據(jù)模型試算結(jié)果， 當(dāng)疊層數(shù)大于20時(shí)， 計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定， 因此認(rèn)為將FGM板劃分20個(gè)勻質(zhì)層能夠滿足計(jì)算精度的要求.

表 1 部分勻質(zhì)層的彈性性能

FGM板的模型通過三維殼單元S4R來進(jìn)行定義. 為保證網(wǎng)格尺寸的選擇可滿足計(jì)算精度的要求， 同時(shí)初始偏心位移對(duì)數(shù)據(jù)精度不產(chǎn)生影響， 需要在前續(xù)處理時(shí)分析網(wǎng)格尺寸和初始偏心位移對(duì)屈曲臨界荷載的影響. 組分參數(shù)k分別取0.1,1，10的情況下， 取網(wǎng)格尺寸為1～3 mm， 初始偏心位移D′在0.01～5 mm 范圍內(nèi)變化， 圖 2 給出了網(wǎng)格尺寸和初始偏心位移對(duì)屈曲臨界荷載的影響. 結(jié)果表明網(wǎng)格尺寸和初始偏心位移在上述范圍內(nèi)變化時(shí)， 屈曲臨界荷載幾乎不變. 因此認(rèn)為， 當(dāng)網(wǎng)格尺寸小于3.0 mm時(shí)， 計(jì)算具有足夠的精度； 同時(shí)， 當(dāng)D′=5 mm時(shí)， 屈曲臨界荷載對(duì)初始偏心位移的變化不敏感. 以下計(jì)算取用的網(wǎng)格尺寸為2.0 mm， 為模擬完善FGM板， 初始偏心位移取較小值 0.01 mm.

圖 2 網(wǎng)格尺寸和初始偏心位移對(duì)屈曲臨界荷載的影響Fig.2 Effects of mesh size and initial eccentric displacement on the buckling critical load

為驗(yàn)證本文算法的準(zhǔn)確性， 選取相應(yīng)的計(jì)算參數(shù)采用Riks算法進(jìn)行數(shù)值模擬， 文獻(xiàn)[12]得到了四邊簡支勻質(zhì)彈性矩形板的后屈曲平衡路徑的理論解， 如圖 3 所示， 可見兩者是一致的. 注意到， 計(jì)算結(jié)果顯示勻質(zhì)彈性矩形板具有穩(wěn)定的后屈曲平衡路徑， 這與實(shí)際是相符的.[13]

圖 3 計(jì)算結(jié)果的驗(yàn)證Fig.3 Verification of the calculating results

3 結(jié)果分析

根據(jù)屈曲時(shí)材料所處的彈塑性狀態(tài)， 結(jié)構(gòu)屈曲可分為彈性屈曲、 彈塑性屈曲和塑性屈曲3種. 一般來說， 厚度較小時(shí)， 板發(fā)生彈性屈曲， 隨著厚度的增大， 將發(fā)生彈塑性屈曲， 甚至塑性屈曲. 為分析FGM矩形板的彈塑性屈曲問題， 必須首先確定適當(dāng)?shù)陌搴穹秶?

考慮圖 1 的邊界條件， 取k=0.1,a=80 mm,b=40 mm， 板厚h在0.4～4.0 mm的范圍內(nèi)變化. 圖 4 給出不同厚度FGM矩形板的屈曲臨界荷載及屈曲時(shí)塑性應(yīng)變能. 由圖4(a)可知， 屈曲臨界荷載均隨厚度的增大急劇增大； 由圖4(b) 可知， 當(dāng)厚度h<1.5 mm時(shí)， 塑性應(yīng)變能很小， 而當(dāng)h>1.5 mm時(shí)， 塑性應(yīng)變能急劇增大， 說明當(dāng)板厚達(dá)到1.5 mm時(shí)， FGM板將開始發(fā)生彈塑性屈曲， 故h=1.5 mm為彈性屈曲與彈塑性屈曲的分界線.

圖 4 屈曲臨界荷載及屈曲時(shí)塑性應(yīng)變能隨板厚的變化Fig.4 The variation of the buckling critical load and plastic strain energy at the buckling point with the plate thickness

在板厚h分別為0.4,2.0,4.0 mm情況下， 結(jié)構(gòu)屈曲時(shí)陶瓷表面和金屬表面的等效塑性應(yīng)變?nèi)鐖D 5 所示.

圖 5 屈曲時(shí)陶瓷表面(左)和金屬表面(右)的塑性應(yīng)變Fig.5 Plastic strain of ceramic surface (left) and metallic surface (right) at buckling point

當(dāng)h=0.4 mm時(shí)， 金屬表面無塑性應(yīng)變， 陶瓷表面產(chǎn)生了局部塑性應(yīng)變， 但鑒于這一局部塑性應(yīng)變十分微小， 故認(rèn)為板仍處于彈性屈曲狀態(tài)， 而局部的塑性應(yīng)變是由固支邊界產(chǎn)生的； 當(dāng)h=2.0 mm時(shí)， 陶瓷表面的塑性應(yīng)變較大， 而金屬表面仍無塑性應(yīng)變， 同時(shí)結(jié)合圖4(b)， 說明板屈曲時(shí)材料已部分進(jìn)入塑性狀態(tài)， 故FGM板發(fā)生彈塑性屈曲； 當(dāng)厚度繼續(xù)增大到4.0 mm時(shí)， 金屬表面和陶瓷表面整體均出現(xiàn)塑性應(yīng)變， 說明此時(shí)FGM板發(fā)生了塑性屈曲， 因此塑性屈曲范圍為h≥4.0 mm.

綜上所述， FGM板的彈性屈曲范圍為0

組分參數(shù)k是控制FGM組分材料沿厚度方向分布律的關(guān)鍵參數(shù)， 對(duì)FGM矩形板的屈曲臨界荷載具有一定影響. 給定厚度h=2.0 mm， 組分參數(shù)k=0.1～5.0， 計(jì)算得到的屈曲臨界荷載和軸向壓縮位移， 如表 2 所示. 可知隨著組分參數(shù)的增大， 屈曲臨界荷載逐漸減小， 而屈曲時(shí)的軸向壓縮位移增大. 由于FGM中， 陶瓷組分往往具有較金屬組分高的彈性模量， 且其在變形過程中被假定為彈性材料， 而金屬組分則被假定為彈塑性材料， 即FGM的塑性特征本質(zhì)上源于金屬組分材料的彈塑性屬性， 因此， 當(dāng)金屬含量增大的情況下， 屈曲臨界荷載將明顯減小， 而屈曲時(shí)的軸向壓縮位移相應(yīng)有所增大.

表 2 不同組分參數(shù)下屈曲臨界狀態(tài)的結(jié)果

為了比較彈性和彈塑性FGM矩形板在屈曲及后屈曲性能上的差異， 本文取組分參數(shù)k分別為0.1， 1， 10進(jìn)行了數(shù)值模擬. 分析時(shí)， 取厚度h=2.0 mm. 對(duì)于彈性FGM矩形板， 考慮兩種組分材料均為彈性材料. 圖 6 為彈性FGM矩形板和彈塑性FGM矩形板的軸向荷載-位移之間的關(guān)系曲線， 即基本平衡路徑. 可知隨著組分參數(shù)的增大， 無論是彈性FGM板還是彈塑性FGM板， 基本平衡路徑均大大降低. 在組分參數(shù)相同的情況下， 彈性和彈塑性FGM板的前屈曲平衡路徑是一致的， 彈塑性FGM板的屈曲臨界荷載較彈性FGM板小. 同時(shí)彈性FGM板和彈塑性FGM板的后屈曲平衡路徑存在較大差異， 彈性FGM板的荷載隨著軸向位移緩慢增加， 呈現(xiàn)出穩(wěn)定的后屈曲平衡路徑， 而彈塑性FGM板的荷載卻隨著軸向位移的增加而減小然后趨于平穩(wěn)， 呈現(xiàn)出不穩(wěn)定的后屈曲平衡路徑.

圖 6 彈性FGM和彈塑性FGM矩形板的基本平衡路徑Fig.6 Basic equilibrium paths of elastic and elastic-plastic FGM rectangular plates

4 結(jié) 論

本文采用有限元程序ABAQUS對(duì)面內(nèi)單向壓縮荷載下FGM矩形板的屈曲、 后屈曲問題進(jìn)行了數(shù)值模擬， 考慮了初始偏心位移、 板體厚度、 材料組分參數(shù)、 材料塑性的影響， 得到了以下主要結(jié)論：

1) 初始偏心位移在0.01～5 mm范圍內(nèi)變化時(shí)對(duì)FGM矩形板的彈塑性屈曲臨界荷載影響不大. 只要取一定的初始偏心位移， 即可模擬完善(無幾何缺陷)FGM板的屈曲性能；

2) 隨著FGM板厚的增大， 結(jié)構(gòu)將發(fā)生彈塑性屈曲， 甚至是塑性屈曲. 對(duì)于單向面內(nèi)壓縮FGM矩形板， 板厚小于1.5 mm時(shí)將發(fā)生彈性屈曲； 板厚介于1.5～4.0 mm之間將發(fā)生彈塑性屈曲， 板厚大于4.0 mm將發(fā)生塑性屈曲；

3) 對(duì)于彈塑性屈曲問題， 組分參數(shù)的變化對(duì)FGM矩形板的屈曲、 后屈曲性能影響較大. 一般而言， 組分參數(shù)越大， 其陶瓷含量越低， 金屬含量越高， 屈曲臨界荷載隨著組分參數(shù)或金屬含量的增加而逐漸下降， 同時(shí)后屈曲平衡路徑也隨著組分參數(shù)的增加而降低；

4) 比較彈性和彈塑性FGM矩形板的屈曲、 后屈曲性能， 表明兩者前屈曲平衡路徑是一致的. 由于考慮了FGM的材料物理非線性效應(yīng)， 后者相對(duì)于前者的屈曲臨界荷載有所降低， 同時(shí)兩者后屈曲平衡路徑差異較大， 前者具有穩(wěn)定的后屈曲平衡路徑， 而后者具有不穩(wěn)定的后屈曲平衡路徑.

[1] Koizumi M. The concept of FGM[J]. Ceram Trans, 1993, 34(1): 3-10.

[2] 李云凱, 王勇, 鐘家湘. 功能梯度材料[J]. 材料導(dǎo)報(bào)， 2012, 16(10): 9-11.

Li Yunkai, Wang Yong, Zhong Jiaxiang. Functionally graded materials[J]. Materials Review， 2012， 16(10)： 9-11. (in Chinese)

[3] Feldman E, Aboudi J. Buckling analysis of functionally graded plates subjected to uniaxial loading[J]. Compos Struct, 1997, 38(1-4): 29-36.

[4] Javaheri R, Eslami M R. Buckling of functionally graded plates under in-plane compressive loading[J]. Zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik, 2002, 82(4): 277-283.

[5] Yang J, Liew K M, Kitipornchai S. Dynamic stability of laminated FGM plates based on higher-order shear deformation theory[J]. Computational Mechanics, 2004, 33(4): 305-315.

[6] Morimoto T, Tanigawa Y, Kawamura R. Thermal buckling of functionally graded rectangular plates subjected to partial heating[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2006, 48(9): 926-937.

[7] Assaee H, Hajikazemi M, Ovesy H R. The effect of anisotropy on post-buckling behavior of laminated plates using semi-energy finite strip method[J]. Composite Structures, 2012, 94(5): 1880-1885.

[8] Sherafat M H, Ovesy H R, Ghannadpour S A M. Buckling analysis of functionally graded plates under mechanical loading using higher order functionally graded strip[J]. International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2013, 13(6): 1350033.

[9] 陳江. 功能梯度板屈曲有限元分析[D]. 揚(yáng)州： 揚(yáng)州大學(xué), 2015.

[10] 張永強(qiáng). 陶瓷/金屬功能梯度結(jié)構(gòu)彈性及彈塑性穩(wěn)定性分析[D]. 廣州： 華南理工大學(xué), 2016.

[11] 邵玉龍, 段慶林, 李錫夔, 等. 功能梯度材料的二階一致無網(wǎng)格法[J]. 工程力學(xué), 2017, 34(3): 15-21.

Shao Yulong, Duan Qinglin, Li Xikui et al. Quadratically consistent meshfree method for functionally graded materials[J]. Engineering Mechanics, 2017, 34(3): 15-21. (in Chinese)

[12] Tohgo K, Masunari A,Yoshida M. Two-phase composite model taking into account the matricity of microstructure and its application to functionally graded materials[J]. Compos Part A, 2006, 37(3): 1688-1695.

[13] Bocciarelli M, Bolzon G, Maier G. A constitutive model of metal-ceramic functionally graded material behavior: Formulation and parameter identification[J]. Computational Materials Science, 2008, 43(1): 16-26.

[14] Jin Z H, Paulino G H, Jr R. Cohesive fracture modeling of elastic-plastic crack growth in functionally graded materials[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2003, 70(14): 1885-1912.

[15] 沈惠申, 張建武. 單向壓縮簡支矩形板后屈曲攝動(dòng)分析[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)， 1998， 9(8): 741-752.

Shen Huishen, Zhang Jianwu . Perturbation analyses for the postbuckling of simply supported rectangular plates under uniaxial compression[J]. Applied Mathematics and Mechanics， 1998, 9(8): 741-752.

[16] 韓強(qiáng). 彈塑性系統(tǒng)的動(dòng)力屈曲和分叉[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2000.