邵紅

數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)的基本方法之一，“考綱”不僅要求我們掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及其步驟，還要求我們能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題和綜合性問(wèn)題.尤其對(duì)于江蘇高考（理科）附加題中的最后一小題往往離不開(kāi)數(shù)學(xué)歸納法.

那么，什么是數(shù)學(xué)歸納法？

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（n0∈N*）時(shí)命題成立；

（2）（歸納遞推）假設(shè)n=k（k≥n0，k∈N*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法.

那么，數(shù)學(xué)歸納法能幫助我們破解哪些問(wèn)題呢？

一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

2.“歸納——猜想——證明”的主要題型

（1）已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和.

（2）由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問(wèn)題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在.

（3）給出一些簡(jiǎn)單的命題（n=1，2，3，…），猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.

有道是“櫻桃好吃樹(shù)難栽”，數(shù)學(xué)歸納法證題“規(guī)則”不可忘！本文最后總結(jié)出5點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法的“精髓”，也算是給同學(xué)們的“友情提示”吧！

1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要運(yùn)用“歸納假設(shè)”，沒(méi)有“歸納假設(shè)”的證明不是數(shù)學(xué)歸納法.

2.證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是：第二步將式子轉(zhuǎn)化成與歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)相同的形式——湊假設(shè).然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過(guò)恒等變形，得到結(jié)論所需要的形式——湊結(jié)論.

3.與自然數(shù)有關(guān)的不等式，有時(shí)也可用數(shù)學(xué)歸納法證明.在證明過(guò)程中，要運(yùn)用不等式的性質(zhì).

4.因?yàn)樽C明不等式的題型多種多樣，所以不等式證明是一個(gè)難點(diǎn)，在由n=k成立，推導(dǎo)n=k+1不等式也成立時(shí)，過(guò)去講過(guò)的證明不等式的方法在此都可以使用.如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時(shí)還要考證與原不等式等價(jià)的命題.

5.利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題時(shí)，第二步一般先將n=k+1代入原式，然后將式子作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，湊出歸納假設(shè)，這是證題的關(guān)鍵和難點(diǎn).endprint