劉春奇
摘 要:條件概率是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的一節(jié)內(nèi)容,學(xué)生大多在高中階段已經(jīng)接觸過。但是由于高考對于條件概率的要求不高,加之條件概率對于后續(xù)章節(jié)的內(nèi)容學(xué)習(xí)又很重要,認(rèn)真學(xué)習(xí)條件概率還是很有必要的。
關(guān)鍵詞:條件概率;教學(xué)設(shè)計(jì)
在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的選修課上,出現(xiàn)了學(xué)生怠學(xué)、教師怠教、教學(xué)效果差等諸多問題。為了克服這些問題,作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教師,同時也是教學(xué)活動的主導(dǎo),我們進(jìn)行了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)。
首先,條件概率的內(nèi)容屬于概率論范疇。并且就我們目光所及,現(xiàn)行的所有概率論教材都把條件概率安排在第一章,互斥事件之后,而對于學(xué)生而言,互斥事件和之前的內(nèi)容,只有樣本空間和概率的嚴(yán)格定義,學(xué)生不太容易掌握,此外再無難點(diǎn);其次,學(xué)生在學(xué)習(xí)條件概率的時候,大多剛剛開學(xué),對于學(xué)習(xí)的熱情還比較高漲;最后,在后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中,比如全概率公式和貝葉斯公式的推導(dǎo)、指數(shù)分布的無記憶性的證明、條件分布的計(jì)算,都會再次利用到條件概率的定義和計(jì)算方法。有鑒于此,我們認(rèn)為,設(shè)計(jì)有利于學(xué)生理解和掌握的教學(xué)思路和教學(xué)手段,是有助于學(xué)生的條件概率的學(xué)習(xí)的;同時,學(xué)生能夠熟練掌握并應(yīng)用條件概率的相關(guān)知識進(jìn)行解題,是完全有可能的。
條件概率的內(nèi)容多被安排在互斥事件的內(nèi)容以后,學(xué)生在高中階段已經(jīng)接觸過互斥事件的定義和性質(zhì)甚至十分清楚互斥事件與對立事件的區(qū)別,況且互斥事件的理解也并不困難。為此,我們從互斥事件入手,先利用教材上的引例介紹條件概率的概念,而后考慮條件概率的掌握方法。
例1.[1]將一枚硬幣拋擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反面的情況。設(shè)事件A為“至少有一次為H”,事件B為“兩次擲出同一面”?,F(xiàn)在來求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。
這里,樣本空間為S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}。易知此屬古典概型問題。書籍事件A已發(fā)生,有了這一信息,知道TT不可能發(fā)生,即知試驗(yàn)所有可能結(jié)果所成的集合就是A。A中共有3個元素,其中HH屬于B。于是,在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率(記為P(B|A))為
P(B|A)=1/3。
由此可以引出條件概率的定義,即
定義條件概率設(shè)A,B是兩個事件,P(A)>0,稱P(B|A)=P(AB)/P(A)為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。
假設(shè)兩個事件A與B互斥,亦即A與B不能同時發(fā)生,用概率的語言描述,也就是A與B同時發(fā)生的概率為0?,F(xiàn)在我們考慮,在事件A發(fā)生的條件之下,B發(fā)生的概率,即求P(B|A)。而P(B|A)=P(AB)/P(A),由于AB同時發(fā)生的概率為0,所以P(B|A)=0。
通過這段講解,可以讓學(xué)生認(rèn)識到:第一,如果兩個事件A與B互斥,則條件概率P(B|A)一定為0,當(dāng)然了,P(B|A)也等于0;第二,條件概率與兩個事件的積事件的概率有著密切的關(guān)系,那么怎么理解條件概率與兩個事件的積事件的概率之間的區(qū)別呢?
兩個事件的積事件發(fā)生的概率P(A∩B)與條件概率P(B|A)的區(qū)別。事實(shí)上,P(A∩B)≤P(B|A);此外,P(A∩B)也可以看成是條件概率的一種特殊情況,即P(A∩B)=P(AB)/P(Ω),其中Ω表示必然事件,即P(Ω)=1。
考慮到高校大學(xué)生吸煙問題的普遍性,我們設(shè)計(jì)了這樣的例題,使學(xué)生在練習(xí)條件概率性質(zhì)的同時,從一定程度上認(rèn)識到吸煙的危害。
例2.據(jù)美國的一份資料報導(dǎo),在美國總的來說患肺癌的概率約為0.1%,在人群中有20%是吸煙者,他們患肺癌的概率約為0.4%,求吸煙者和不吸煙者患肺癌的概率分別是多少?
解:記C為事件“患肺癌”,A為事件“吸煙”,則P(C)=0.001,P(C)=0.20,則P(C|A)=0.004,P(C|-A)即為不吸煙者患肺癌的概率。
由全概率公式,
P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|-A)P(-A),
即0.001=0.004*0.20+P(C|-A)*0.80。
所以P(C|-A)=0.00025。
這樣,我們可以看到,吸煙者患肺癌的概率是0.004,不吸煙者患肺癌的概率是0.00025,也就是說,吸煙者患肺癌的概率是不吸煙者的16倍!
乘法定理
由于P(A|B)=P(AB)/P(B),所以P(AB)=P(B)P(A|B),而單獨(dú)考慮這個式子,它又表示事件A和B同時發(fā)生的概率等于事件B發(fā)生的概率乘以在事件B發(fā)生的條件之下事件A發(fā)生的概率,這就是乘法定理或者乘法公式。
全概率公式和貝葉斯公式
如果考慮兩個事件A和B,則事件A發(fā)生的同時,事件B可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,也就是說事件A發(fā)生的概率可以作如下表示:
P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C),
這里事件C是事件B的對立事件,即P(B)+P(C)=1,這就是全概率公式。
在全概率公式的基礎(chǔ)上,我們可以推導(dǎo)出著名的后驗(yàn)概率公式,即貝葉斯公式。學(xué)生普遍對于貝葉斯公式的理解存在困難,這里選取了乘地鐵還是汽車的習(xí)題,既貼近生活,又能讓學(xué)生理解貝葉斯公式的后驗(yàn)性質(zhì),即,在此人已經(jīng)到家以后,考慮他乘地鐵還是汽車的概率。
例3.某人下午5:00下班,他所積累的資料表明此人到家的時間可分為5:35—5:39,5:40—5:44,5:45—5:49,5:50—5:54,遲于5:54六個時間段,并且此人在六個時間段內(nèi)乘坐地鐵回家的概率分別是0.1,0.25,0.45,0.15,0.05,乘坐汽車回家的概率分別是0.3,0.35,0.2,0.1,0.05。某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車,結(jié)果他是5:47到家的。試求他是乘地鐵回家的概率。
解:記M為事件“此人乘地鐵回家”,-M為事件“此人乘汽車回家”。
A為事件“此人5:47到家”,則P(M|A)即為所求。
由條件概率的定義,
P(M|A)=P(MA)/P(A),
而P(A|M)P(M)=0.45*0.5=0.225,
由全概率公式,
P(A)=P(A|M)P(M)+P(A|-M)P(-M)=0.45*0.5+0.2*0.5=0.325,
所以,
P(M|A)=P(MA)/P(A)=9/13。
另外一個與貝葉斯公式相關(guān)的例題。
例4.根據(jù)以往的臨床記錄,某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果:若以A表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”,以C表示事件“被診斷者患有癌癥”,則有P(A|C)0.95,P(-A|-C)=0.9,現(xiàn)在對自然人群進(jìn)行普查,設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005,即P(C)=0.005,試求P(C|A)。
解:P(C|A)=P(AC)/P(A)
=P(A|C)P(C)/(P(A|C)P(C)+P(A|-C)P(-C))
=0.95*0.005/(0.95*0.005+0.05*0.995)
=0.087
這道題目本身并不難,但是題目所反映的結(jié)果卻很驚人:試驗(yàn)結(jié)果為陽性,被診斷者患有癌癥的概率僅為0.087!
結(jié)語:條件概率的核心是由于條件的附加使得樣本空間范圍縮小,從而所求事件概率發(fā)生變化。所以本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)就是在概率的背景下學(xué)習(xí)理解條件概率概念的本質(zhì),會運(yùn)用條件概率的定義式求各種概率模型下的條件概率,體會公式的一般性。
參考文獻(xiàn)
[1]浙江大學(xué)盛驟,謝式千,潘承毅,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2015.