劉志偉 范 軼

(電子科技大學(xué)英才實(shí)驗(yàn)學(xué)院 四川 成都 611731)

王瑩媛

(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院 四川 成都 611731)

吳明和 鄔劭軼 滕保華

(電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院 四川 成都 611731)

1 引言

光柵作為重要的分光元件和光譜儀器的核心元件，在計(jì)量學(xué)、天文學(xué)、集成光學(xué)、光通信、原子能等方面具有廣泛的應(yīng)用.達(dá)曼光柵就是一種利用空間坐標(biāo)調(diào)制的位相光柵，通過特殊的孔徑函數(shù)的衍射光柵產(chǎn)生一維或者二維的均勻光束，從而實(shí)現(xiàn)等強(qiáng)度的陣列光束[1].通?？梢杂脵C(jī)械刻劃的方法制作圓環(huán)型的達(dá)曼光柵，來實(shí)現(xiàn)對(duì)稱的等強(qiáng)度光強(qiáng)分布的圓環(huán)型衍射場(chǎng)[2]，從而在圖像編碼、全息照相以及X光層析成像等領(lǐng)域，起著不可或缺的重要作用.但是與直縫光柵相比，圓環(huán)型光柵的制作難度很大，因此圓環(huán)型達(dá)曼光柵遠(yuǎn)沒有像直縫光柵那樣得到深入的研究[3～6].

本文首先介紹圓環(huán)型達(dá)曼光柵的基本性質(zhì)，然后設(shè)計(jì)一種三圓環(huán)型達(dá)曼光柵，并解析推導(dǎo)該圓環(huán)型達(dá)曼光柵的光強(qiáng)分布，從而根據(jù)相關(guān)參數(shù)分析產(chǎn)生缺級(jí)現(xiàn)象的條件.

2 圓環(huán)型達(dá)曼光柵的基本性質(zhì)

通常圓環(huán)型達(dá)曼光柵根據(jù)下列4個(gè)參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)[5]：

(1)圓環(huán)型達(dá)曼光柵的階，即衍射面上等強(qiáng)度的衍射光環(huán)的環(huán)數(shù).

(2)圓環(huán)型達(dá)曼光柵的環(huán)數(shù)，即光柵相位和(或)幅度改變的環(huán)數(shù).

(3)圓環(huán)型達(dá)曼光柵的衍射效率，即

其中Ii是均勻環(huán)形衍射場(chǎng)第i環(huán)的光強(qiáng)峰值，Itotal為所有衍射光強(qiáng)的總和.

(4)圓環(huán)型達(dá)曼光柵的均勻度，即

其中Iav為平均光強(qiáng)，定義為

可以看出，對(duì)圓環(huán)型達(dá)曼光柵比較重要的兩個(gè)參數(shù)是圓環(huán)型達(dá)曼光柵的階與環(huán)數(shù)，因?yàn)樗鼈兪菦Q定在衍射面上產(chǎn)生若干等強(qiáng)度衍射光環(huán)的關(guān)鍵參數(shù).實(shí)際上，圓環(huán)型達(dá)曼光柵可以產(chǎn)生若干等強(qiáng)度的衍射光環(huán)，就是設(shè)計(jì)光柵的階與環(huán)數(shù)導(dǎo)致光強(qiáng)重新分布的結(jié)果.與此同時(shí)，圓環(huán)型達(dá)曼光柵對(duì)光強(qiáng)重新分布的另一個(gè)結(jié)果就是可能產(chǎn)生明顯的缺級(jí)現(xiàn)象.缺級(jí)現(xiàn)象同樣是光學(xué)研究領(lǐng)域中的一個(gè)重要現(xiàn)象，比如圓環(huán)型達(dá)曼光柵在光學(xué)圖像編碼上的重要應(yīng)用[3]，就是利用了其中的缺級(jí)現(xiàn)象.

3 三圓環(huán)型達(dá)曼光柵的設(shè)計(jì)及光強(qiáng)公式

為了方便起見，本文將圓環(huán)型達(dá)曼光柵的環(huán)數(shù)限定為三環(huán)，通過調(diào)整參數(shù)即可在不同的衍射環(huán)處產(chǎn)生缺級(jí)現(xiàn)象.設(shè)達(dá)曼光柵每個(gè)環(huán)的寬度d全部相同，但中間圓環(huán)的位置可變，即可從靠近最外面圓環(huán)向內(nèi)移動(dòng)，不透光為2個(gè)環(huán)，透光為3個(gè)環(huán).按照歸一化計(jì)算，最大外圍半徑為1.由于每個(gè)環(huán)的寬度已經(jīng)確定，現(xiàn)只需確定外圍不透光的環(huán)的寬度即可以確定該三圓環(huán)光柵，設(shè)其為γ.三圓環(huán)達(dá)曼光柵的平面示意圖如圖1(a)所示，入射面光強(qiáng)度隨半徑變化的一維圖如圖1(b)所示，特定參數(shù)下的衍射圖案如圖1(c)所示，可以看出存在明顯的缺級(jí)現(xiàn)象.

圖1 三環(huán)達(dá)曼光柵

對(duì)于圓環(huán)光柵，其衍射場(chǎng)的振幅公式為[5]

(1)

這里J1(p)為一階貝塞爾函數(shù)，p為衍射場(chǎng)面上歸一化半徑，即

表示在透明介質(zhì)上形成的多個(gè)同心環(huán)帶的位相分布,而ρ為衍射面上實(shí)際半徑，f為透鏡的焦距，R則是圓環(huán)達(dá)曼光柵的外半徑，λ為波長(zhǎng).φ0是環(huán)帶的二值位相，取0，π.{rj}是圓環(huán)達(dá)曼光柵歸一化的半徑參數(shù)，并且r0=0，rN=1.通常通過改變{rj}，以產(chǎn)生需要的衍射場(chǎng).

于是可以得到本文設(shè)計(jì)的三圓環(huán)型達(dá)曼光柵的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射場(chǎng)振幅公式

(2)

考慮到r1=d，r2=1-2d-γ，r3=1-d-γ，r4=1-d，最終獲得三圓環(huán)型達(dá)曼光柵的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射場(chǎng)的振幅和光強(qiáng)為

U(p,d,γ) =

(3)

I=U2(p,d,γ)

(4)

4 各參數(shù)對(duì)三圓環(huán)型達(dá)曼光柵衍射的影響及缺級(jí)

根據(jù)式(4)可以直接計(jì)算參數(shù)(γ，d)對(duì)衍射光強(qiáng)度的影響.在分析圓環(huán)型達(dá)曼光柵時(shí)，以前的工作中多是給出了數(shù)值解[2]，但是本文給出的式(4)是一個(gè)解析表達(dá)式，將使對(duì)衍射光強(qiáng)的分析更加方便和具體.

圖2給出了歸一化條件下不同γ與d值的光強(qiáng)分布.

圖2 半徑方向上的衍射光強(qiáng)度隨γ與d的變化情況

通過分析圖像可看出，隨著γ的增大，光能量逐漸向外分布，即通過控制γ的大小，可使光強(qiáng)分布達(dá)到所需要的衍射場(chǎng)分布；隨著縫寬d的增大，能量集中到零級(jí)，衍射效果逐漸減弱；若縫寬d增大但同時(shí)γ減小，則逐漸近似為一個(gè)圓孔衍射，即此時(shí)主要能量將集中在零級(jí)，這與圓孔衍射的結(jié)論是相同的.

由于衍射光強(qiáng)分布隨著d與γ的變化而改變，所以對(duì)適當(dāng)?shù)膮?shù)(γ，d)，可以出現(xiàn)在光強(qiáng)分布中的缺級(jí)現(xiàn)象.比如圖3(a)是控制d不變，通過改變?chǔ)玫玫降墓鈴?qiáng)分布圖.可以看出當(dāng)γ為0.18時(shí)，第3級(jí)是一條亮環(huán)，而當(dāng)γ變?yōu)?.12時(shí)，則在第3級(jí)為明顯的缺級(jí).而圖3(b)為控制γ不變，通過改變縫寬d得到的光強(qiáng)分布圖.可以看出，當(dāng)d從0.03變化至0.2時(shí)，第3級(jí)衍射圖案從亮環(huán)變化至缺級(jí)再變化為亮環(huán)，即在d= 0.14時(shí)第3級(jí)出現(xiàn)明顯的缺級(jí).

圖3 參數(shù)γ與d變化時(shí)，顯示缺級(jí)現(xiàn)象的衍射光強(qiáng)度圖

5 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種三圓環(huán)型達(dá)曼光柵，得出了該三圓環(huán)型達(dá)曼光柵的衍射場(chǎng)公式，從而探究了三圓環(huán)型達(dá)曼光柵的衍射場(chǎng)強(qiáng)隨參數(shù)變化而重新分布的情況，并分析了其中的缺級(jí)現(xiàn)象.本文的解析公式和數(shù)值計(jì)算表明，圓環(huán)達(dá)曼光柵不僅可以使衍射光強(qiáng)重新分布，而且能在某些位置產(chǎn)生明顯的缺級(jí)衍射現(xiàn)象，從而使學(xué)生對(duì)波動(dòng)光學(xué)中光柵及光柵衍射有了更深入的認(rèn)識(shí).

1 J. Turunen and F. Wyrowski, eds.. Diffractive Optics for Industrial and Commercial Applications. Berlin: Akademia-Verlag, 1997:165～185

2 Zhou Changhe,JiaJia,Liu Liren. Circular Dammann grating. Optics Letters,2003:2174～2176

3 KBDoh，K Dobson，TC Poon，PS Chung. Optical image coding with a circular Dammann grating.Applied Optics, 2009, 48(1):134

4 趙帥,鐘寶漩.圓環(huán)達(dá)曼光柵.激光與光電子學(xué)進(jìn)展. 2007, 44(2):24～24

5 賈佳,周常河,劉立人.圓環(huán)形達(dá)曼光柵. 激光與光電子學(xué)進(jìn)展, 2003, 40(12):41～45

6 楊沁玉，丁可，陸愛江，等. 大學(xué)物理中關(guān)于光的干涉、衍射及光柵教學(xué)問題的討論. 物理通報(bào),2010(8):10～12