王 歌 張藝馨 馮 杰
(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)
電磁學(xué)中的靜電場(chǎng)、穩(wěn)恒電場(chǎng)和渦旋電場(chǎng)既具有電場(chǎng)的共性又有本質(zhì)區(qū)別.靜電場(chǎng)是由相對(duì)于慣性系靜止的電荷在周?chē)臻g激發(fā)的電場(chǎng),由其定義可知,靜電場(chǎng)是由靜止電荷激發(fā)的.穩(wěn)恒電場(chǎng)與恒定電流相伴,它是不隨時(shí)間改變的電荷分布產(chǎn)生的不隨時(shí)間改變的電場(chǎng).而渦旋電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)在其周?chē)ぐl(fā)的一種電場(chǎng),并非是由電荷產(chǎn)生的.為了進(jìn)一步理解這3種容易混淆的電場(chǎng),下面具體介紹它們的主要內(nèi)容及相互聯(lián)系和區(qū)別.
靜電場(chǎng)源于1個(gè)定律,通過(guò)1個(gè)核心,可以演繹出3個(gè)定理,這3個(gè)定理是微電子學(xué)的理論基礎(chǔ)之一.
2.1.1 1個(gè)定律:庫(kù)侖定律
庫(kù)侖定律:1875年英國(guó)物理學(xué)家?guī)靵鰪膶?shí)驗(yàn)上總結(jié)出兩個(gè)點(diǎn)電荷之間相互作用力的規(guī)律,后人稱(chēng)之為庫(kù)侖定律,它表明真空中帶電荷量為q1和q2的兩個(gè)點(diǎn)電荷之間作用力的大小與它們所帶電荷量q1和q2的乘積成正比,與它們之間的距離r的平方成反比;作用力的方向沿著它們的連線;同號(hào)電荷相斥,異號(hào)電荷相吸.其數(shù)學(xué)表達(dá)式為
式中q1和q2分別表示兩個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量,r為兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的距離,k是比例系數(shù).為了使表達(dá)式既能表示力的大小又能表示力的方向,同時(shí)為了使今后由它推出的電學(xué)公式簡(jiǎn)單化,因此,通常令
則
式中k=9.0×109N·m2/C2,ε0為真空的介電常數(shù)(或稱(chēng)為電容率),這樣庫(kù)侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式可稱(chēng)為庫(kù)侖定律的有理化形式.庫(kù)侖定律的表達(dá)式寫(xiě)成矢量式即為
式中r0表示施力電荷指向受力電荷方向的單位矢量.
2.1.2 3個(gè)定理:靜電場(chǎng)的環(huán)路定理、高斯定理、疊加原理
定理一:靜電場(chǎng)的環(huán)路定理——說(shuō)明靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)和保守場(chǎng).
如果試驗(yàn)電荷在電場(chǎng)中經(jīng)過(guò)任一閉合曲線又回到原來(lái)的位置,這樣可得出電場(chǎng)力做的功為零,即
q0∮lE·dl=0
因?yàn)樵囼?yàn)電荷q0≠0,所以
∮lE·dl=0
這說(shuō)明,靜電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合環(huán)路的線積分(稱(chēng)作環(huán)量)恒等于零,這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為靜電場(chǎng)的環(huán)路定理.
定理二:靜電場(chǎng)的高斯定理——說(shuō)明靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)或散度場(chǎng).
定理三:靜電場(chǎng)的疊加原理——說(shuō)明靜電場(chǎng)可線性疊加,有矢量的性質(zhì).
點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度
式中r0是由電場(chǎng)源電荷q指向試驗(yàn)電荷q0的單位矢量.當(dāng)q>0時(shí),E的方向與r0相同;當(dāng)q<0時(shí),E的方向與r0相反.
點(diǎn)電荷系q1,q2,q3,…
點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)強(qiáng)度為
即點(diǎn)電荷系在某點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和,這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理.
2.1.3 1個(gè)核心:靜電場(chǎng)的強(qiáng)度
穩(wěn)恒電場(chǎng)源于電荷守恒定律,用歐姆定律加以描述,通過(guò)2個(gè)定理,可以演繹出2個(gè)原理,同樣是微電子學(xué)的理論基礎(chǔ)之二.
2.2.1 3個(gè)定律:電荷守恒定律、歐姆定律、基爾霍夫定律
定律一:電荷守恒定律
大量實(shí)驗(yàn)表明:電荷既不能被創(chuàng)造,也不能被消滅,它們只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體,或從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分,在任何物理過(guò)程中電荷的代數(shù)和總是守恒的,這個(gè)結(jié)論叫電荷守恒定律.它不僅在一切宏觀過(guò)程中成立,而且在一切微觀過(guò)程中也是成立的,它是物理學(xué)中的普適守恒定律之一.
電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式:設(shè)閉合曲面內(nèi)的電荷量為q,則有
該式稱(chēng)為電流連續(xù)性方程.對(duì)于穩(wěn)恒電流,由于I的大小和方向都不隨時(shí)間發(fā)生變化,這樣形成電流的電場(chǎng)就必須是一個(gè)穩(wěn)定場(chǎng),產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷就必須是一個(gè)穩(wěn)定的分布,這樣對(duì)于任一閉合曲面S,必有
∮Sj·dS=0
此即為穩(wěn)恒電流的連續(xù)性方程,也叫電流的穩(wěn)恒條件.它是電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式.
定律二:歐姆定律
在通有電流I的導(dǎo)體中,沿電流線方向任取一個(gè)小圓柱體,通過(guò)的電流為dI,長(zhǎng)度為dl,橫截面積為dS,使圓柱體的軸線和它所在處的電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向一致,面積dS垂直于E.沿電場(chǎng)方向圓柱體兩端的電勢(shì)為U和U+dU,圓柱體電阻為R,電流密度矢量為j.則
而
所以
即
j=γE
稱(chēng)作歐姆定律的微分形式.它表明導(dǎo)體中任意一點(diǎn)的電流密度與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度成正比,且同方向.
定律三:基爾霍夫定律
基爾霍夫第一定律,即節(jié)點(diǎn)電流定律
∑Ii=0
其表述為:在任一節(jié)點(diǎn)處的電流之和為零,或者說(shuō)流出節(jié)點(diǎn)的電流(一般規(guī)定流出為正)等于流入節(jié)點(diǎn)的電流(流入為負(fù)).
基爾霍夫第二定律,即回路電壓定律
∑ε+∑IR=0
其表述為:對(duì)于電路中的任一回路,沿回路繞行方向的各段電壓的代數(shù)和等于零.或者說(shuō)電勢(shì)增高之量等于電勢(shì)降落之量.
2.2.2 2個(gè)原理:電流源原理、電壓源原理
原理一:電流源原理
電流源原理,其實(shí)就是把一個(gè)受控元件或器件串聯(lián)在電流回路中,通過(guò)采樣和負(fù)反饋電路使這個(gè)元件或器件的導(dǎo)通電阻受輸出電流的實(shí)時(shí)控制,當(dāng)因負(fù)載電阻減小或回路電壓增大而發(fā)生回路電流增大的趨勢(shì)時(shí),這個(gè)元件或器件的導(dǎo)通電阻就增大,當(dāng)因負(fù)載電阻增大或回路電壓減小而發(fā)生回路電流減小的趨勢(shì)時(shí),這個(gè)元件或器件的導(dǎo)通電阻就減小,以維持回路電流的穩(wěn)定.
原理二:電壓源原理
電壓源原理,其實(shí)就是把一個(gè)受控元件或器件并聯(lián)在電流回路中,采集輸出電壓反饋到控制端,控制端根據(jù)反饋的電壓來(lái)調(diào)節(jié)輸出電壓保證輸出電壓穩(wěn)定.
這兩個(gè)原理是微電子學(xué)的理論基礎(chǔ).
2.3.1 2個(gè)定律:畢奧-薩伐爾定律、法拉第電磁感應(yīng)定律
定律一:畢奧-薩伐爾定律
電流周?chē)写艌?chǎng),穩(wěn)恒電流的磁場(chǎng)是穩(wěn)恒磁場(chǎng).如圖1所示,任意形狀的導(dǎo)線L,通有電流I,在該導(dǎo)線上任意選取一線元dl,在該導(dǎo)線上任意電流元Idl,產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為dB.畢奧-薩伐爾定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為
圖1 電流元及其產(chǎn)生的磁場(chǎng)
定律二:法拉第電磁感應(yīng)定律
不論任何原因使通過(guò)回路面積的磁通量發(fā)生變化時(shí),回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通量對(duì)時(shí)間的變化率成正比,這就是法拉第電磁感應(yīng)定律,其表達(dá)式為
式中負(fù)號(hào)表明感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向和磁通量變化率之間的關(guān)系,是楞次定律的數(shù)學(xué)表示.
2.3.2 2個(gè)假說(shuō)
假說(shuō)1:變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生變化的電場(chǎng).
假說(shuō)2:為了使安培環(huán)路定理成立,必須假定變化的(渦旋)電場(chǎng)與一定的磁場(chǎng)相聯(lián)系,即變化的電場(chǎng)可以產(chǎn)生變化的磁場(chǎng).
(1)它們都是電場(chǎng),是物質(zhì)的一種客觀存在形式,都儲(chǔ)存著能量;
(2)它們對(duì)處于其中的電荷都有電場(chǎng)力的作用;
(3)在這3種電場(chǎng)中移動(dòng)電荷時(shí)相應(yīng)的電場(chǎng)力一般都要做功.
靜電場(chǎng)的場(chǎng)源電荷是靜止電荷,穩(wěn)恒電場(chǎng)的場(chǎng)源電荷是空間分布不隨時(shí)間變化的電荷, 它們都屬于有源場(chǎng),電場(chǎng)線始于正電荷而止于負(fù)電荷,在無(wú)電荷處不中斷,是不閉合的.對(duì)于外電路中的穩(wěn)恒電場(chǎng),其電場(chǎng)線從電源正極指向負(fù)極,同時(shí)根據(jù)歐姆定律的微分方程可知,電場(chǎng)線和電流線相平行, 簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái),可理解為沿均勻?qū)Ь€的軸線方向,雖然有分析認(rèn)為導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)存在徑向分量,但其值較小,通??珊雎?渦旋電場(chǎng)由變化的磁場(chǎng)激發(fā),沒(méi)有場(chǎng)源電荷,屬于無(wú)源場(chǎng),它的電場(chǎng)線應(yīng)是沒(méi)有起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲線,是閉合的.這是渦旋電場(chǎng)性質(zhì)和前兩種電場(chǎng)性質(zhì)的區(qū)別之一.
靜電場(chǎng)要對(duì)放入其中的電荷施加靜電場(chǎng)力,靜電場(chǎng)力是保守力,根據(jù)保守力的特點(diǎn),電荷沿閉合路徑移動(dòng)一周時(shí)靜電場(chǎng)力的功恒為零.可見(jiàn),靜電場(chǎng)是勢(shì)場(chǎng)或稱(chēng)為無(wú)旋場(chǎng).由恒定條件可知,在穩(wěn)恒電流場(chǎng)中選定任一閉合曲面S,該曲面內(nèi)各點(diǎn)的電荷密度都不隨時(shí)間變化,這和靜止電荷在閉合曲面S內(nèi)按同樣電荷分布時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)情況是相同的.因此,穩(wěn)恒電場(chǎng)和靜電場(chǎng)具有相同的性質(zhì),穩(wěn)恒電場(chǎng)也是勢(shì)場(chǎng),基爾霍夫第二方程正是由穩(wěn)恒電場(chǎng)的環(huán)路定理推導(dǎo)出來(lái)的.感生電場(chǎng)力對(duì)沿閉合電路移動(dòng)一周的單位電荷做功等于感生電動(dòng)勢(shì),由法拉第定律可知感生電場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流不可能都為零,否則不會(huì)在實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)感生電動(dòng)勢(shì)存在的事實(shí).可以看出感生電場(chǎng)不是勢(shì)場(chǎng),而是渦旋場(chǎng).這是渦旋電場(chǎng)性質(zhì)和前兩種電場(chǎng)性質(zhì)的另一區(qū)別.
通過(guò)對(duì)電磁學(xué)中的3種電場(chǎng),靜電場(chǎng)、穩(wěn)恒電場(chǎng)和渦旋電場(chǎng)的核心及其規(guī)律的歸納、對(duì)比和總結(jié),分析了它們的共性和個(gè)性,不僅強(qiáng)化了我們對(duì)3種電場(chǎng)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用,而且擴(kuò)大了3種電場(chǎng)與其他相關(guān)物理知識(shí)的聯(lián)系,同時(shí)也鍛煉了學(xué)生的物理思維能力,無(wú)論是對(duì)中學(xué)物理的教與學(xué)或是對(duì)大學(xué)生電磁學(xué)的學(xué)習(xí),都有事半功倍的學(xué)習(xí)效果.
1 馮杰. 大學(xué)物理專(zhuān)題研究. 北京:北京大學(xué)出版社,2011
2 張三慧.大學(xué)物理學(xué). 北京: 清華大學(xué)出版社,2000
3 溫耐,王偉鋒. 類(lèi)比法在電磁學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用. 物理通報(bào), 2013(6):11~12
4 尹彩流. 大學(xué)物理電磁學(xué)教學(xué)中類(lèi)比法的應(yīng)用. 廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,17(2):98~100