王 歌 張藝馨 馮 杰

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

1 引言

電磁學(xué)中的靜電場(chǎng)、穩(wěn)恒電場(chǎng)和渦旋電場(chǎng)既具有電場(chǎng)的共性又有本質(zhì)區(qū)別.靜電場(chǎng)是由相對(duì)于慣性系靜止的電荷在周?chē)臻g激發(fā)的電場(chǎng)，由其定義可知，靜電場(chǎng)是由靜止電荷激發(fā)的.穩(wěn)恒電場(chǎng)與恒定電流相伴，它是不隨時(shí)間改變的電荷分布產(chǎn)生的不隨時(shí)間改變的電場(chǎng).而渦旋電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)在其周?chē)ぐl(fā)的一種電場(chǎng)，并非是由電荷產(chǎn)生的.為了進(jìn)一步理解這3種容易混淆的電場(chǎng)，下面具體介紹它們的主要內(nèi)容及相互聯(lián)系和區(qū)別.

2 電磁學(xué)理論中的3種電場(chǎng)

2.1 靜電場(chǎng)

靜電場(chǎng)源于1個(gè)定律，通過(guò)1個(gè)核心，可以演繹出3個(gè)定理，這3個(gè)定理是微電子學(xué)的理論基礎(chǔ)之一.

2.1.1 1個(gè)定律：庫(kù)侖定律

庫(kù)侖定律：1875年英國(guó)物理學(xué)家?guī)靵鰪膶?shí)驗(yàn)上總結(jié)出兩個(gè)點(diǎn)電荷之間相互作用力的規(guī)律，后人稱(chēng)之為庫(kù)侖定律，它表明真空中帶電荷量為q1和q2的兩個(gè)點(diǎn)電荷之間作用力的大小與它們所帶電荷量q1和q2的乘積成正比，與它們之間的距離r的平方成反比；作用力的方向沿著它們的連線；同號(hào)電荷相斥，異號(hào)電荷相吸.其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中q1和q2分別表示兩個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量，r為兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的距離，k是比例系數(shù).為了使表達(dá)式既能表示力的大小又能表示力的方向，同時(shí)為了使今后由它推出的電學(xué)公式簡(jiǎn)單化，因此,通常令

則

式中k=9.0×109N·m2/C2，ε0為真空的介電常數(shù)(或稱(chēng)為電容率)，這樣庫(kù)侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式可稱(chēng)為庫(kù)侖定律的有理化形式.庫(kù)侖定律的表達(dá)式寫(xiě)成矢量式即為

式中r0表示施力電荷指向受力電荷方向的單位矢量.

2.1.2 3個(gè)定理：靜電場(chǎng)的環(huán)路定理、高斯定理、疊加原理

定理一：靜電場(chǎng)的環(huán)路定理——說(shuō)明靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)和保守場(chǎng).

如果試驗(yàn)電荷在電場(chǎng)中經(jīng)過(guò)任一閉合曲線又回到原來(lái)的位置，這樣可得出電場(chǎng)力做的功為零，即

q0∮lE·dl=0

因?yàn)樵囼?yàn)電荷q0≠0，所以

∮lE·dl=0

這說(shuō)明，靜電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合環(huán)路的線積分(稱(chēng)作環(huán)量)恒等于零，這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為靜電場(chǎng)的環(huán)路定理.

定理二：靜電場(chǎng)的高斯定理——說(shuō)明靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)或散度場(chǎng).

定理三：靜電場(chǎng)的疊加原理——說(shuō)明靜電場(chǎng)可線性疊加,有矢量的性質(zhì).

點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度

式中r0是由電場(chǎng)源電荷q指向試驗(yàn)電荷q0的單位矢量.當(dāng)q>0時(shí)，E的方向與r0相同；當(dāng)q<0時(shí)，E的方向與r0相反.

點(diǎn)電荷系q1，q2，q3,…

點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)強(qiáng)度為

即點(diǎn)電荷系在某點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和，這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理.

2.1.3 1個(gè)核心：靜電場(chǎng)的強(qiáng)度

2.2 穩(wěn)恒電場(chǎng)

穩(wěn)恒電場(chǎng)源于電荷守恒定律，用歐姆定律加以描述，通過(guò)2個(gè)定理，可以演繹出2個(gè)原理，同樣是微電子學(xué)的理論基礎(chǔ)之二.

2.2.1 3個(gè)定律：電荷守恒定律、歐姆定律、基爾霍夫定律

定律一：電荷守恒定律

大量實(shí)驗(yàn)表明：電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，它們只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，或從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，在任何物理過(guò)程中電荷的代數(shù)和總是守恒的，這個(gè)結(jié)論叫電荷守恒定律.它不僅在一切宏觀過(guò)程中成立，而且在一切微觀過(guò)程中也是成立的，它是物理學(xué)中的普適守恒定律之一.

電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)閉合曲面內(nèi)的電荷量為q，則有

該式稱(chēng)為電流連續(xù)性方程.對(duì)于穩(wěn)恒電流，由于I的大小和方向都不隨時(shí)間發(fā)生變化，這樣形成電流的電場(chǎng)就必須是一個(gè)穩(wěn)定場(chǎng)，產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷就必須是一個(gè)穩(wěn)定的分布，這樣對(duì)于任一閉合曲面S，必有

∮Sj·dS=0

此即為穩(wěn)恒電流的連續(xù)性方程，也叫電流的穩(wěn)恒條件.它是電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

定律二：歐姆定律

在通有電流I的導(dǎo)體中，沿電流線方向任取一個(gè)小圓柱體，通過(guò)的電流為dI，長(zhǎng)度為dl，橫截面積為dS，使圓柱體的軸線和它所在處的電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向一致，面積dS垂直于E.沿電場(chǎng)方向圓柱體兩端的電勢(shì)為U和U+dU，圓柱體電阻為R，電流密度矢量為j.則

而

所以

即

j=γE

稱(chēng)作歐姆定律的微分形式.它表明導(dǎo)體中任意一點(diǎn)的電流密度與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，且同方向.

定律三：基爾霍夫定律

基爾霍夫第一定律，即節(jié)點(diǎn)電流定律

∑Ii=0

其表述為：在任一節(jié)點(diǎn)處的電流之和為零，或者說(shuō)流出節(jié)點(diǎn)的電流(一般規(guī)定流出為正)等于流入節(jié)點(diǎn)的電流(流入為負(fù)).

基爾霍夫第二定律，即回路電壓定律

∑ε+∑IR=0

其表述為：對(duì)于電路中的任一回路，沿回路繞行方向的各段電壓的代數(shù)和等于零.或者說(shuō)電勢(shì)增高之量等于電勢(shì)降落之量.

2.2.2 2個(gè)原理：電流源原理、電壓源原理

原理一：電流源原理

電流源原理，其實(shí)就是把一個(gè)受控元件或器件串聯(lián)在電流回路中，通過(guò)采樣和負(fù)反饋電路使這個(gè)元件或器件的導(dǎo)通電阻受輸出電流的實(shí)時(shí)控制，當(dāng)因負(fù)載電阻減小或回路電壓增大而發(fā)生回路電流增大的趨勢(shì)時(shí)，這個(gè)元件或器件的導(dǎo)通電阻就增大，當(dāng)因負(fù)載電阻增大或回路電壓減小而發(fā)生回路電流減小的趨勢(shì)時(shí)，這個(gè)元件或器件的導(dǎo)通電阻就減小，以維持回路電流的穩(wěn)定.

原理二：電壓源原理

電壓源原理，其實(shí)就是把一個(gè)受控元件或器件并聯(lián)在電流回路中，采集輸出電壓反饋到控制端，控制端根據(jù)反饋的電壓來(lái)調(diào)節(jié)輸出電壓保證輸出電壓穩(wěn)定.

這兩個(gè)原理是微電子學(xué)的理論基礎(chǔ).

2.3 渦旋電場(chǎng)

2.3.1 2個(gè)定律：畢奧-薩伐爾定律、法拉第電磁感應(yīng)定律

定律一：畢奧-薩伐爾定律

電流周?chē)写艌?chǎng)，穩(wěn)恒電流的磁場(chǎng)是穩(wěn)恒磁場(chǎng).如圖1所示，任意形狀的導(dǎo)線L,通有電流I，在該導(dǎo)線上任意選取一線元dl,在該導(dǎo)線上任意電流元Idl,產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為dB.畢奧-薩伐爾定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖1 電流元及其產(chǎn)生的磁場(chǎng)

定律二：法拉第電磁感應(yīng)定律

不論任何原因使通過(guò)回路面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通量對(duì)時(shí)間的變化率成正比，這就是法拉第電磁感應(yīng)定律，其表達(dá)式為

式中負(fù)號(hào)表明感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向和磁通量變化率之間的關(guān)系，是楞次定律的數(shù)學(xué)表示.

2.3.2 2個(gè)假說(shuō)

假說(shuō)1：變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生變化的電場(chǎng).

假說(shuō)2：為了使安培環(huán)路定理成立，必須假定變化的(渦旋)電場(chǎng)與一定的磁場(chǎng)相聯(lián)系,即變化的電場(chǎng)可以產(chǎn)生變化的磁場(chǎng).

3 3種電場(chǎng)的比較

3.1 共性

(1)它們都是電場(chǎng)，是物質(zhì)的一種客觀存在形式，都儲(chǔ)存著能量；

(2)它們對(duì)處于其中的電荷都有電場(chǎng)力的作用；

(3)在這3種電場(chǎng)中移動(dòng)電荷時(shí)相應(yīng)的電場(chǎng)力一般都要做功.

3.2 個(gè)性

靜電場(chǎng)的場(chǎng)源電荷是靜止電荷,穩(wěn)恒電場(chǎng)的場(chǎng)源電荷是空間分布不隨時(shí)間變化的電荷, 它們都屬于有源場(chǎng),電場(chǎng)線始于正電荷而止于負(fù)電荷,在無(wú)電荷處不中斷,是不閉合的.對(duì)于外電路中的穩(wěn)恒電場(chǎng),其電場(chǎng)線從電源正極指向負(fù)極,同時(shí)根據(jù)歐姆定律的微分方程可知,電場(chǎng)線和電流線相平行, 簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái),可理解為沿均勻?qū)Ь€的軸線方向,雖然有分析認(rèn)為導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)存在徑向分量,但其值較小,通?？珊雎?渦旋電場(chǎng)由變化的磁場(chǎng)激發(fā),沒(méi)有場(chǎng)源電荷,屬于無(wú)源場(chǎng),它的電場(chǎng)線應(yīng)是沒(méi)有起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲線,是閉合的.這是渦旋電場(chǎng)性質(zhì)和前兩種電場(chǎng)性質(zhì)的區(qū)別之一.

靜電場(chǎng)要對(duì)放入其中的電荷施加靜電場(chǎng)力,靜電場(chǎng)力是保守力,根據(jù)保守力的特點(diǎn),電荷沿閉合路徑移動(dòng)一周時(shí)靜電場(chǎng)力的功恒為零.可見(jiàn),靜電場(chǎng)是勢(shì)場(chǎng)或稱(chēng)為無(wú)旋場(chǎng).由恒定條件可知,在穩(wěn)恒電流場(chǎng)中選定任一閉合曲面S,該曲面內(nèi)各點(diǎn)的電荷密度都不隨時(shí)間變化,這和靜止電荷在閉合曲面S內(nèi)按同樣電荷分布時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)情況是相同的.因此,穩(wěn)恒電場(chǎng)和靜電場(chǎng)具有相同的性質(zhì),穩(wěn)恒電場(chǎng)也是勢(shì)場(chǎng),基爾霍夫第二方程正是由穩(wěn)恒電場(chǎng)的環(huán)路定理推導(dǎo)出來(lái)的.感生電場(chǎng)力對(duì)沿閉合電路移動(dòng)一周的單位電荷做功等于感生電動(dòng)勢(shì),由法拉第定律可知感生電場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流不可能都為零,否則不會(huì)在實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)感生電動(dòng)勢(shì)存在的事實(shí).可以看出感生電場(chǎng)不是勢(shì)場(chǎng),而是渦旋場(chǎng).這是渦旋電場(chǎng)性質(zhì)和前兩種電場(chǎng)性質(zhì)的另一區(qū)別.

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)電磁學(xué)中的3種電場(chǎng),靜電場(chǎng)、穩(wěn)恒電場(chǎng)和渦旋電場(chǎng)的核心及其規(guī)律的歸納、對(duì)比和總結(jié),分析了它們的共性和個(gè)性，不僅強(qiáng)化了我們對(duì)3種電場(chǎng)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用，而且擴(kuò)大了3種電場(chǎng)與其他相關(guān)物理知識(shí)的聯(lián)系，同時(shí)也鍛煉了學(xué)生的物理思維能力，無(wú)論是對(duì)中學(xué)物理的教與學(xué)或是對(duì)大學(xué)生電磁學(xué)的學(xué)習(xí)，都有事半功倍的學(xué)習(xí)效果.

1 馮杰. 大學(xué)物理專(zhuān)題研究. 北京:北京大學(xué)出版社，2011

2 張三慧.大學(xué)物理學(xué). 北京: 清華大學(xué)出版社，2000

3 溫耐，王偉鋒. 類(lèi)比法在電磁學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用. 物理通報(bào)， 2013(6):11～12

4 尹彩流. 大學(xué)物理電磁學(xué)教學(xué)中類(lèi)比法的應(yīng)用. 廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，17(2):98～100