李 玲， 裴永珍， 梁西銀， 李長(zhǎng)國(guó)

(1.天津工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與軟件學(xué)院，天津 300387;2.軍事交通學(xué)院 基礎(chǔ)部，天津 300161)

微博營(yíng)銷[1]，就是指以微博為平臺(tái)或渠道進(jìn)行的品牌推廣、活動(dòng)策劃、形象包裝、產(chǎn)品宣傳等一系列營(yíng)銷手段，個(gè)人或者企業(yè)利用更新自己的微型博客向微博在線用戶傳播產(chǎn)品信息，樹立良好的產(chǎn)品形象，每天更新內(nèi)容來(lái)發(fā)布大家感興趣的話題，這樣來(lái)達(dá)到營(yíng)銷的目的.

對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)而言，錢學(xué)森給出了嚴(yán)格的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)定義：即具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無(wú)標(biāo)度中部分或者全部性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)稱為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).簡(jiǎn)而言之，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)即為呈現(xiàn)出高度復(fù)雜性的網(wǎng)絡(luò)[2].其復(fù)雜性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1)結(jié)構(gòu)復(fù)雜.表現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)數(shù)目巨大，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)多種不同特征.2)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)化.表現(xiàn)在結(jié)點(diǎn)或連接的產(chǎn)生與消失.例如world-wide network，網(wǎng)頁(yè)或鏈接隨時(shí)可能出現(xiàn)或斷開，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生變化.3)連接多樣性.結(jié)點(diǎn)之間的連接權(quán)重存在差異，且有可能存在方向性.4)動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性.結(jié)點(diǎn)集可能屬于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，例如結(jié)點(diǎn)狀態(tài)可隨時(shí)間發(fā)生一些復(fù)雜變化.5)結(jié)點(diǎn)多樣性.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)可以代表任何事物.例如，人際關(guān)系構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)代表單獨(dú)個(gè)體，萬(wàn)維網(wǎng)組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)可以表示不同網(wǎng)頁(yè).目前，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的內(nèi)容主要包括：網(wǎng)絡(luò)的幾何性質(zhì)，網(wǎng)絡(luò)的形成機(jī)制，網(wǎng)絡(luò)演化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，網(wǎng)絡(luò)上的模型性質(zhì)，以及網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，網(wǎng)絡(luò)的演化動(dòng)力學(xué)機(jī)制等問(wèn)題.其中在自然科學(xué)領(lǐng)域，網(wǎng)絡(luò)研究的基本測(cè)度包括：度(degree)及其分布特征，度的相關(guān)性，集聚程度及其分布特征，最短距離及其分布特征，介數(shù)(betweenness)及其分布特征，連通集團(tuán)的規(guī)模分布.

網(wǎng)絡(luò)中少數(shù)稱之為Hub點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)擁有極其多的連接，而大多數(shù)結(jié)點(diǎn)只有很少量的連接(即度比較小或非常小)，而這些少數(shù)的Hub節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行起著主導(dǎo)作用，這就是無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò).從廣義上來(lái)說(shuō)，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度性是描述大量復(fù)雜系統(tǒng)整體上嚴(yán)重不均勻的一種內(nèi)在性質(zhì)，而無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)和小世界網(wǎng)絡(luò)的最大區(qū)別就是他們的度分布的差別.

鑒于微博營(yíng)銷的各種優(yōu)勢(shì)和時(shí)代性，很多學(xué)者對(duì)此已經(jīng)做過(guò)相關(guān)的討論和研究.Daley和Kendall[3]提出了第一個(gè)謠言傳播數(shù)學(xué)模型DK模型.Maki和Thomson[4]在DK模型上進(jìn)行了傳播規(guī)則的修改，構(gòu)建了MT模型.但有一點(diǎn)值得提出的是，DK模型和MT模型均未考慮到網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)謠言傳播的影響.之后，Moreno[5]等人開始對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的謠言傳播人群進(jìn)行分類，將人群分為無(wú)知者(Ignorant)、傳播者(Spreader)、免疫者(Stifler)三類.M.Nekovee和Y.Moreno[6]等人對(duì)復(fù)雜社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的謠言傳播進(jìn)行了理論研究，并建立了含有潛伏機(jī)制和遺忘機(jī)制的SIR模型.上海工程技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院的張志花、夏志杰等人[7]提出了基于喚醒機(jī)制的微博謠言傳播模型，在模型中加入了冬眠者，考慮到了領(lǐng)袖傳播者對(duì)冬眠者的喚醒作用.但是該文章僅考慮到了均勻網(wǎng)絡(luò)中領(lǐng)袖傳播者對(duì)冬眠者的喚醒作用，并未考慮到實(shí)際上微博是屬于很典型的非均勻網(wǎng)絡(luò)中的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的那一類型的，即微博網(wǎng)絡(luò)中結(jié)點(diǎn)的度是服從冪率分布的.因此本文此基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮微博的實(shí)際網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，對(duì)模型進(jìn)行了相應(yīng)完善，從而構(gòu)建出更加符合實(shí)際意義的數(shù)學(xué)模型.

我們基于SIR傳染病模型和之前微博謠言模型相關(guān)理論[8]構(gòu)建出基于喚醒機(jī)制的微博信息傳播模型，并給出相應(yīng)的平均場(chǎng)方程.我們研究了各個(gè)群體的數(shù)量隨時(shí)間的變化規(guī)律，通過(guò)控制參數(shù)的方法(企業(yè)采取相應(yīng)實(shí)際措施)，從而更好地在微博平臺(tái)上展開營(yíng)銷活動(dòng).

1 微博平臺(tái)信息傳播的一般模型

本文對(duì)模型是這樣來(lái)定義的.首先，假設(shè)現(xiàn)如今微博用戶注冊(cè)總?cè)藬?shù)是N個(gè)，微博網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)封閉且存在N個(gè)節(jié)點(diǎn)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)可傳播信息的用戶，且節(jié)點(diǎn)總數(shù)N不變，信息是有向傳播的，這些都是研究前提[9].考慮到冬眠者遇領(lǐng)袖傳播者有可能被喚醒從而轉(zhuǎn)化為傳播者，我們提出新的信息傳播模型如圖1所示.用戶群可分為四類，分別是無(wú)知者，傳播者，潛伏者，冬眠者.無(wú)知者即為對(duì)企業(yè)或個(gè)人所發(fā)布的微博營(yíng)銷信息一無(wú)所知、毫不知情的人.在信息傳播初期，絕大部分人都是處于這種狀態(tài)的，很容易理解.傳播者即為那些知道了這條信息并且去向外界轉(zhuǎn)發(fā)或者傳播的一類人.很顯然，這一類人在營(yíng)銷信息的傳播過(guò)程重扮演著極其重要的角色.潛伏者是指對(duì)此條信息知情，但是卻不再轉(zhuǎn)發(fā)或者傳播的一類人.冬眠者是指這樣一類原本處于傳播者狀態(tài)的人，由于其他微博信息的干擾而對(duì)此條信息暫時(shí)性失憶，或者對(duì)此條信息不感興趣，但由于領(lǐng)袖傳播者的存在，會(huì)重新激起這類人的轉(zhuǎn)發(fā)或傳播興趣，從而再一次成為傳播者.模型中各個(gè)參數(shù)的具體含義如表1.

表1微博信息傳播模型圖1參數(shù)含義

參數(shù)參數(shù)含義λ無(wú)知者接觸傳播者之后,一部分無(wú)知者轉(zhuǎn)化為傳播者的速率α傳播者接觸免疫者之后,對(duì)此條信息失去興趣從而轉(zhuǎn)化為免疫者的速率β傳播者由于自身忘記所傳信息,從而轉(zhuǎn)化為冬眠者的速率δ冬眠者遇到“領(lǐng)袖傳播者”并被其喚醒的速率(即喚醒率)

過(guò)程1：當(dāng)無(wú)知者接觸傳播者之后，無(wú)知者對(duì)此條信息暫時(shí)忘記或者完全不感興趣，此刻，他由無(wú)知者變?yōu)槎哒?在這里本文沒(méi)有對(duì)此項(xiàng)概率參數(shù)進(jìn)行研究)；若要傳播信息，那么就以的速率變?yōu)閭鞑フ?

過(guò)程2：當(dāng)傳播者忘記所傳信息，從而以β的速率轉(zhuǎn)變?yōu)槎哒?；另一方面，?dāng)傳播者接觸免疫者時(shí)，對(duì)此條信息失去興趣從而以α的速率轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖哒?

過(guò)程3：當(dāng)冬眠者接觸領(lǐng)袖傳播者時(shí)，此時(shí)他被喚醒，然后便以δ的速率變?yōu)閭鞑フ?

圖1所示的流程圖即為該數(shù)學(xué)模型的最形象化描述.

圖1 流程圖

信息傳播過(guò)程：

1)當(dāng)一個(gè)無(wú)知者遇到一個(gè)傳播者時(shí)，可以有如下兩種選擇：1、以λ的速率轉(zhuǎn)化為傳播者；2、無(wú)知者對(duì)此條微博信息毫無(wú)興趣，或者辨不出真假，或者忘記了，然后以某一速率轉(zhuǎn)化為冬眠者.

1.2.3 測(cè)量指標(biāo)及圖像分析 在矢狀面基礎(chǔ)平面上沿恥骨聯(lián)合后下緣做一條水平參照線，分別測(cè)量靜息狀態(tài)及Valsalva動(dòng)作時(shí)膀胱頸至參照線的垂直距離，二者間距即為BND。膀胱頸位于參考線頭側(cè)，定義為參考線上，膀胱頸距離參考線測(cè)值為正數(shù)(+)，(圖1A)。Valsalva動(dòng)作時(shí)膀胱頸向尾側(cè)移動(dòng)越過(guò)參考線位置，定義為參考線下，膀胱頸距離參考線測(cè)值為負(fù)數(shù)(-)(圖1B)。

2)當(dāng)一個(gè)傳播者遇到一個(gè)免疫者時(shí)，也可以有如下兩種選擇：1、傳播者受到免疫者的蠱惑，以α的概率轉(zhuǎn)化為免疫者；2、傳播者對(duì)此條微博信息暫時(shí)性失去興趣，或者由于傳播者本身大量的刷微博行為，導(dǎo)致他暫時(shí)性忘記，從而以β的概率轉(zhuǎn)化為冬眠者.

3)最后這一點(diǎn)是最關(guān)鍵的.之前無(wú)數(shù)研究證明，微博的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是服從冪律分布的.和均勻網(wǎng)絡(luò)有所不同的是，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的度相差很大，在大家的度原本都差不多的前提下，突然冒出少數(shù)一些度很大很大的節(jié)點(diǎn)，這就是我們的領(lǐng)袖傳播者.比如明星、知名媒體、權(quán)威人士、商界精英等，他們的觀點(diǎn)在很大程度上是可以影響多數(shù)信任或者崇拜他們的人的觀點(diǎn)的，甚至可以引領(lǐng)時(shí)代潮流.因此，當(dāng)冬眠者遇到這些領(lǐng)袖傳播者之后，會(huì)有極大的被喚醒的可能，從而以δ的概率轉(zhuǎn)化為傳播者，繼續(xù)對(duì)此條微博信息進(jìn)行傳播.

2 建立平均場(chǎng)方程

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的平均場(chǎng)理論[10]是一種研究系統(tǒng)熱力學(xué)性質(zhì)的近似方法.它起源于物理學(xué)中對(duì)大量對(duì)等物體相互關(guān)系的研究，也就是用一個(gè)作用來(lái)等價(jià)地刻畫所有其他物體對(duì)該物體的作用，簡(jiǎn)化分析過(guò)程.物體相互作用的過(guò)程可以用馬爾可夫鏈分析，但當(dāng)物體狀態(tài)較多、物體數(shù)量巨大時(shí)馬爾可夫鏈模型就相當(dāng)復(fù)雜，難以求解.而用平均場(chǎng)模型就能很好地對(duì)這個(gè)過(guò)程進(jìn)行近似，且效果不錯(cuò).盡管由平均場(chǎng)理論所得到的結(jié)果是近似的，但由于它是基于對(duì)問(wèn)題的高度概括和抽象，因而由它所推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)論更加具有普適的意義.對(duì)于一個(gè)不為人所熟悉的復(fù)雜系統(tǒng)，平均場(chǎng)理論往往是揭示它本質(zhì)屬性的突破口，因此它成為了研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的一個(gè)有力工具，在復(fù)雜系統(tǒng)的各種研究方法中占有重要的地位.

把在t時(shí)刻j結(jié)點(diǎn)的鄰居中所有處于傳播者狀態(tài)的結(jié)點(diǎn)數(shù)量記為g(t)，在某一固定時(shí)刻，g(t)即變?yōu)榱艘粋€(gè)常量，Δtλ是j結(jié)點(diǎn)接觸所有處于傳播者狀態(tài)的結(jié)點(diǎn)中的一個(gè)傳播者結(jié)點(diǎn)時(shí)，j變?yōu)閭鞑フ呓Y(jié)點(diǎn)的概率，那么j結(jié)點(diǎn)在接觸完所有傳播者結(jié)點(diǎn)后仍保持無(wú)知者狀態(tài)的概率即為(1-Δtλ)g，記作:

(1)

假定結(jié)點(diǎn)j一共有k個(gè)鄰居結(jié)點(diǎn)，那么g就是滿足二項(xiàng)分布的一個(gè)隨機(jī)變量，用概率可表示為:

(2)

其中:θ(k,t)是某一個(gè)度為k的結(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻能夠認(rèn)識(shí)(表現(xiàn)在圖上即為連接)一個(gè)傳播者的概率.對(duì)于度為k的一類結(jié)點(diǎn)，這個(gè)概率值是相同的，故言之，對(duì)于不同度的結(jié)點(diǎn)，這個(gè)概率值顯然是不同的.θ(k,t)g也可以如下表示:

(3)

(4)

(ρs(k′,t))k(1-δΔr))

(5)

下面分別用ρi(k,t+Δt)、ρs(k,t+Δt)、ρr(k,t+Δt)、ρl(k,t+Δt)表示在t+Δt時(shí)刻無(wú)知者I、傳播者S、免疫者R、冬眠者L四類人的數(shù)量在種群總?cè)藬?shù)中所占的比例.上文中已經(jīng)得到了I在接觸完S之后保持I狀態(tài)不變的概率以及S在接觸完S和R之后的概率，那么在經(jīng)歷了Δt時(shí)間段之后，我們也可以很容易得到ρi(k,t+Δt)、ρs(k,t+Δt)、ρr(k,t+Δt)、ρl(k,t+Δt)表示在t+Δt四者的密度占比，求得結(jié)果如下：

(6)

ρl(k,t+Δt)=ρl(k,t)+βρs(k,t)-δρl(k,t)

(7)

(8)

(9)

對(duì)上式變形，便得到方程組，如下：

(10)

3 Matlab仿真

3.1 四類人所占比例隨時(shí)間的變化

由圖2可以看出，隨著時(shí)間的推移，無(wú)知者的數(shù)量(表現(xiàn)在圖中即為密度)在不斷減少，并且在某一段時(shí)間內(nèi)其數(shù)量迅速減少，最終緩慢地趨向于零.傳播者在信息傳播前期其數(shù)量不斷增大，之后隨著時(shí)間推移慢慢趨于零，最終消失.免疫者一開始數(shù)量逐漸增大，然后在信息傳播的末期，由于大部分人已經(jīng)對(duì)該信息有所了解卻不再去向他人傳播，此時(shí)除了極少數(shù)對(duì)該信息依然處于無(wú)知者狀態(tài)，剩下的便全都成為了免疫者.冬眠者的數(shù)量開始在不斷增大，達(dá)到一定值的時(shí)候，慢慢降下來(lái)，最后其數(shù)量慢慢趨于平穩(wěn)狀態(tài)，這正是由于領(lǐng)袖傳播者的喚醒作用所導(dǎo)致.以上分析就是這四類人的數(shù)量變化.

圖2 四類人的密度時(shí)間的變化

3.2 喚醒率δ仿真與分析

本文根據(jù)實(shí)際情況加入了對(duì)喚醒率這個(gè)參數(shù)的考量，通過(guò)δ來(lái)衡量領(lǐng)袖傳播者對(duì)冬眠者的喚醒力.本節(jié)通過(guò)Matlab來(lái)模擬喚醒率對(duì)現(xiàn)實(shí)中這三類人的數(shù)量以及變化速度的影響.在圖3中，均設(shè)定λ=0.8，α=1，β=0.8，=15，喚醒率δ分別等于0.6，0.7，0.8.由圖3(A)可知，喚醒率δ越大，微博信息初期傳播速度越快(表現(xiàn)在圖中即為斜率)，達(dá)到峰值時(shí)的傳播者數(shù)量越大，整個(gè)信息傳播所經(jīng)歷的時(shí)間越短，結(jié)束的越快，從而在短時(shí)間內(nèi)使得更多的無(wú)知者更快更高效地獲得信息，進(jìn)而提升此條信息傳播的影響力.由圖3(B)可知，喚醒率δ越大，傳播者轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖哒叩乃俣仍娇欤藯l信息最終所被熟知的人的數(shù)量越多，影響更加廣泛.由圖3(C)可知，喚醒率δ越大，傳播者轉(zhuǎn)變?yōu)槎哒叩乃俣仍娇欤哒咚_(dá)到的峰值時(shí)的數(shù)量越少(因?yàn)棣脑龃髸r(shí)冬眠者被領(lǐng)袖傳播者喚醒的數(shù)量會(huì)相應(yīng)地增多).

圖3 當(dāng)δ取值分別為0.6，0.7，0.8時(shí)，三類人

4 結(jié) 語(yǔ)

本文根據(jù)傳染病SIR模型，結(jié)合微博信息傳播過(guò)程的實(shí)際情況，建立了信息傳播模型.因?yàn)槲⒉┯脩艨偸窃凇八⑽⒉保栽跒g覽完一條微博推送消息之后，可能會(huì)因?yàn)橹鬄g覽的其他微博信息而暫時(shí)忘記上一條信息，即此模型中冬眠者的存在.但由于微博社交網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是屬于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)(SF網(wǎng)絡(luò)),故網(wǎng)絡(luò)中有“領(lǐng)袖傳播者”的存在.即當(dāng)這條微博信息被“領(lǐng)袖傳播者”再次轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)，會(huì)重新激起冬眠者對(duì)這條信息的轉(zhuǎn)發(fā)欲望，這使我們的模型更加符合實(shí)際意義.然后應(yīng)用概率論和微分方程的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，給出了該模型的平均場(chǎng)方程.用Matlab對(duì)該模型進(jìn)行仿真，了解模型中各個(gè)參數(shù)對(duì)微博信息傳播速度及最終規(guī)模的影響，從而通過(guò)采取各種有效措施來(lái)加速微博信息傳播，使微博營(yíng)銷更有效地進(jìn)行.

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