錢玉恒， 王佳偉， 楊亞非

( 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院 飛行器控制實驗教學(xué)中心, 哈爾濱 150001)

當(dāng)今世界，航天技術(shù)飛速發(fā)展，航天器的用途種類愈加繁多，規(guī)模愈加擴大，航天器的精度與穩(wěn)定性需要隨之提高以達到航天工程領(lǐng)域的要求，而其姿態(tài)穩(wěn)定性更是這一切的前提.航天器的姿態(tài)控制一般采用控制力矩陀螺(Control Moment Gyroscope,簡稱CMG)作為它的執(zhí)行器[1-4]，例如，國際空間站應(yīng)用的一些單框架力矩陀螺或雙框架力矩陀螺，需要配置力矩陀螺的構(gòu)型，使多個陀螺可協(xié)同動作，進而實現(xiàn)姿態(tài)控制的作用.控制力矩陀螺基本原理是通過改變陀螺飛輪的轉(zhuǎn)軸方向，產(chǎn)生角動量交換，并作用到航天器上，達到改變其角速度及姿態(tài)的目的[5].據(jù)不完全統(tǒng)計，在國際航天領(lǐng)域應(yīng)用中，現(xiàn)在有近400個航天器采用控制力矩陀螺作為其姿態(tài)控制系統(tǒng)的主要執(zhí)行器.在國內(nèi)，天宮一號飛船則第一次使用了控制力矩陀螺作為其執(zhí)行機構(gòu)[6]，并且進一步應(yīng)用到了天宮二號上[7-10].目前，針對控制力矩陀螺的有關(guān)研究取得了很多的成果[11-12]，這些研究將為航天器姿態(tài)控制理論的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ).美國ECP公司生產(chǎn)的Model750型控制力矩陀螺是一種能夠全面驗證力矩陀螺特性的實驗裝置，已經(jīng)在世界眾多知名大學(xué)得到應(yīng)用，促進了對力矩陀螺的研究和教學(xué).

RealTime Windows Target(簡稱RTWT)是基于Matlab軟件的實時實驗平臺，利用Simulink構(gòu)建的控制器，通過運動控制卡對硬件系統(tǒng)進行實時控制，從而構(gòu)成半實物的實時控制研究.

本文首先將介紹控制力矩陀螺的結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)其數(shù)學(xué)模型，然后利用實時仿真平臺，基于線性二次調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator，簡稱LQR)方法為其設(shè)計最優(yōu)控制器參數(shù)，并進行仿真驗證.

1 設(shè)備組成

該實驗裝置由機電裝置、控制箱和應(yīng)用程序組成[8].

控制力矩陀螺的機電部分如圖1所示.主體包括4個部件：框架A、B、C和轉(zhuǎn)子D.框架A繞軸4旋轉(zhuǎn)，角位置由編碼器4測量；框架B繞軸3旋轉(zhuǎn)，角位置由編碼器3測量；框架C繞軸2旋轉(zhuǎn)，角位置由編碼器2測量.另外，為每個框架分別配置了摩擦滑環(huán)，慣性開關(guān)和制動器.轉(zhuǎn)子D是大慣量轉(zhuǎn)子，繞軸1旋轉(zhuǎn)，由直流伺服電機1驅(qū)動，角位置由編碼器1測量.

圖1 控制力矩陀螺機電部分

控制系統(tǒng)處理器使用M56000系列，能夠在高采樣率下執(zhí)行控制律，可以分析解釋程序指令，并支持數(shù)據(jù)采集，軌跡生成，系統(tǒng)狀態(tài)及安全檢測等.

用戶界面可以實現(xiàn)控制器設(shè)計、軌跡定義、數(shù)據(jù)采集、繪圖系統(tǒng)、執(zhí)行指令等功能.內(nèi)置的編譯器通過數(shù)字信號處理器進行程序代碼的傳送和執(zhí)行.該接口支持多種功能，提供了一個非常強大的實驗環(huán)境.

2 數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

建立一組坐標系如圖2所示，其中：ai,bi,ci和di(i=1,2,3)為相互正交的單位向量，并且分別固定在框架A，B，C，和D上，組成四個固連坐標系，對應(yīng)的四個轉(zhuǎn)動軸為軸4，軸3，軸2，軸1.單位正交向量Ni(i=1,2,3)構(gòu)成慣性參考坐標系N.q1定義為D在d2方向的角位移，q2、q3和q4被定義相應(yīng)的轉(zhuǎn)角，它們決定了系統(tǒng)構(gòu)形.另外，在動力學(xué)分析中，考慮系統(tǒng)的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)子D中心，不考慮轉(zhuǎn)子的移動，通常只考慮D的角速度ω1給出系統(tǒng)部件的主慣性矩陣如下：

圖2 坐標系

(1)

其中，Ix,Jx,Kx(x=A,B,C,D)分別表示部件A，B，C和D中繞第i(i= 1,2,3)方向的標量轉(zhuǎn)動慣量.A在N中的角速度給出如下：

NωA=ω4a3

(2)

同理，我們定義以下量：

AωB=ω3b2

(3)

BωC=ω2c1

(4)

CωD=ω1d2

(5)

將廣義坐標與角速度相關(guān)聯(lián)的運動學(xué)微分方程如下：

(6)

(7)

(8)

將每個部件的坐標系變換到慣性坐標系：

(10)

(11)

(12)

c2=d2

(13)

該裝置具有兩個輸入：第一個輸入是旋轉(zhuǎn)電機，施加的轉(zhuǎn)矩T1，則C和D的轉(zhuǎn)矩為：

TD=T1d2

(14)

TC=-T1d2

(15)

第二個輸入轉(zhuǎn)矩T2，則C和B的轉(zhuǎn)矩為：

TC=-T2c1

(16)

TB=-T2c1

(17)

系統(tǒng)的動力學(xué)模型可由式(1)～(17)描述.再求解其運動方程：

T1+f1(q2,q3;ω2,ω3,ω4;ω1,ω3,ω4)=0

(18)

T2+f2(q2,q3;ω1,ω3,ω4;ω1,ω2)=0

(19)

f3(q2,q3;ω1,ω2,ω3,ω4;ω1,ω3,ω4)=0

(20)

f4(q2,q3;ω1,ω2,ω3,ω4;ω1,ω2,ω3,ω4)=0

(21)

定義系統(tǒng)的平衡點為ω1=Ω，q2=q20，q3=q30，則線性化方程為

(22)

(23)

(24)

(25)

至此，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型完全得出.

3 控制力矩陀螺的RTWT平臺

在RTWT平臺下，搭建控制力矩陀螺的控制框圖，如圖3所示，其中，深藍色模塊代表實際的物理對象，即使用ECP軟件編寫好的用于實時控制的板卡模塊；黃色模塊表示輸入量，其內(nèi)部有六個不同的輸入信號與信號六接口信號選擇器相連；淺藍色的模塊表示控制器，需要根據(jù)實際的控制器來設(shè)計，其結(jié)構(gòu)要根據(jù)實際控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進行改變和重新搭建.

圖3 控制力矩陀螺的RTWT實時控制框圖

4 LQR實時控制器的設(shè)計與控制實驗

LQR理論是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早、最成熟的一種狀態(tài)空間設(shè)計方法，利用LQR可得到狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制，可讓系統(tǒng)滿足一定的性能指標要求.

4.1 實驗裝置構(gòu)形及簡化數(shù)學(xué)模型

在本實驗中，實驗裝置的配置構(gòu)形如圖4，運動示意圖如圖5.

圖4 Model750構(gòu)形圖

圖5 運動形式示意圖

(26)

對于原系統(tǒng)的七個狀態(tài)變量(q2,q3,q4,ω1,ω2,ω3,ω4)(轉(zhuǎn)子角位置q1無實際意義，為底座軸)，控制目標是框架A(即軸4)的位置，因此首先選擇兩個狀態(tài)變量q4和ω4，另外關(guān)于主控制軸4與輸入力矩T2的傳遞函數(shù)為三階，由于此時框架3被鎖定，q3,ω3均為0，且轉(zhuǎn)子D的速度是單獨控制，而框架A是通過電機2，即框架C(軸2)間接驅(qū)動的，因此選擇框架C的角速度ω2作為第三個狀態(tài)，綜上系統(tǒng)的狀態(tài)變量X=[q4ω2ω4]T即可得到控制陀螺力矩的狀態(tài)空間模型：

(27)

(28)

其中系統(tǒng)矩陣根據(jù)裝置的參數(shù)可得

C=[1 0 0]

為其構(gòu)造二次型目標函數(shù)如下

(29)

其中

(30)

接下來通過全狀態(tài)反饋使得二次型目標函數(shù)J最小.利用Matlab中介黎卡提方程的命令lqr(A,B,Q,R)，求解控制矩陣K.畫出LQR控制的框圖.見圖6、7.

圖6 時域LQR控制框圖

圖7 頻域LQR控制框圖

根據(jù)圖7，可得閉環(huán)傳遞函數(shù)：

(31)

其中：

(32)

N2(s)=ke2ku2(ID+KA+KB+KC)s

(33)

N4=-ke4ku2ΩJD

(34)

(35)

(36)

4.2 控制器參數(shù)設(shè)計

選定狀態(tài)反饋控制律

u=-Kx

(37)

其中：K=[k1K2K3].通過求解黎卡提方程尋找使目標函數(shù)最小的控制器K，即

(38)

經(jīng)過多次實驗和參數(shù)改良，取r=0.05.綜上求得K=[-4.5 0.072 -0.22].令輸出等于輸入求得kpf=-4.5

4.3 LQR實時控制器搭建

LQR實時控制器的搭建結(jié)構(gòu)如圖8所示，k1和k3所在的環(huán)節(jié)均與編碼器4相連，表示軸4位置的反饋信號，k2所在回路與編碼器2相連，表示軸2的反饋信號.由此對應(yīng)狀態(tài)變量x，構(gòu)成了一個LQR全狀態(tài)反饋控制器.

圖8 RTWT平臺

4.4 控制實驗狀況

在控制力矩陀螺硬件平臺中設(shè)置采集編碼器2，編碼器4，命令位置1和控制效果1的數(shù)據(jù)；在RTWT平臺中，給定一個幅值為10 V，停留時間為4 s，重復(fù)次數(shù)為1的階躍信號；在控制器單元輸入設(shè)計的LQR控制器參數(shù)，編譯并加載到硬件平臺中，得到階躍響應(yīng)和頻域響應(yīng)曲線如圖9、10.

圖9 階躍響應(yīng)曲線

圖10 頻域響應(yīng)曲線

經(jīng)過測量計算時域響應(yīng)曲線的峰值時間為0.297 s，超調(diào)量為3%.因此，可以看出LQR方法設(shè)計的控制器具有很快的上升時間(假設(shè)沒有飽和)，和更寬的帶寬(僅限于當(dāng)前參數(shù)).同時經(jīng)過對K值參數(shù)的不斷調(diào)整和控制，得到如下結(jié)論：k1(絕對值)的取值會直接影響到控制系統(tǒng)的峰值，過大則會造成過高的超調(diào)；k2(絕對值)的取值過大會使系統(tǒng)的阻尼過小，系統(tǒng)發(fā)生諧振；k3(絕對值)也會對系統(tǒng)阻尼造成直觀影響，過大則系統(tǒng)快速性降低，過小則會發(fā)生過多的震蕩.因此，還應(yīng)根據(jù)黎卡提方程所求的K矩陣進行微調(diào)，取最理想結(jié)果.

5 結(jié) 語

本文主要利用實時實驗系統(tǒng)平臺為ECP750控制力矩陀螺裝置設(shè)計了LQR實時控制器，實現(xiàn)了最優(yōu)的狀態(tài)反饋控制.通過這個實驗，學(xué)生可以掌握高級的控制方法在控制力矩實驗裝置中的實踐應(yīng)用.

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