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        “否命題”等于“命題的否定”?

        2018-01-25 05:22:07張圣官
        新世紀智能(數(shù)學備考) 2018年10期
        關鍵詞:對頂角性命全稱

        張圣官

        現(xiàn)實學習中,不少同學常常把“否命題”與“命題的否定”混為一談.其實這兩個概念是在不同的層面上研究問題時所出現(xiàn)的.“否命題”出現(xiàn)在“命題及其關系”中,指的是當原有命題(即原命題)為“若p則q”形式時,同時否定它的條件和結(jié)論得到“若┐p則┐q(讀作若非p則非q)”,這稱為原命題的否命題;而“命題的否定”是指將命題p(通常是較簡單的命題)直接進行否定得到┐p,也即是直接得到命題的反面.

        1.要寫出否命題,首先要將原命題改寫成“若p則q”形式

        例1已知命題“全等三角形一定相似”,試寫出它的否命題,并判斷這兩個命題的真假.

        解將原命題改寫為:若兩個三角形全等,則它們一定相似.其否命題即為:若兩個三角形不全等,則它們一定不相似.原命題為真,否命題為假.

        點評將原命題首先改寫成“若p則q”形式,是正確寫出否命題的關鍵.當然還要注意這里的“一定”是語氣助詞而不是謂語動詞,有的同學會寫成:若兩個三角形不全等,則它們不一定相似.這樣寫就錯了!違背了常用邏輯的基本規(guī)則.事實上,在處理命題中含有“一定”、“必然”等詞語的問題時有一個辦法是切實可行的,這就是將它們?nèi)サ簦驗樗鼈儍H僅是加強語氣而已.

        還有一點需要強調(diào)的是,原命題為真(假)時,否命題的真假性并不確定,即否命題可能為真也可能為假,這要根據(jù)具體的問題結(jié)論來確定.在四種命題關系中,原命題與逆否命題真假性相同,逆命題與否命題真假性相同.

        例2寫出命題p:“若a,b,c∈R,ac<0,則方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根”的否命題.

        分析本題中對“p”的理解很關鍵,“a,b,c∈R”必須當做前提條件才行,而不能對它進行否定.否命題應該寫成“若a,b,c∈R,ac≥0,則方程ax2+bx+c=0沒有兩個不相等的實數(shù)根”.

        如果命題中含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”時,那么在寫“┐p”和“┐q”時要注意利用等價命題的原理和規(guī)律.

        例3寫出命題“若ab=0,則a=0或b=0”的否命題,并判斷兩個命題的真假.

        分析原命題是真命題,逆命題是真命題,因此寫出的否命題必須也為真命題才行.否命題應該為“若ab≠0,則a≠0且b≠0”,假如寫成“若ab≠0,則a≠0或b≠0”的話就錯了.

        2.要寫出命題的否定,關鍵是要找到原有命題中省略的量詞

        命題的否定是對命題p進行直接否定,通常針對的命題p是較為簡單的命題.例如要對命題p:3>2進行否定,當然┐p就是“3不大于2”,也即是“3≤2”.再如,請寫出命題“實數(shù)的絕對值是正數(shù)”的否定,答案是“實數(shù)的絕對值不是正數(shù)”還是“不是實數(shù)的絕對值不是正數(shù)”呢?第二個邏輯上發(fā)生了混亂,這可不是對命題進行否定,是不對的;第一個從邏輯關系上來講是對的,但寫法不太規(guī)范.究竟該怎樣才好呢?較為科學的做法是先找到原有命題中省略的量詞“任意”或“存在”.具體到這道題而言,命題“實數(shù)的絕對值是正數(shù)”是指“任意實數(shù)的絕對值是正數(shù)”還是指“存在實數(shù)的絕對值是正數(shù)”?顯然指的是前者,這是一個全稱命題,即p:“任意實數(shù)的絕對值都是正數(shù)”,那么它的否定應該是一個存在性命題,┐p:“存在一個實數(shù),它的絕對值不是正數(shù)”.

        寫命題p的否定形式,不能一概在關鍵詞前加“不”,而要搞清這個命題研究的對象是個體還是全體.如果研究的對象是個體,只須將“是”改成“不是”,將“不是”改成“是”即可.如果命題研究的對象不是一個個體,就不能這樣簡單地處理了,而要分清命題是全稱命題還是存在性命題.因此,在表述一個命題的否定形式的時候,不僅“是”與“不是”要發(fā)生變化,有關命題的關鍵詞也應發(fā)生相應的變化,建議大家將常見關鍵詞及其否定形式做個統(tǒng)計分類,制成表格,以加深印象.

        命題p與它的否定┐p的真假性一定相反,即命題p為真,┐p一定為假;命題p為假,┐p一定為真.利用其中的邏輯關系,有時可以簡化解題過程.

        例4已知命題p:“?x∈R,ax2-2ax-3>0”是假命題,求實數(shù)a的取值范圍.

        分析本題若直接求解則較為繁難,由于該命題是存在性命題,因此依據(jù)上述全稱命題與存在性命題的關系,將該命題的否定形式寫出,依據(jù) “命題真,其否定假;命題假,其否定真”可推知其否定形式必為真命題,從而求出滿足題設要求的實數(shù)a的取值范圍.

        解因命題p:?x∈R,ax2-2ax-3>0的否定形式為┐p:?x∈R,ax2-2ax-3≤0恒成立,由“命題真,其否定假;命題假,其否定真”可知命題┐p是真命題.事實上,當a=0時,對任意的x∈R,不等式-3≤0恒成立;當a≠0時,借助二次函數(shù)的圖象,數(shù)形結(jié)合,很容易知道:不等式ax2-2ax-3≤0恒成立的等價條件是a<0且其判別式Δ=4a2+12a≤0,即-3≤a<0.綜合以上兩種情形可知:┐p為真命題時,所求實數(shù)a的取值范圍是-3≤a≤0,即命題p是假命題時,所求實數(shù)a的取值范圍是[-3,0].

        點評這里巧妙地借助全稱命題與存在性命題的關系及真假的判定,將較為困難的問題等價轉(zhuǎn)化為“在一個不等式ax2-2ax-3≤0恒成立的條件下,求實數(shù)a的取值范圍”,使問題得到了巧妙的化歸與轉(zhuǎn)化,達到了化難為易,避繁就簡的目的.

        3.當“否命題”與“命題的否定”碰面時,關鍵是各行其道

        “否命題”與“命題的否定”這兩個概念是在不同的層面上研究問題時所出現(xiàn)的,它們一般是不會碰面的.但是也需要注意一些特殊的情況下,既需要寫出一個命題的否命題,也需要對它進行否定.這時怎么辦好呢?一言以蔽之,各行其道就行了.

        例5已知命題“對頂角相等”,試寫出它的否命題以及該命題的否定,并分別判斷它們的真假性.

        分析寫否命題前,先將原命題改為“若p則q”的形式.命題“對頂角相等”怎么表述呢?“若兩個角是對頂角,則它們相等”,這樣否命題寫成“若兩個角不是對頂角,則它們不相等”就行了;要對它進行否定之前,先看看原命題可以加上什么量詞,是“任意”還是“存在”?發(fā)現(xiàn)命題“對頂角相等”是全稱命題,可以改為“任意兩個對頂角相等”,這樣它的否定是存在性命題,寫成“存在兩個對頂角,它們不相等”就行了.在該題中,否命題以及命題的否定均為假命題.

        例6已知命題“若x≥1,則x2≥1”,試寫出它的否命題以及該命題的否定,并分別判斷它們的真假性.

        分析否命題為“若x<1,則x2<1”,是假命題;要對它進行否定之前,先將原命題變?yōu)椤?x≥1,x2≥1”,這樣它的否定即為“?x≥1,使x2<1”,該命題是假命題.

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