王志偉，王風(fēng)杰，狄長春，石志勇，楊功流

1.陸軍工程大學(xué) 石家莊校區(qū)，石家莊 050003 2.63870部隊，華陰 714200 3.北京航空航天大學(xué) 儀器與光電工程學(xué)院，北京 100083

初始對準(zhǔn)的精度和實(shí)時性決定了慣性系統(tǒng)的導(dǎo)航效果[1-3]。隨著對導(dǎo)航精度要求的不斷提高，在小失準(zhǔn)角條件下的線性系統(tǒng)模型不再適用[4-6]。近年來非線性濾波方法不斷涌現(xiàn)，在濾波的過程中需要建立非線性誤差模型，但是造成系統(tǒng)非線性的原因復(fù)雜多變，建模過程既不準(zhǔn)確又浪費(fèi)時間。文獻(xiàn)[7-8]將非線性模型線性化，利用卡爾曼濾波(KF)直接處理，但是導(dǎo)致了濾波維數(shù)增加，不僅增大了計算量，而且使得各個狀態(tài)變量之間產(chǎn)生耦合和約束。為此出現(xiàn)了基于概率分布的濾波方法，如粒子濾波(PF)、無跡卡爾曼濾波(UKF)等，但是PF自身存在一些無法避免的問題，如粒子退化、樣本貧化以及計算量大等[9]，而UKF一般不適用于狀態(tài)非高斯分布的系統(tǒng)模型，限制了其適用范圍[10]。目前，各種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法被用于導(dǎo)航過程中，但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有一個致命的弱點(diǎn)，就是容易陷入局部極小點(diǎn)，并且需要依靠耗時的迭代算法來實(shí)現(xiàn)，不僅訓(xùn)練時間長，而且算法精度有待提高[11-12]。

另外，現(xiàn)階段大部分初始對準(zhǔn)方法需要依次進(jìn)行粗對準(zhǔn)和精對準(zhǔn)，不僅耗時，而且要在靜止的條件下進(jìn)行，使載體的機(jī)動性大打折扣[13-15]。

快速正交搜索(Fast Orthogonal Search, FOS)算法有效避免了上述問題的發(fā)生，F(xiàn)OS算法是由美國學(xué)者Korenberg在1989年提出的[16]，該算法類似于有導(dǎo)師的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，需要已知的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，并通過最大限度地減小估計量和訓(xùn)練量之間的均方誤差實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計。相比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，F(xiàn)OS算法不需要頻繁的迭代過程，而是通過一次迭代就能確定出合適的系統(tǒng)模型項。相比傳統(tǒng)的最小二乘方法，通過FOS算法所建立的系統(tǒng)模型中包含更少的模型項，這就大大減小了噪聲的干擾，提高了估計精度[17-20]。目前，F(xiàn)OS算法在許多領(lǐng)域中已有應(yīng)用，包括信號壓縮、磁共振成像、正電子發(fā)射斷層掃描、非線性系統(tǒng)控制以及基因識別技術(shù)等，但是FOS算法尚未在導(dǎo)航領(lǐng)域應(yīng)用。

現(xiàn)階段在有衛(wèi)星信號輔助的情況下，炮載導(dǎo)航系統(tǒng)初始對準(zhǔn)可以達(dá)到很高的精度。但是在遮蔽的情況下衛(wèi)星信號不穩(wěn)定，并且在戰(zhàn)場環(huán)境下有多種手段和方法可以屏蔽衛(wèi)星信號，使衛(wèi)星信號在數(shù)個小時內(nèi)不可用。為了使慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在沒有衛(wèi)星信號情況下的初始對準(zhǔn)能達(dá)到較高的精度，本文將結(jié)合KF和FOS兩種算法，提出了FOS/ KF組合估計方法?？紤]到衛(wèi)星信號不可用的情況是在較短時間內(nèi)，大部分時間段衛(wèi)星信號是可用的，所以，在有衛(wèi)星信號的情況下，利用FOS算法、衛(wèi)星信息以及KF的預(yù)測值進(jìn)行訓(xùn)練，建立起當(dāng)前非線性模型。然后，當(dāng)衛(wèi)星信號因?yàn)榉N種原因不可用時，利用訓(xùn)練好的非線性模型進(jìn)行初始對準(zhǔn)和自主導(dǎo)航。整個過程可以在載體機(jī)動的情況下進(jìn)行，簡化了對準(zhǔn)過程，有效提高了載體機(jī)動性。

1 大方位失準(zhǔn)角誤差模型

設(shè)水平失準(zhǔn)角δp、δr為小角度，方位失準(zhǔn)角δA為任意角度。

速度和姿態(tài)誤差變?yōu)?/p>

(1)

(2)

由于捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)在對準(zhǔn)的過程中既包含了線性部分又包含了非線性部分，所以狀態(tài)空間模型建立如下

(3)

(4)

在大失準(zhǔn)角對準(zhǔn)過程中，非線性狀態(tài)變量僅為方位角，令經(jīng)過KF估計過后的剩余非線性失準(zhǔn)角為ΔA,航位推算所得的方位角為AINS,KF估計得到的方位失準(zhǔn)角為δAKF,經(jīng)過GPS量測所得的方位角為AGPS,由于衛(wèi)星量測精度較高，這里認(rèn)為AGPS為標(biāo)準(zhǔn)值。以上變量的關(guān)系為

ΔA=AINS-AGPS-δAKF

(5)

從式(5)可看出，ΔA中包含了幾乎所有原因造成的系統(tǒng)非線性誤差，若能對ΔA進(jìn)行高精度估計，則可有效消除系統(tǒng)非線性帶來的導(dǎo)航誤差。為了對剩余非線性失準(zhǔn)角進(jìn)行有效估計，特提出了FOS/KF非線性參數(shù)估計方法。

2 快速正交搜索

2.1 系統(tǒng)模型

非線性系統(tǒng)可表示為

y(n)=

F[y(n-1),y(n-2),…,y(n-K),

x(n),x(n-1),…,x(n-L)]+ε(n)

(6)

式中：F為非線性函數(shù)；x(n-L)為系統(tǒng)輸入；y(n-K)為系統(tǒng)輸出；ε(n)為噪聲；1

非線性系統(tǒng)式(6)可被表示為

(7)

式中：P0(n)=1,Pm(n)為任意階次的候選函數(shù)，由式(6)中系統(tǒng)右側(cè)的輸入、輸出或者其向量積組成；am為各個候選函數(shù)的權(quán)值系數(shù)；M為模型中最終選出的候選函數(shù)個數(shù)(需要人工設(shè)定)。

Pm(n)=y(n-k1)y(n-k2)…y(n-ki)·

x(n-l1)x(n-l2)…x(n-li)

(8)

式中：m≥1；1≤k1≤K,1≤k2≤K, …, 1≤ki≤K;0≤l1≤L, 0≤l2≤L, …, 0≤lj≤L;i≥0、j≥0分別為系統(tǒng)輸入和輸出的維數(shù)；系統(tǒng)的均方誤差MSE可表示為

(9)

式(9)中變量上面的直線表示取從n=N0到n=N的平均值。該算法的核心原則就是根據(jù)均方誤差的大小來確定系統(tǒng)模型項Pm(n)。

2.2 詳細(xì)搜索過程

將式(7)中的系統(tǒng)進(jìn)行Gram-Schmidt(GS)正交化得到

(10)

式中：gm為wm(n)的權(quán)值系數(shù)；wm(n)為Pm(n)經(jīng)過GS正交化得到的函數(shù)序列；正交化過程為

(11)

(12)

此時，均方誤差和正交權(quán)值系數(shù)變?yōu)?/p>

(13)

(14)

最大的Qm所對應(yīng)的候選函數(shù)Pm(n)被選為模型項，將所選模型項加入到模型中后，均方誤差為MSEm=MSEm-1-Qm,稱MSEm為剩余均方誤差。顯然，F(xiàn)OS篩選原則就是選出對均方誤差影響最大的候選函數(shù)作為模型項。在挑選出每一個模型項后，將其從候選函數(shù)中去除，然后在剩余的候選函數(shù)中繼續(xù)進(jìn)行篩選，直到完成搜索。

完成搜索的條件有3個：

1) 當(dāng)剩余均方誤差MSEm足夠小時完成搜索。

2) 當(dāng)誤差模型項達(dá)到設(shè)定上限時完成搜索。

3) 當(dāng)剩余候選函數(shù)不能使均方誤差產(chǎn)生足夠大的減小量時完成搜索。

當(dāng)搜索完成后，利用αm r和gm計算出與所選模型項對應(yīng)的權(quán)值系數(shù)am,過程為

(15)

綜上，F(xiàn)OS的基本原理可以定義為：利用GS正交化方法建立正交系數(shù)αm r,然后利用αm r計算權(quán)值系數(shù)gm,并根據(jù)對均方誤差影響最大的原則選出候選函數(shù)Pm(n),最后將對應(yīng)的gm與系統(tǒng)輸出y(n)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，計算出正交化之前的權(quán)值系數(shù)am。

如果利用GS正交化逐個計算wm(n),會耗費(fèi)很大的存儲空間和計算時間。為了避免上述問題的發(fā)生，F(xiàn)OS在計算過程中僅對正交系數(shù)αmr進(jìn)行計算。

類比式(11)定義函數(shù)D(m,r)和C(m),如式(16)和式(19)所示，表示Pm(n)、wr(n)和y(n)三者之間的關(guān)系為

(16)

(17)

(18)

式中：m=1,2,…,M;r=1,2,…,m。

(19)

(20)

將αm r、gm和MSE的減小量Qm重新表示為

(21)

(22)

m=1,2,…,M;r=1,2,…,m

(23)

顯然，F(xiàn)OS在不需要逐個計算正交函數(shù)wm(n)的情況下，也可以利用正交空間得出系統(tǒng)輸出y(n)。

FOS簡要計算過程如下：

1) 將候選函數(shù)序列Pm(n)正交化，得到正交序列wm(n)。

2) 計算所得正交序列wm(n)的權(quán)值系數(shù)gm、正交系數(shù)αm r和MSE的減小量Qm,對Qm進(jìn)行篩選，選出最大的Qm所對應(yīng)的候選函數(shù)Pm(n)作為模型項，并將其在候選函數(shù)序列中去除。

3) 重復(fù)1)和2)直到滿足搜索完成的條件為止。

4) 計算正交化之前的權(quán)值系數(shù)am,構(gòu)建系統(tǒng)模型。

相比數(shù)學(xué)方法，F(xiàn)OS更加直接地作用于誤差參數(shù)本身。在有衛(wèi)星信號的時候，多種信息可以在線訓(xùn)練FOS。同時，以均方誤差為標(biāo)準(zhǔn)，選取合適的候選函數(shù)，使得FOS能夠準(zhǔn)確地感知出誤差項及其權(quán)重系數(shù)。這樣，盡管訓(xùn)練時間很短，F(xiàn)OS依舊可以在沒有先驗(yàn)信息的情況下較好地反映出當(dāng)前誤差模型的主要特征。與其他方法不同的是，F(xiàn)OS無需模擬動態(tài)非線性系統(tǒng)，而是根據(jù)模型項的權(quán)重以數(shù)學(xué)模型的形式將其表示出來，并利用所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型在線更新非線性系統(tǒng)模型。如此，通過FOS構(gòu)建的系統(tǒng)模型可以保證在動態(tài)條件下的估計精度。另外，只要能保證訓(xùn)練數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，無論失去衛(wèi)星信號的時間長與短，F(xiàn)OS都可以提供高精度的估計結(jié)果。

3 FOS/KF組合估計方法

在導(dǎo)航解算過程中加入FOS算法，首先利用KF對系統(tǒng)的線性誤差進(jìn)行估計，然后利用FOS估計出剩余系統(tǒng)非線性誤差，形成了FOS/KF方法。通過第2節(jié)的分析可知，式(5)中的剩余非線性失準(zhǔn)角ΔA中包含了幾乎所有原因造成的系統(tǒng)非線性誤差，所以這里利用FOS算法對ΔA進(jìn)行估計。各個誤差項的關(guān)系如式(5)所示。

整個過程分為2個階段，第1個階段是模型訓(xùn)練階段，在GPS信息可用時進(jìn)行，目的是通過外部高精度信息對系統(tǒng)進(jìn)行訓(xùn)練，得到由多個候選函數(shù)pm(n)組成的系統(tǒng)模型；第2個階段是估計階段，GPS信息不可用時進(jìn)行，利用在模型訓(xùn)練階段訓(xùn)練好的系統(tǒng)模型進(jìn)行相應(yīng)的參數(shù)估計。

3.1 模型訓(xùn)練階段

當(dāng)GPS信息可用時，將式(5)得出的剩余非線性失準(zhǔn)角ΔA作為輸出，將KF預(yù)測值作為輸入，組成一組訓(xùn)練值，進(jìn)行模型訓(xùn)練，訓(xùn)練流程如圖1所示。

圖1中：PINS、VINS和θINS為航位推算得到的位置、速度、姿態(tài)信息;PGPS、VGPS和θGPS為GPS量測信息;δPKF、δVKF和δθKF為卡爾曼濾波的估計值。

為對應(yīng)第2節(jié)中的各個變量，令輸入維數(shù)i=9,輸出維數(shù)j=3,采樣次數(shù)N=500,M=30,N0=5。

候選函數(shù)總的個數(shù)約為80 000,最大候選函數(shù)個數(shù)為30，建模平均耗時0.418 7 s，建模最大耗時0.631 2 s。

圖1 模型訓(xùn)練流程
Fig.1 Flowchart of model training

3.2 預(yù)測階段

當(dāng)失去GPS信號時，系統(tǒng)不能直接求得精確的剩余非線性失準(zhǔn)角ΔA,此時以KF的估計值δPKF、δVKF和δθKF為輸入，利用模型訓(xùn)練階段訓(xùn)練好的系統(tǒng)模型輸出剩余非線性失準(zhǔn)角ΔA,并將剩余非線性失準(zhǔn)角ΔA、航位推算得到的姿態(tài)AINS、KF濾波得到的姿態(tài)誤差δAKF按照A=AINS-ΔA-δAKF的關(guān)系進(jìn)行解算，最終得到當(dāng)前準(zhǔn)確姿態(tài)信息A,誤差預(yù)測流程如圖2所示。

圖2 誤差預(yù)測流程
Fig.2 Flowchart of error prediction

4 仿真分析

為了驗(yàn)證FOS/KF方法的正確性，分別用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)和FOS/KF兩種方法對大/小失準(zhǔn)角進(jìn)行濾波，在濾波階段EKF采用衛(wèi)星所提供的速度信息。由于水平失準(zhǔn)角的收斂速度和精度都很高，所以這里只對方位失準(zhǔn)角進(jìn)行仿真對比。

4.1 靜基座對準(zhǔn)

在靜基座條件下，設(shè)定仿真時間為600 s，大方位失準(zhǔn)角為30°，小方位失準(zhǔn)角為1°，在兩種條件下分別進(jìn)行3次仿真。仿真結(jié)果如圖3和表1所示，其中圖3(a)為小方位失準(zhǔn)角情況下兩種方法的第1次仿真結(jié)果，圖3(b)為大方位失準(zhǔn)角情況下兩種方法的第1次仿真結(jié)果。

從圖3中可看出，EKF的收斂時間為80 s左右，而FOS/KF方法的收斂時間可以保持在30 s以內(nèi)，收斂速度和收斂精度都遠(yuǎn)優(yōu)于EKF。

由表1中結(jié)果可看出，在小失準(zhǔn)角的情況下，兩種方法的誤差都很小，都可以達(dá)到較高的對準(zhǔn)精度。在大失準(zhǔn)角的情況下，EKF的誤差顯著增大，已不能滿足精對準(zhǔn)的需求，而FOS/KF方法依然保持了較高的估計精度。

圖3 靜基座條件下方位失準(zhǔn)角誤差
Fig.3 Azimuth misalignment angle error under condition of stationary base

方法均方根誤差方位失準(zhǔn)角為30°方位失準(zhǔn)角為1°第1次第2次第3次第1次第2次第3次EKF1.033419652.424837550.83054310.07387010.035442100.03427545FOS/KF0.018444750.012973950.00606380.00731440.002878550.00241010

4.2 動基座對準(zhǔn)

在動基座條件下，仿真時間與靜基座相同，依舊對大方位失準(zhǔn)角30°和小方位失準(zhǔn)角1°進(jìn)行3次仿真。圖4為模擬跑車路徑，在路徑中包含了靜止、加速、勻速、減速、直線和曲線等運(yùn)動方式。仿真結(jié)果如圖5和表2所示，圖5分為小方位失準(zhǔn)角和大方位失準(zhǔn)角時的失準(zhǔn)角誤差的第1次仿真結(jié)果。

圖4 仿真路徑
Fig.4 Simulation path

從圖5可看出，EKF的收斂時間為200 s，而FOS/KF方法的收斂時間可以保持在80 s以內(nèi)，F(xiàn)OS/KF方法的收斂速度和收斂精度都有較大優(yōu)勢，這與靜基座條件下的仿真結(jié)果基本一致。但是仿真結(jié)果的收斂效果均不如靜基座條件下的平滑，這是因?yàn)樵谛羞M(jìn)間對準(zhǔn)過程中許多參數(shù)是時變的，這對對準(zhǔn)結(jié)果會造成影響。

由表2中的結(jié)果可看出，在小失準(zhǔn)角的情況下，兩種方法的誤差都很小，都可以達(dá)到較高的對準(zhǔn)精度。在大失準(zhǔn)角的情況下，EKF的誤差顯著增大，與靜基座條件下的仿真結(jié)果一致。

對比表1和表2中結(jié)果，在進(jìn)行大失準(zhǔn)角對準(zhǔn)時，由于行進(jìn)間對準(zhǔn)的過程中基座是運(yùn)動的，以及在仿真過程中加入了加大的干擾項，所以失準(zhǔn)角誤差普遍比靜基座條件下的結(jié)果偏大；在進(jìn)行小失準(zhǔn)角對準(zhǔn)時，失準(zhǔn)角誤差基本與靜基座條件下的仿真結(jié)果在同一數(shù)量級上，說明基座的運(yùn)動對大失準(zhǔn)角對準(zhǔn)的影響大，對小失準(zhǔn)角對準(zhǔn)的影響小。另外，無論基座運(yùn)動與否，EKF在進(jìn)行大失準(zhǔn)角對準(zhǔn)時已不能滿足精對準(zhǔn)的需求，而FOS/KF方法依然保持了較高的估計精度，說明在大失準(zhǔn)角的情況下進(jìn)行初始對準(zhǔn)，F(xiàn)OS/KF方法仍然適用，并且不需要事先進(jìn)行粗對準(zhǔn)。

圖5 動基座條件下方位失準(zhǔn)角誤差
Fig.5 Azimuth misalignment angle error under condition of moving base

方法均方根誤差方位失準(zhǔn)角為30°方位失準(zhǔn)角為1°第1次第2次第3次第1次第2次第3次EKF1.624192982.83486712.54428790.05324720.03902470.0778219FOS/KF0.035057720.06385430.01657120.00134250.00732520.0057634

5 實(shí)車試驗(yàn)

為了對所提方法進(jìn)行充分驗(yàn)證，整個試驗(yàn)被分為11個階段，進(jìn)行11次重復(fù)驗(yàn)證，每個階段時長為800 s，前500 s所采集的數(shù)據(jù)為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后300 s采集的數(shù)據(jù)為驗(yàn)證數(shù)據(jù)，整個試驗(yàn)過程時長12 329 s。

圖6為跑車的詳細(xì)數(shù)據(jù)，包括跑車路徑、車速以及跑車?yán)锍痰刃畔?，圖7為炮載慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(采樣頻率為100 Hz)，圖8為自行火炮外部搭載的GPS天線(采樣頻率為1 Hz)和電臺天線，圖9為位于火炮內(nèi)部的數(shù)據(jù)處理設(shè)備。

從圖6中速度數(shù)據(jù)可明顯看出車輛每隔一段時間就會停止一次，停止過后進(jìn)行下一次數(shù)據(jù)采集，一共11次。

圖10為事后從北斗雙天線測姿系統(tǒng)中提取的真實(shí)方位角數(shù)據(jù)，用來計算11個階段的方位角誤差，計算結(jié)果如圖11、圖12和表3所示。

由于每個階段跑車環(huán)境是不斷變化的，所以跑車過程中系統(tǒng)非線性的程度也在不斷變化，故從圖11和圖12可看出EKF的估計誤差隨著系統(tǒng)非線性程度的變化而變化，而FOS/KF方法的估計誤差比較平穩(wěn)，基本不隨系統(tǒng)非線性程度變化，說明FOS/KF方法受外界環(huán)境的影響小，針對線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)有同等的估計效力。

從表3中的數(shù)據(jù)可看出，在整個試驗(yàn)中EKF最大的估計誤差達(dá)到14.99°，最小值為2.51°，平均誤差為4.89°，不僅受環(huán)境的影響較大，而且其估計精度遠(yuǎn)不能達(dá)到初始對準(zhǔn)的要求。FOS/KF在各種工況下可以將方位誤差角控制在0.8°以內(nèi)，并且總體變化不大，能較好地適應(yīng)各種跑車環(huán)境。

試驗(yàn)結(jié)果表明，在誤差參數(shù)和非線性程度時變的情況下， FOS/KF可以始終保持較高的對準(zhǔn)精度，對導(dǎo)航和對準(zhǔn)精度的提高有很大幫助。為驗(yàn)證FOS/KF方法對長時間的自主導(dǎo)航仍舊有較大幫助，下一步將會以優(yōu)化訓(xùn)練耗時、探索參數(shù)變化對訓(xùn)練效果的影響為研究方向，完善FOS/KF非線性濾波方法在實(shí)際應(yīng)用中的各項機(jī)理研究。

圖7 炮載慣性導(dǎo)航系統(tǒng)
Fig.7 Gun-board SINS

圖8 GPS天線和電臺電線
Fig.8 GPS antenna and radio antenna

圖9 數(shù)據(jù)處理設(shè)備
Fig.9 Data processing equipment

圖10 真實(shí)方位角
Fig.10 Real azimuth angle

圖11 方位角誤差的最大值
Fig.11 Maximum azimuth angle error

圖12 方位角誤差的均方根
Fig.12 RMS of azimuth angle error

序號方位角誤差/(°)EKFFOS/KFMaxRMSMaxRMS114.9910.930.760.46211.956.260.960.2235.674.600.280.1442.511.690.300.1552.642.110.430.3165.444.190.520.30710.305.090.640.3884.162.191.060.5797.504.940.600.311013.406.231.920.47116.875.561.190.80平均值7.764.890.7872730.37

6 結(jié) 論

1) 在進(jìn)行小失準(zhǔn)角對準(zhǔn)時，失準(zhǔn)角誤差基本與靜基座條件下的仿真結(jié)果在同一數(shù)量級上，說明基座的運(yùn)動對大失準(zhǔn)角對準(zhǔn)的影響大，對小失準(zhǔn)角對準(zhǔn)的影響小。

2) 無論基座的運(yùn)動與否，EKF在進(jìn)行大失準(zhǔn)角對準(zhǔn)時已不能滿足精對準(zhǔn)的需求，而FOS/KF方法依然保持了較高的估計精度，說明在大失準(zhǔn)角的情況下進(jìn)行初始對準(zhǔn)，F(xiàn)OS/KF方法仍然適用，并且不需要事先進(jìn)行粗對準(zhǔn)。

3) 在誤差參數(shù)和非線性程度時變的情況下，F(xiàn)OS/KF方法可以始終保持較高的對準(zhǔn)精度，不隨系統(tǒng)非線性程度的變化而變化。

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