段美君，周荻,*，程大林

1.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，哈爾濱 150001 2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076

臨近空間指高度在20～100 km的空天過渡區(qū)，遠高于傳統(tǒng)防空導彈的防空高度，而又低于彈道導彈防御系統(tǒng)的攔截高度，同時由于空氣稀薄，飛行器可以實現高超聲速機動飛行，打擊突防能力強。因而各軍事大國競相發(fā)展臨近空間飛行器[1-2]，如美國采用超燃沖壓發(fā)動機技術[3]可以驅動類似“乘波者”X-51A尺寸的導彈，在30 km高度以馬赫數Ma為5～6的速度在10～12 min內打擊相距270～320 km的目標。面對臨近空間目標威脅，需要針對其高速機動特性研究相應的防御方法。

動能攔截器[4]技術已在彈道導彈防御系統(tǒng)中得到廣泛應用，如美國地基攔截彈的大氣層外殺傷飛行器(Exoatmospheric Kill Vehicle，EKV)、海基標準-3攔截彈的大氣層外輕型射彈攔截器(Lightweight Exoatomospheric Projectile，LEAP)和末段高空區(qū)域防御的動能殺傷器(Kinetic Kill Vehicle，KKV)等。動能攔截器采用姿軌控發(fā)動機實現姿態(tài)穩(wěn)定和精確末制導，高精度制導律是實現直接碰撞的關鍵技術?？紤]臨近空間目標飛行速度快和機動性強的特點，末制導時間短，因此有必要研究有限時間收斂制導律。

國內外學者很早已開始有限時間收斂制導律的研究[5]。文獻[6]考慮傳統(tǒng)滑模控制只能實現漸進收斂，且由于奇異導致飽和，因而針對攻擊角度約束問題設計了非奇異滑模制導律，以期望的角度攔截靜止、恒定速度或機動目標，均可實現有限時間制導。文獻[7]針對一類連續(xù)非線性系統(tǒng)，選擇滑模面設計了有限時間收斂的滑模制導律，通過調整增益，可實現在期望時間內收斂至平衡點。文獻[8]針對機動目標且機動加速度的界未知的條件下，基于有限時間輸入狀態(tài)穩(wěn)定理論設計了非線性制導律，保證視線(Line of Sight, LOS)角速率有限時間收斂至零的小鄰域內，但需要調整制導律參數才可保證收斂速率。文獻[9]設計了三維條件下的有限時間收斂滑模制導律，為了去除符號函數帶來的抖振，用非線性擾動觀測器估計目標加速度，引入到制導律中抵消目標機動影響。文獻[10]針對機動目標設計了考慮自動駕駛儀一階動態(tài)特性的兩種組合有限時間收斂制導律，一是實現直接碰撞殺傷，二是零化視線角速率；用非線性干擾觀測器在線估計集中不確定性和積分Lyapunov函數避免了虛擬控制微分，仿真驗證了制導律的優(yōu)越性。文獻[11]設計了考慮導彈自動駕駛儀二階動特性的有限時間收斂制導律，補償了自駕儀的動態(tài)延遲，而且避免了視線角速率的高階導數，仿真實現了精確攔截非機動和機動目標。文獻[12]針對三角攔截問題，應用有限時間理論，設計了輸入-輸出有限時間穩(wěn)定控制器。攔截器采用直接側向力穩(wěn)定目標視線，因響應只有幾十毫秒可忽略其延遲對制導律性能的影響；但是輸出推力為常值且垂直于彈體縱軸，因而上述連續(xù)制導律不適用于推力受限的情況。

發(fā)動機可輸出不同寬度的脈沖指令，采用脈沖寬度脈沖頻率(Pulse Width Pulse Frequency，PWPF)調節(jié)器實現數字變推力[13]是一種行之有效的方法，可節(jié)省燃料。文獻[14]針對動能攔截器末制導攔截問題，采用比例制導律，通過PWPF調節(jié)器實現數字變推力，并用遺傳算法優(yōu)化，達到優(yōu)化脫靶量和燃料消耗的目的。文獻[15]針對大氣層外殺傷飛行器，采用非線性干擾觀測器估計目標加速度再設計有限時間收斂制導律；考慮由于末制導相對距離減小，視線角速率變化靈敏，設計了變死區(qū)的PWPF調節(jié)器，并用描述函數法證明了調節(jié)器的穩(wěn)定性，仿真結果表明了此方法在優(yōu)化燃料消耗和脫靶量上的優(yōu)越性。文獻[16]采用粒子群優(yōu)化算法對PWPF調節(jié)器參數進行了微調，對衛(wèi)星姿態(tài)控制問題應用PID控制方法，實現了姿態(tài)的精確控制。文獻[17]針對采用冷氣姿控發(fā)動機的地球低軌道衛(wèi)星設計了模糊PWPF控制器，并與其他方法比較，通過蒙特卡羅仿真驗證了控制器可以節(jié)省燃料。文獻[18]基于PWPF調節(jié)器研究了橢圓軌道非協(xié)同航天器的軌道交會和臨近機動的軌跡規(guī)劃問題，在接近時間和精度滿足要求條件下，減少了燃料消耗。文獻[19]在三維空間航天器軌道轉移任務的制導控制系統(tǒng)設計中，用PWPF調節(jié)器代替了滑模控制器，數字仿真表明了方法的有效性。文獻[20]設計了無人機三軸姿態(tài)穩(wěn)定智能控制方法，用PWPF調節(jié)器實現了內閉環(huán)發(fā)動機控制。PWPF調節(jié)器的參數設計往往基于經驗或智能控制方法優(yōu)化參數，對調節(jié)器的附加延遲和極限環(huán)震蕩問題，并未得到理論解決。

考慮上述研究的不足，本文針對動能攔截器防御臨近空間高速機動目標，設計了有限時間收斂末制導律，基于有限時間理論給出了收斂條件和性質，并推廣到考慮發(fā)動機推力受限的有限時間收斂制導律。對于PWPF調節(jié)器的附加特性，給出了考慮附加延遲時的有限時間收斂條件；為了使視線角速率快速收斂至平衡點，同時考慮發(fā)動機最小工作時間限制，給出了調節(jié)器參數的設計方法。

1 末制導模型

圖1所示為末制導框圖，選擇平面制導模型為研究對象，虛線框內為PWPF調節(jié)器，由一階慣性環(huán)節(jié)、施密特觸發(fā)器和負反饋回路構成，其中Km和Tm為一階慣性環(huán)節(jié)的放大系數和時間常數；Uon和Uoff為繼電器的開啟和關閉閾值；Um為發(fā)動機脈沖推力幅值;U(t)為中間變量。發(fā)動機開關狀態(tài)與觸發(fā)器輸出狀態(tài)保持一致，末制導指令E通過PWPF調制后控制發(fā)動機輸出推力，使視線角速率收斂至零，實現準平行接近法。物理意義上PWPF調制后輸出的脈沖串是對制導指令的近似。

圖1 末制導框圖
Fig.1 Terminal guidance block diagram

1.1 制導模型

(1)

圖2 攔截器和目標的平面相對運動
Fig.2 Planar relative motion of interceptor and target

1.2 PWPF調節(jié)器

由圖1可得U(t)的解析表達式。當發(fā)動機工作在開啟狀態(tài)時,

U(t)=Km(E-Um)(1-e-t1/Tm)+Uone-t1/Tm

0≤t1≤Ton

(2)

當發(fā)動機工作在關閉狀態(tài)時，

U(t)=KmE(1-e-t2/Tm)+Uoffe-t2/Tm

0≤t2≤Toff

(3)

可解得如圖3所示的脈沖延遲時間Td、開啟時間Ton、關閉時間Toff和最小脈沖寬度Δ分別為

(4)

Km(E-Um)≤Uoff

(5)

(6)

(7)

圖3 PWPF調節(jié)器輸出
Fig.3 Output of PWPF modulator

調節(jié)器工作的線性區(qū)間為(Ed,Es),其中

Ed=Uon/Km

(8)

Es=Um+Uoff/Km

(9)

當E>Es時，調節(jié)器工作在飽和區(qū)，發(fā)動機工作在穩(wěn)態(tài)；當Es>E>Ed時，調節(jié)器工作在線性區(qū)，對應常值指令E輸出確定頻率和寬度的脈沖序列；當Ed>E時，調節(jié)器工作在死區(qū)，發(fā)動機不工作。

2 制導律及調節(jié)器設計

2.1 有限時間收斂制導律設計

關于有限時間理論有如下定義和引理，作為研究基礎。

φ(t;t0,x0)=0t>T(x0)

(10)

及當t∈[t0,T(x0))時，φ(t;t0,x0)∈U/{0}。

證明：選取Lyapunov函數

(11)

其導數為

(12)

將式(1)和制導律代入式(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

對式(18)求定積分，且收斂后V1(t)=0,則

(19)

定義tf末制導時間，有R(tf)?R(0),則

(20)

由于攔截器采用直接力控制，無論是固體還是液體發(fā)動機，輸出的推力都只能是一個確定的數值，發(fā)動機輸出脈沖推力，作為控制量是受限的。忽略燃料消耗導致質量減小，推力加速度也為常值，應用準平行接近法，選擇滑模制導律為u=Umsgnx,如定理2為推力受限時制導律的性質。

證明：選取Lyapunov函數

(21)

其導數為

(22)

將式(1)和制導律代入式(22)得

(23)

(24)

(25)

2.2 PWPF調節(jié)器參數設計

PWPF調節(jié)器會帶來附加延遲和極限環(huán)特性，因此有必要基于定理2，研究考慮PWPF調節(jié)器附加延遲時間的可控條件，有如下定理3。

證明：末制導初始時刻t=0,考慮PWPF調節(jié)器存在附加延遲Td,當t

(26)

其中

(27)

代入式(26)，得

x(t)=

(28)

當x(t)>0,aT≥0時為目標逃逸，有‖aT‖≥aT可得

(29)

初始狀態(tài)為

(30)

由式(30)得到常數C,代入式(28)得

(31)

同理，當x(t)<0,aT≤0時為目標逃逸，有-‖aT‖≤aT可得

(32)

初始狀態(tài)為

(33)

由式(33)得到常數C,代入式(32)得

(34)

綜合式(31)和式(34)得

(35)

(36)

根據2.2節(jié)中介紹的PWPF調節(jié)器的線性工作區(qū)可知，在飽和區(qū)時，要求系統(tǒng)狀態(tài)必須可控；在死區(qū)時，視線角速率盡可能收斂至零。關于施密特觸發(fā)器的開啟、關閉閾值設計有如下定理4。

(37)

(38)

綜合式(37)和式(38)得

(39)

根據定理2中可控條件

(40)

綜合式(39)和式(40)得

(41)

對制導系統(tǒng)在tc時刻，指令E=Uon/Km,輸出為最小脈沖寬度Δ。希望在Δ作用下，視線角速率x(tc)恰好收斂至零。與定理3中類似，此時aM=Um,且假設aT=aT(tc),則

(42)

令t=tc得

(43)

代入式(42)消除C得

(44)

令x(tc+Δ)=0得

(45)

代入制導指令，可得

(46)

3 數字仿真及分析

3種制導律下脫靶量和燃料消耗的仿真結果如表2所示，KI在FTCG、PN和SMG 3種制導律下攔截器和目標X-51的飛行彈道和燃料消耗曲線如圖4和圖5所示。為了比較制導律自身的性能，仿真中未加入測量噪聲等誤差。仿真結果表明3種制導方法均可實現直接碰撞，但本文提出的FTCG制導律彈道平直，接近于SMG，但燃料消耗卻顯著減少。

表1 初始參數Table 1 Initial parameters

表2 3種制導率下的仿真結果Table 2 Simulation results obtained by three guidance laws

圖4 攔截器和目標飛行彈道
Fig.4 Flight trajectory of interceptor and target

圖5 攔截器和目標燃料消耗
Fig.5 Fuel cost of interceptor and target

視線俯仰和偏航角速率曲線如圖6和圖7，FTCG保證視線角速率在制導結束前的有限時間收斂至零，且近似線性收斂。PN制導律無法保證其收斂并穩(wěn)定在零附近，因此對應的彈道彎曲。SMG制導律收斂速度快，但其保持在零附近不利于導引頭觀測，且發(fā)動機頻繁開啟增大了對彈體的震動影響。

圖6 視線俯仰角速率
Fig.6 LOS pitching angular rate

圖7 視線偏航角速率
Fig.7 LOS yawing angular rate

圖8 縱向發(fā)動機推力(FTCG)
Fig.8 Pitching engine force (FTCG)

圖9 橫向發(fā)動機推力(FTCG)
Fig.9 Yawing engine force (FTCG)

圖10 縱向發(fā)動機推力(PN)
Fig.10 Pitching engine force (PN)

圖11 橫向發(fā)動機推力(PN)
Fig.11 Yawing engine force(PN)

圖8～圖11為FTCG和PN制導律在PWPF調節(jié)器下的發(fā)動機輸出推力，F1～F4分別代表通過攔截器質心且垂直于彈體軸的4個軌控發(fā)動機推力，其中F1和F3的作用是穩(wěn)定視線俯仰角，F2和F4的作用是穩(wěn)定視線偏航角。SMG制導律由于開關函數將導致發(fā)動機頻繁開啟。其中俯仰通道由于交班條件較差和目標等高度巡航，圖8和圖10相比，本文提出的FTCG制導律和PN制導率，制導指令使調節(jié)器工作在飽和狀態(tài)，對應的發(fā)動機F3在末制導開始階段飽和開啟，對應圖6視線角速率收斂速度增大；隨著時間的增加視線角速率減小，調節(jié)器工作在線性區(qū)，在8 s 前視線角速率均收斂至零；之后由于目標機動逃逸，FTCG制導中的有限時間收斂項‖aT‖sgnx保證視線角速率在零附近變化，實現準平行接近，彈道平直。與PN制導律比較，發(fā)動機工作效率高，且減少了發(fā)動機開關次數。

4 結 論

1) 基于有限時間理論的末制導律，結構簡單，只增加目標機動加速度的界信息，即可實現有限時間收斂，便于工程應用。

2) PWPF調節(jié)器參數設計使其工作狀態(tài)從飽和區(qū)進入到死區(qū)，保證視線角速率收斂速度快且收斂至平衡點；同時考慮了發(fā)動機最小工作時間限制，避免了發(fā)動機頻繁開啟，解決了調節(jié)器附加延遲和極限環(huán)問題。

3) 仿真結果表明，本文提出的FTCG制導律和PWPF調節(jié)器保證視線角速率有限時間收斂至零，之后通過小脈沖限制視線角速率在零附近，彈道平直，制導精度達到0.1 m，燃料消耗顯著減少。

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