段美君，周荻,*，程大林

1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001 2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076

臨近空間指高度在20～100 km的空天過渡區(qū)，遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)防空導(dǎo)彈的防空高度，而又低于彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的攔截高度，同時由于空氣稀薄，飛行器可以實(shí)現(xiàn)高超聲速機(jī)動飛行，打擊突防能力強(qiáng)。因而各軍事大國競相發(fā)展臨近空間飛行器[1-2]，如美國采用超燃沖壓發(fā)動機(jī)技術(shù)[3]可以驅(qū)動類似“乘波者”X-51A尺寸的導(dǎo)彈，在30 km高度以馬赫數(shù)Ma為5～6的速度在10～12 min內(nèi)打擊相距270～320 km的目標(biāo)。面對臨近空間目標(biāo)威脅，需要針對其高速機(jī)動特性研究相應(yīng)的防御方法。

動能攔截器[4]技術(shù)已在彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，如美國地基攔截彈的大氣層外殺傷飛行器(Exoatmospheric Kill Vehicle，EKV)、海基標(biāo)準(zhǔn)-3攔截彈的大氣層外輕型射彈攔截器(Lightweight Exoatomospheric Projectile，LEAP)和末段高空區(qū)域防御的動能殺傷器(Kinetic Kill Vehicle，KKV)等。動能攔截器采用姿軌控發(fā)動機(jī)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)穩(wěn)定和精確末制導(dǎo)，高精度制導(dǎo)律是實(shí)現(xiàn)直接碰撞的關(guān)鍵技術(shù)?？紤]臨近空間目標(biāo)飛行速度快和機(jī)動性強(qiáng)的特點(diǎn)，末制導(dǎo)時間短，因此有必要研究有限時間收斂制導(dǎo)律。

國內(nèi)外學(xué)者很早已開始有限時間收斂制導(dǎo)律的研究[5]。文獻(xiàn)[6]考慮傳統(tǒng)滑?？刂浦荒軐?shí)現(xiàn)漸進(jìn)收斂，且由于奇異導(dǎo)致飽和，因而針對攻擊角度約束問題設(shè)計(jì)了非奇異滑模制導(dǎo)律，以期望的角度攔截靜止、恒定速度或機(jī)動目標(biāo)，均可實(shí)現(xiàn)有限時間制導(dǎo)。文獻(xiàn)[7]針對一類連續(xù)非線性系統(tǒng)，選擇滑模面設(shè)計(jì)了有限時間收斂的滑模制導(dǎo)律，通過調(diào)整增益，可實(shí)現(xiàn)在期望時間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)。文獻(xiàn)[8]針對機(jī)動目標(biāo)且機(jī)動加速度的界未知的條件下，基于有限時間輸入狀態(tài)穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)了非線性制導(dǎo)律，保證視線(Line of Sight, LOS)角速率有限時間收斂至零的小鄰域內(nèi)，但需要調(diào)整制導(dǎo)律參數(shù)才可保證收斂速率。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了三維條件下的有限時間收斂滑模制導(dǎo)律，為了去除符號函數(shù)帶來的抖振，用非線性擾動觀測器估計(jì)目標(biāo)加速度，引入到制導(dǎo)律中抵消目標(biāo)機(jī)動影響。文獻(xiàn)[10]針對機(jī)動目標(biāo)設(shè)計(jì)了考慮自動駕駛儀一階動態(tài)特性的兩種組合有限時間收斂制導(dǎo)律，一是實(shí)現(xiàn)直接碰撞殺傷，二是零化視線角速率；用非線性干擾觀測器在線估計(jì)集中不確定性和積分Lyapunov函數(shù)避免了虛擬控制微分，仿真驗(yàn)證了制導(dǎo)律的優(yōu)越性。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀二階動特性的有限時間收斂制導(dǎo)律，補(bǔ)償了自駕儀的動態(tài)延遲，而且避免了視線角速率的高階導(dǎo)數(shù)，仿真實(shí)現(xiàn)了精確攔截非機(jī)動和機(jī)動目標(biāo)。文獻(xiàn)[12]針對三角攔截問題，應(yīng)用有限時間理論，設(shè)計(jì)了輸入-輸出有限時間穩(wěn)定控制器。攔截器采用直接側(cè)向力穩(wěn)定目標(biāo)視線，因響應(yīng)只有幾十毫秒可忽略其延遲對制導(dǎo)律性能的影響；但是輸出推力為常值且垂直于彈體縱軸，因而上述連續(xù)制導(dǎo)律不適用于推力受限的情況。

發(fā)動機(jī)可輸出不同寬度的脈沖指令，采用脈沖寬度脈沖頻率(Pulse Width Pulse Frequency，PWPF)調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)數(shù)字變推力[13]是一種行之有效的方法，可節(jié)省燃料。文獻(xiàn)[14]針對動能攔截器末制導(dǎo)攔截問題，采用比例制導(dǎo)律，通過PWPF調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)數(shù)字變推力，并用遺傳算法優(yōu)化，達(dá)到優(yōu)化脫靶量和燃料消耗的目的。文獻(xiàn)[15]針對大氣層外殺傷飛行器，采用非線性干擾觀測器估計(jì)目標(biāo)加速度再設(shè)計(jì)有限時間收斂制導(dǎo)律；考慮由于末制導(dǎo)相對距離減小，視線角速率變化靈敏，設(shè)計(jì)了變死區(qū)的PWPF調(diào)節(jié)器，并用描述函數(shù)法證明了調(diào)節(jié)器的穩(wěn)定性，仿真結(jié)果表明了此方法在優(yōu)化燃料消耗和脫靶量上的優(yōu)越性。文獻(xiàn)[16]采用粒子群優(yōu)化算法對PWPF調(diào)節(jié)器參數(shù)進(jìn)行了微調(diào)，對衛(wèi)星姿態(tài)控制問題應(yīng)用PID控制方法，實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)的精確控制。文獻(xiàn)[17]針對采用冷氣姿控發(fā)動機(jī)的地球低軌道衛(wèi)星設(shè)計(jì)了模糊PWPF控制器，并與其他方法比較，通過蒙特卡羅仿真驗(yàn)證了控制器可以節(jié)省燃料。文獻(xiàn)[18]基于PWPF調(diào)節(jié)器研究了橢圓軌道非協(xié)同航天器的軌道交會和臨近機(jī)動的軌跡規(guī)劃問題，在接近時間和精度滿足要求條件下，減少了燃料消耗。文獻(xiàn)[19]在三維空間航天器軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)的制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，用PWPF調(diào)節(jié)器代替了滑?？刂破鳎瑪?shù)字仿真表明了方法的有效性。文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)了無人機(jī)三軸姿態(tài)穩(wěn)定智能控制方法，用PWPF調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)了內(nèi)閉環(huán)發(fā)動機(jī)控制。PWPF調(diào)節(jié)器的參數(shù)設(shè)計(jì)往往基于經(jīng)驗(yàn)或智能控制方法優(yōu)化參數(shù)，對調(diào)節(jié)器的附加延遲和極限環(huán)震蕩問題，并未得到理論解決。

考慮上述研究的不足，本文針對動能攔截器防御臨近空間高速機(jī)動目標(biāo)，設(shè)計(jì)了有限時間收斂末制導(dǎo)律，基于有限時間理論給出了收斂條件和性質(zhì)，并推廣到考慮發(fā)動機(jī)推力受限的有限時間收斂制導(dǎo)律。對于PWPF調(diào)節(jié)器的附加特性，給出了考慮附加延遲時的有限時間收斂條件；為了使視線角速率快速收斂至平衡點(diǎn)，同時考慮發(fā)動機(jī)最小工作時間限制，給出了調(diào)節(jié)器參數(shù)的設(shè)計(jì)方法。

1 末制導(dǎo)模型

圖1所示為末制導(dǎo)框圖，選擇平面制導(dǎo)模型為研究對象，虛線框內(nèi)為PWPF調(diào)節(jié)器，由一階慣性環(huán)節(jié)、施密特觸發(fā)器和負(fù)反饋回路構(gòu)成，其中Km和Tm為一階慣性環(huán)節(jié)的放大系數(shù)和時間常數(shù)；Uon和Uoff為繼電器的開啟和關(guān)閉閾值；Um為發(fā)動機(jī)脈沖推力幅值;U(t)為中間變量。發(fā)動機(jī)開關(guān)狀態(tài)與觸發(fā)器輸出狀態(tài)保持一致，末制導(dǎo)指令E通過PWPF調(diào)制后控制發(fā)動機(jī)輸出推力，使視線角速率收斂至零，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)平行接近法。物理意義上PWPF調(diào)制后輸出的脈沖串是對制導(dǎo)指令的近似。

圖1 末制導(dǎo)框圖
Fig.1 Terminal guidance block diagram

1.1 制導(dǎo)模型

(1)

圖2 攔截器和目標(biāo)的平面相對運(yùn)動
Fig.2 Planar relative motion of interceptor and target

1.2 PWPF調(diào)節(jié)器

由圖1可得U(t)的解析表達(dá)式。當(dāng)發(fā)動機(jī)工作在開啟狀態(tài)時,

U(t)=Km(E-Um)(1-e-t1/Tm)+Uone-t1/Tm

0≤t1≤Ton

(2)

當(dāng)發(fā)動機(jī)工作在關(guān)閉狀態(tài)時，

U(t)=KmE(1-e-t2/Tm)+Uoffe-t2/Tm

0≤t2≤Toff

(3)

可解得如圖3所示的脈沖延遲時間Td、開啟時間Ton、關(guān)閉時間Toff和最小脈沖寬度Δ分別為

(4)

Km(E-Um)≤Uoff

(5)

(6)

(7)

圖3 PWPF調(diào)節(jié)器輸出
Fig.3 Output of PWPF modulator

調(diào)節(jié)器工作的線性區(qū)間為(Ed,Es),其中

Ed=Uon/Km

(8)

Es=Um+Uoff/Km

(9)

當(dāng)E>Es時，調(diào)節(jié)器工作在飽和區(qū)，發(fā)動機(jī)工作在穩(wěn)態(tài)；當(dāng)Es>E>Ed時，調(diào)節(jié)器工作在線性區(qū)，對應(yīng)常值指令E輸出確定頻率和寬度的脈沖序列；當(dāng)Ed>E時，調(diào)節(jié)器工作在死區(qū)，發(fā)動機(jī)不工作。

2 制導(dǎo)律及調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)

2.1 有限時間收斂制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

關(guān)于有限時間理論有如下定義和引理，作為研究基礎(chǔ)。

φ(t;t0,x0)=0t>T(x0)

(10)

及當(dāng)t∈[t0,T(x0))時，φ(t;t0,x0)∈U/{0}。

證明：選取Lyapunov函數(shù)

(11)

其導(dǎo)數(shù)為

(12)

將式(1)和制導(dǎo)律代入式(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

對式(18)求定積分，且收斂后V1(t)=0,則

(19)

定義tf末制導(dǎo)時間，有R(tf)?R(0),則

(20)

由于攔截器采用直接力控制，無論是固體還是液體發(fā)動機(jī)，輸出的推力都只能是一個確定的數(shù)值，發(fā)動機(jī)輸出脈沖推力，作為控制量是受限的。忽略燃料消耗導(dǎo)致質(zhì)量減小，推力加速度也為常值，應(yīng)用準(zhǔn)平行接近法，選擇滑模制導(dǎo)律為u=Umsgnx,如定理2為推力受限時制導(dǎo)律的性質(zhì)。

證明：選取Lyapunov函數(shù)

(21)

其導(dǎo)數(shù)為

(22)

將式(1)和制導(dǎo)律代入式(22)得

(23)

(24)

(25)

2.2 PWPF調(diào)節(jié)器參數(shù)設(shè)計(jì)

PWPF調(diào)節(jié)器會帶來附加延遲和極限環(huán)特性，因此有必要基于定理2，研究考慮PWPF調(diào)節(jié)器附加延遲時間的可控條件，有如下定理3。

證明：末制導(dǎo)初始時刻t=0,考慮PWPF調(diào)節(jié)器存在附加延遲Td,當(dāng)t

(26)

其中

(27)

代入式(26)，得

x(t)=

(28)

當(dāng)x(t)>0,aT≥0時為目標(biāo)逃逸，有‖aT‖≥aT可得

(29)

初始狀態(tài)為

(30)

由式(30)得到常數(shù)C,代入式(28)得

(31)

同理，當(dāng)x(t)<0,aT≤0時為目標(biāo)逃逸，有-‖aT‖≤aT可得

(32)

初始狀態(tài)為

(33)

由式(33)得到常數(shù)C,代入式(32)得

(34)

綜合式(31)和式(34)得

(35)

(36)

根據(jù)2.2節(jié)中介紹的PWPF調(diào)節(jié)器的線性工作區(qū)可知，在飽和區(qū)時，要求系統(tǒng)狀態(tài)必須可控；在死區(qū)時，視線角速率盡可能收斂至零。關(guān)于施密特觸發(fā)器的開啟、關(guān)閉閾值設(shè)計(jì)有如下定理4。

(37)

(38)

綜合式(37)和式(38)得

(39)

根據(jù)定理2中可控條件

(40)

綜合式(39)和式(40)得

(41)

對制導(dǎo)系統(tǒng)在tc時刻，指令E=Uon/Km,輸出為最小脈沖寬度Δ。希望在Δ作用下，視線角速率x(tc)恰好收斂至零。與定理3中類似，此時aM=Um,且假設(shè)aT=aT(tc),則

(42)

令t=tc得

(43)

代入式(42)消除C得

(44)

令x(tc+Δ)=0得

(45)

代入制導(dǎo)指令，可得

(46)

3 數(shù)字仿真及分析

3種制導(dǎo)律下脫靶量和燃料消耗的仿真結(jié)果如表2所示，KI在FTCG、PN和SMG 3種制導(dǎo)律下攔截器和目標(biāo)X-51的飛行彈道和燃料消耗曲線如圖4和圖5所示。為了比較制導(dǎo)律自身的性能，仿真中未加入測量噪聲等誤差。仿真結(jié)果表明3種制導(dǎo)方法均可實(shí)現(xiàn)直接碰撞，但本文提出的FTCG制導(dǎo)律彈道平直，接近于SMG，但燃料消耗卻顯著減少。

表1 初始參數(shù)Table 1 Initial parameters

表2 3種制導(dǎo)率下的仿真結(jié)果Table 2 Simulation results obtained by three guidance laws

圖4 攔截器和目標(biāo)飛行彈道
Fig.4 Flight trajectory of interceptor and target

圖5 攔截器和目標(biāo)燃料消耗
Fig.5 Fuel cost of interceptor and target

視線俯仰和偏航角速率曲線如圖6和圖7，F(xiàn)TCG保證視線角速率在制導(dǎo)結(jié)束前的有限時間收斂至零，且近似線性收斂。PN制導(dǎo)律無法保證其收斂并穩(wěn)定在零附近，因此對應(yīng)的彈道彎曲。SMG制導(dǎo)律收斂速度快，但其保持在零附近不利于導(dǎo)引頭觀測，且發(fā)動機(jī)頻繁開啟增大了對彈體的震動影響。

圖6 視線俯仰角速率
Fig.6 LOS pitching angular rate

圖7 視線偏航角速率
Fig.7 LOS yawing angular rate

圖8 縱向發(fā)動機(jī)推力(FTCG)
Fig.8 Pitching engine force (FTCG)

圖9 橫向發(fā)動機(jī)推力(FTCG)
Fig.9 Yawing engine force (FTCG)

圖10 縱向發(fā)動機(jī)推力(PN)
Fig.10 Pitching engine force (PN)

圖11 橫向發(fā)動機(jī)推力(PN)
Fig.11 Yawing engine force(PN)

圖8～圖11為FTCG和PN制導(dǎo)律在PWPF調(diào)節(jié)器下的發(fā)動機(jī)輸出推力，F(xiàn)1～F4分別代表通過攔截器質(zhì)心且垂直于彈體軸的4個軌控發(fā)動機(jī)推力，其中F1和F3的作用是穩(wěn)定視線俯仰角，F(xiàn)2和F4的作用是穩(wěn)定視線偏航角。SMG制導(dǎo)律由于開關(guān)函數(shù)將導(dǎo)致發(fā)動機(jī)頻繁開啟。其中俯仰通道由于交班條件較差和目標(biāo)等高度巡航，圖8和圖10相比，本文提出的FTCG制導(dǎo)律和PN制導(dǎo)率，制導(dǎo)指令使調(diào)節(jié)器工作在飽和狀態(tài)，對應(yīng)的發(fā)動機(jī)F3在末制導(dǎo)開始階段飽和開啟，對應(yīng)圖6視線角速率收斂速度增大；隨著時間的增加視線角速率減小，調(diào)節(jié)器工作在線性區(qū)，在8 s 前視線角速率均收斂至零；之后由于目標(biāo)機(jī)動逃逸，F(xiàn)TCG制導(dǎo)中的有限時間收斂項(xiàng)‖aT‖sgnx保證視線角速率在零附近變化，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)平行接近，彈道平直。與PN制導(dǎo)律比較，發(fā)動機(jī)工作效率高，且減少了發(fā)動機(jī)開關(guān)次數(shù)。

4 結(jié) 論

1) 基于有限時間理論的末制導(dǎo)律，結(jié)構(gòu)簡單，只增加目標(biāo)機(jī)動加速度的界信息，即可實(shí)現(xiàn)有限時間收斂，便于工程應(yīng)用。

2) PWPF調(diào)節(jié)器參數(shù)設(shè)計(jì)使其工作狀態(tài)從飽和區(qū)進(jìn)入到死區(qū)，保證視線角速率收斂速度快且收斂至平衡點(diǎn)；同時考慮了發(fā)動機(jī)最小工作時間限制，避免了發(fā)動機(jī)頻繁開啟，解決了調(diào)節(jié)器附加延遲和極限環(huán)問題。

3) 仿真結(jié)果表明，本文提出的FTCG制導(dǎo)律和PWPF調(diào)節(jié)器保證視線角速率有限時間收斂至零，之后通過小脈沖限制視線角速率在零附近，彈道平直，制導(dǎo)精度達(dá)到0.1 m，燃料消耗顯著減少。

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