陳森林，高正紅，饒丹

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

當(dāng)流場(chǎng)出現(xiàn)激波、流動(dòng)分離、漩渦等復(fù)雜流動(dòng)時(shí)，氣動(dòng)力將呈現(xiàn)明顯的非線性非定常遲滯特性[1]，此時(shí)氣動(dòng)力不僅取決于當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)還與它們的時(shí)間歷程有關(guān)[2]，對(duì)于這種非定常氣動(dòng)力，傳統(tǒng)的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)建模方法已經(jīng)很難適用[3]。雖然CFD數(shù)值計(jì)算能提供非定常氣動(dòng)力，但當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程改變需要重新計(jì)算時(shí)耗費(fèi)巨大，另一個(gè)重要問(wèn)題在于僅有大量數(shù)值數(shù)據(jù)而無(wú)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，難以對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，因此建立能夠準(zhǔn)確描述非線性與非定常特性的氣動(dòng)力模型對(duì)于諸如飛行仿真、氣動(dòng)彈性等問(wèn)題的研究非常重要。

關(guān)于非定常氣動(dòng)力建模已經(jīng)提出了很多方法[4-8]，其中Volterra級(jí)數(shù)[9]是由意大利數(shù)學(xué)家Volterra提出的描述非線性時(shí)不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，近年來(lái)在應(yīng)用于氣動(dòng)力建模方面有一些學(xué)者進(jìn)行了研究[10-14]。Volterra級(jí)數(shù)方法作為一種級(jí)數(shù)模型，其對(duì)系統(tǒng)非線性特性的描述能力隨著所包含項(xiàng)數(shù)的增加而提高，但已有研究大多僅采用了一階核[10]或截?cái)嗟亩A核[14]，因此這些方法只適用于具有線性或弱非線性的氣動(dòng)力建模，難以進(jìn)行非線性較強(qiáng)的氣動(dòng)力建模，例如對(duì)阻力系數(shù)就無(wú)法給出適用的模型。很少采用二階核甚至更高階核的原因在于高階核的辨識(shí)困難，例如基于脈沖法的二階核辨識(shí)就非常復(fù)雜繁瑣[11-13]。由于待辨識(shí)參數(shù)的數(shù)量隨著核階次的增加而呈指數(shù)增加，當(dāng)引入級(jí)數(shù)中高階核時(shí)會(huì)引發(fā)由于求解高維病態(tài)方程組導(dǎo)致的所謂維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題。本文利用多小波基函數(shù)的多分辨分析特點(diǎn)，構(gòu)建了將高維病態(tài)方程組降維的方法，克服了維數(shù)災(zāi)難，實(shí)現(xiàn)了跨聲速區(qū)氣動(dòng)力的二階核和三階核辨識(shí)，成功將Volterra級(jí)數(shù)應(yīng)用于較強(qiáng)非線性氣動(dòng)力建模。

本文以Prazenica和Kurdila[15]提出的多小波為基函數(shù)將Volterra核展開(kāi)，利用多小波在時(shí)間和頻率的多分辨特性，將核函數(shù)在不同頻率下分解，并在不同頻率僅保留高影響量，成功將高維方程組降維,大幅降低了待辨識(shí)參數(shù)的數(shù)量，最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)低維方程組并得到穩(wěn)定解。最后通過(guò)對(duì)NACA0012翼型在跨聲速下作沉浮運(yùn)動(dòng)時(shí)升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的預(yù)測(cè)，驗(yàn)證了Volterra級(jí)數(shù)對(duì)非線性非定常氣動(dòng)力的描述能力。

1 Volterra級(jí)數(shù)

1.1 基本理論

Volterra級(jí)數(shù)理論指出[16]，對(duì)于非線性時(shí)不變的單輸入單輸出系統(tǒng)，輸入輸出之間的關(guān)系可由多維卷積的無(wú)窮和表示，即

(1)

式中：t為時(shí)間；u(t)為系統(tǒng)輸入；y(t)為對(duì)應(yīng)的輸出；y0為定常狀態(tài)的響應(yīng)值；hn(τ1,τ2,…,τn)為n階Volterra核，也是一維單位脈沖響應(yīng)在高維空間的推廣。若已知各階核，系統(tǒng)對(duì)于輸入的響應(yīng)可由式(1)計(jì)算得到。不失一般性，通常假定高階核hn(n≥2)滿足對(duì)稱性，即hn(τ1,τ2,…,τn)=hn(τπ(1),τπ(2),…,τπ(n)),π(1),π(2),…,π(n)是1,2,…,n的所有排列[16]。

Silva[11]的研究表明,對(duì)于線性系統(tǒng)Volterra級(jí)數(shù)的高階核hn(n≥2)均為零，僅一階核h1就能完全描述系統(tǒng)特性，即

(2)

對(duì)于非線性系統(tǒng)，一階核反映了系統(tǒng)的線性部分，而高階核代表了系統(tǒng)的非線性影響。盡管Volterra級(jí)數(shù)是無(wú)窮項(xiàng)的和，但對(duì)于真實(shí)物理系統(tǒng)，其非線性影響隨核階次的增加迅速衰減，因此一般前幾項(xiàng)就能很好地近似表示系統(tǒng)[17]。本文考慮前三階核，此時(shí)式(1)簡(jiǎn)化為

y(t)=y0+y1(t)+y2(t)+y3(t)

(3)

式中：

(4)

y1(t)、y2(t)、y3(t)分別為一階核、二階核、三階核產(chǎn)生的響應(yīng)。

為了將各階核的影響分離以便于分別計(jì)算，可對(duì)系統(tǒng)施加不同幅值的激勵(lì),即

(5)

式中：yk1(t)、yk2(t)、yk3(t)分別為不同幅值k1、k2、k3的輸入產(chǎn)生的輸出。求解式(5)得一階核的響應(yīng)y1(t)、二階核的響應(yīng)y2(t)和三階核的響應(yīng)y3(t),然后根據(jù)式(4)可分別辨識(shí)一階核、二階核和三階核。

1.2 Volterra核辨識(shí)

Volterra級(jí)數(shù)應(yīng)用的主要困難在于Volterra核的辨識(shí)。將式(3)離散可得

u(n-k2)u(n-k3)

(6)

式中：np=min(n,Np),Np=Tp/ΔT,p=1,2,3,ΔT為離散步長(zhǎng)，T1、T2和T3分別為一階核、二階核和三階核的持續(xù)時(shí)間,也稱記憶時(shí)間。

前三階核的未知量分別為h1(k1)、h2(k1,k2)、h3(k1,k2,k3),可見(jiàn)隨著核階次的增加未知量個(gè)數(shù)將呈指數(shù)增加，同時(shí)由系統(tǒng)的輸入和輸出辨識(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是一個(gè)不適定問(wèn)題[18]即系數(shù)矩陣病態(tài)，常用的最小二乘法無(wú)法得到穩(wěn)定的解，需要求解高維病態(tài)方程組，這就是所謂的維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題。

針對(duì)Volterra核辨識(shí)中存在的維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題，Silva[11]和Balajewicz等[19]提出了截?cái)喾ǎ磧H保留高階核的主對(duì)角或其附近的元素。由于略去了核中大量的耦合影響因素，這類方法降低了Volterra級(jí)數(shù)對(duì)非線性的表示能力。另一類是基函數(shù)法[20-21]，即用一組基函數(shù)將Volterra核展開(kāi)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為少數(shù)展開(kāi)系數(shù)的估計(jì)問(wèn)題。例如王云海等[21]以Chebyshev函數(shù)為基函數(shù)進(jìn)行了翼型在跨聲速區(qū)升力系數(shù)的非定常建模研究。本文采用Prazenica和Kurdila[15]設(shè)計(jì)的一種分段二次多小波表示Volterra核，并利用小波的多分辨分析，將核在不同頻率下分解，然后在不同頻率上保留影響較大的分量，從而極大降低待辨識(shí)參數(shù)的數(shù)量,最終解決維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題。

2 多小波辨識(shí)Volterra核

2.1 分段二次多小波

圖1中φ1、φ2、φ3、φ4為Prazenica和Kurdila[15]基于有限元基函數(shù)使用二次纏繞方法構(gòu)造的一組滿足分段二次多項(xiàng)式、標(biāo)準(zhǔn)正交和緊支撐的多小波基函數(shù)，稱為分段二次多小波的尺度函數(shù)，圖2中ψ1、ψ2、ψ3、ψ4為與之對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)，其構(gòu)成的基函數(shù)為

(7)

圖1 分段二次多小波的尺度函數(shù)Fig.1 Scaling functions of piecewise quadratic multiwavelet

圖2 分段二次多小波的小波函數(shù)Fig.2 Wavelet functions of piecewise quadratic multiwavelet

Vj+1=Vj⊕Wj

(8)

式中：⊕表示空間的直和。式(8)表明某一伸縮因子下的尺度函數(shù)空間可分解為下一伸縮因子下的尺度函數(shù)空間與小波函數(shù)空間的和，這就是小波的多分辨分析。

二維情況下的尺度基函數(shù)和小波基函數(shù)分別是一維尺度基函數(shù)兩兩之間的張量積和一維尺度基函數(shù)與小波基函數(shù)兩兩之間的張量積，即

(9)

三維情況下的尺度基函數(shù)和小波基函數(shù)分別是一維尺度基函數(shù)三三之間的張量積和一維尺度基函數(shù)與小波基函數(shù)三三之間的張量積，此處為節(jié)省篇幅略去，詳細(xì)可見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。同樣存在三維尺度函數(shù)空間Vj和三維小波函數(shù)空間Wj,二者滿足式(8)。

2.2 基于多小波展開(kāi)的Volterra核辨識(shí)

對(duì)于一階核的辨識(shí)，將式(4)中的Volterra一階核部分離散，tn=2-jn(n=1,2,…,N)時(shí)刻的響應(yīng)為

(10)

式中：N為總的采樣步。

利用式(8)將一階核表示為不同伸縮因子下的尺度基函數(shù)和小波基函數(shù)的線性組合,即

(11)

將式(11)代入式(10),并展開(kāi)得簡(jiǎn)化的矩陣形式為

(12)

對(duì)于二階核的辨識(shí)，將式(4)中的Volterra二階核部分離散，tn時(shí)刻的響應(yīng)為

u(tn-τ2)dτ1dτ2

(13)

利用式(8)將二階核表示為不同伸縮因子下的二維基函數(shù)的線性組合，即

(14)

將式(14)代入式(13)，并展開(kāi)得簡(jiǎn)化的矩陣形式為

(15)

三階核的辨識(shí)與二階核的辨識(shí)類似處理，這里不再贅述。

2.3 維數(shù)災(zāi)難的處理

3 基于Volterra級(jí)數(shù)的氣動(dòng)力建模

本文以NACA0012翼型在跨聲速下的沉浮運(yùn)動(dòng)為例驗(yàn)證Volterra級(jí)數(shù)模型對(duì)非線性非定常氣動(dòng)力的描述能力和本文提出的核辨識(shí)處理方法的有效性。

輸入的選擇和設(shè)計(jì)在系統(tǒng)辨識(shí)中至關(guān)重要，直接決定了系統(tǒng)參數(shù)的辨識(shí)精度。Volterra核的辨識(shí)中，一階核辨識(shí)屬于線性系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題，有多種輸入如脈沖[11, 22]、掃頻[23-24]可以采用，高階核辨識(shí)屬于非線性系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題，目前缺乏通用的輸入信號(hào)，本文提出了一種適合于高階核辨識(shí)的多維掃頻輸入。辨識(shí)二階核和三階核所用輸入形式分別為

(16)

式中：uh2(t)為辨識(shí)二階核所用輸入,包含兩部分；uh3(t)為辨識(shí)三階核所用輸入,包含三部分，其中第一部分u1(t)為單一掃頻信號(hào)，假定掃頻范圍為f1～f2,第二部分u2(t)為重復(fù)掃頻信號(hào)，將整個(gè)時(shí)間分為n段,在每一段中對(duì)f1～f2進(jìn)行掃頻，第三部分u3(t)也為重復(fù)掃頻信號(hào)，將整個(gè)時(shí)間分為n2段,在每一段中對(duì)f1～f2進(jìn)行掃頻，各部分耦合使得輸入能包含兩兩和三三不同頻率的共同作用。

翼型作沉浮運(yùn)動(dòng)時(shí)僅迎角發(fā)生變化，以迎角為自變量，迎角輸入與位移之間的關(guān)系為

(17)

式中：V為自由來(lái)流速度；α為迎角；d為位移。辨識(shí)所用輸出由CFD計(jì)算得到，計(jì)算條件為馬赫數(shù)Ma=0.8,雷諾數(shù)Re=7.2×106,采用剛性動(dòng)網(wǎng)格。

3.1 氣動(dòng)力的Volterra核辨識(shí)

由式(16)構(gòu)造辨識(shí)二階核和三階核的輸入，并以不同幅值輸入下的輸出通過(guò)式(5)將各階核產(chǎn)生的響應(yīng)分離以分別進(jìn)行辨識(shí)。選取初始迎角α0分別為0°和1°為基準(zhǔn)狀態(tài)，升力系數(shù)CL、阻力系數(shù)CD和俯仰力矩系數(shù)Cm的高階核辨識(shí)所用頻率變化范圍均為0～30 Hz。α0=0°時(shí)各階核的持續(xù)時(shí)間、初始分辨率和最終分辨率參數(shù)如表1所示，其中一階核辨識(shí)以掃頻為輸入并采用2.3節(jié)中的方法，二階核的辨識(shí)則需要采用二維輸入，三階核的辨識(shí)需要采用三維輸入，辨識(shí)結(jié)果如圖3～圖5所示，其中各三階核h3(τ1,τ2,τ3)中τ3均取0.01 s。α0=1°時(shí)升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的辨識(shí)結(jié)果如圖6～圖8所示。

表1 氣動(dòng)力各階Volterra核的參數(shù)Table 1 Parameters of Volterra kernels of aerodynamics

圖3 初始迎角α0=0°時(shí)升力系數(shù)的Volterra核Fig.3 Volterra kernel of lift coefficient when initial angle of attack α0=1°

圖4 初始迎角α0=0°時(shí)阻力系數(shù)的Volterra核Fig.4 Volterra kernel of drag coefficient when initial angle of attack α0=0°

圖5 初始迎角α0=0°時(shí)俯仰力矩系數(shù)的Volterra核Fig.5 Volterra kernel of pitching moment coefficient when initial angle of attack α0=0°

圖6 初始迎角α0=1°時(shí)升力系數(shù)的Volterra核Fig.6 Volterra kernel of lift coefficient when initial angle of attack α0=1°

圖7 初始迎角α0=1°時(shí)阻力系數(shù)的Volterra核Fig.7 Volterra kernel of drag coefficient when initial angle of attack α0=1°

圖8 初始迎角α0=1°時(shí)俯仰力矩系數(shù)的Volterra核Fig.8 Volterra kernel of pitching moment coefficient when initial angle of attack α0=1°

觀察可知，該翼型在α0=0°時(shí)升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的二階核量值遠(yuǎn)小于一階核和三階核，阻力系數(shù)的一階核和三階核量值遠(yuǎn)小于二階核，說(shuō)明此時(shí)升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的非線性主要由三階核表征，阻力系數(shù)的非線性主要由二階核表征。α0=1°時(shí)升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的非線性同時(shí)由二階核和三階核表征。

利用2.3節(jié)中的方法處理前后，α0=0°待辨識(shí)參數(shù)個(gè)數(shù)比較如表2所示，可見(jiàn)由于在每個(gè)伸縮因子下僅保留主要分量，未知數(shù)的數(shù)量得到了大幅降低。此外，處理前三階核和二階核的未知數(shù)個(gè)數(shù)相較于一階核逐步劇增，而處理后則明顯減少，避免了高階核導(dǎo)致的維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題。辨識(shí)過(guò)程在一個(gè)內(nèi)存為63 GB，CPU為32核×2.6 GHz的計(jì)算機(jī)集群上進(jìn)行，以升力系數(shù)為例，辨識(shí)h1、h2、h3所花費(fèi)的時(shí)間分別為24、111、260 min,可見(jiàn)未知數(shù)個(gè)數(shù)的劇增帶來(lái)了時(shí)間成本的大幅增加。

表2處理前后的Volterra核待辨識(shí)參數(shù)個(gè)數(shù)比較

Table2ComparisonofthenumberofVolterrakernelparameterstobeidentifiedbeforeandaftertreatment

氣動(dòng)力的核未知數(shù)個(gè)數(shù)處理前處理后hCL13320hCD13320hCm13320hCL2561171hCD2561171hCm2561171hCL36545293hCD36545293hCm36545293

3.2 跨聲速氣動(dòng)力驗(yàn)證

得到Volterra核即建立起了氣動(dòng)力模型，下面驗(yàn)證其預(yù)測(cè)非線性非定常氣動(dòng)力的準(zhǔn)確性，翼型在α0=0°下作沉浮運(yùn)動(dòng)的位移變化為

(18)

在α0=1°下作沉浮運(yùn)動(dòng)的位移變化為

(19)

d1(t)和d2(t)對(duì)應(yīng)的減縮頻率k分別為0.05、0.1。

由Volterra級(jí)數(shù)計(jì)算的α0=0°時(shí)升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)與CFD計(jì)算結(jié)果如圖9和圖10所示，α0=1°時(shí)升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)與CFD計(jì)算結(jié)果如圖11和圖12所示。在α0=0°當(dāng)減縮頻率為0.05時(shí)，由一階核計(jì)算的升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)雖然體現(xiàn)出了基本特征但是存在顯著誤差，系統(tǒng)此時(shí)表現(xiàn)出非線性，由于二階核的幅值相對(duì)于一階核極小，引入二階核的影響之后升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)無(wú)明顯變化。當(dāng)引入三階核之后預(yù)測(cè)精度大幅提高，此時(shí)的Volterra計(jì)算結(jié)果與CFD結(jié)果吻合很好。當(dāng)減縮頻率增大為0.1時(shí)，由一階核計(jì)算的升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)相比于減縮頻率為0.05時(shí)誤差減小，當(dāng)引入三階核的影響后預(yù)測(cè)精度進(jìn)一步提高。此外，兩種減縮頻率下阻力系數(shù)的頻率特征與升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)完全不同，表現(xiàn)出了明顯的非線性，此時(shí)由一階核計(jì)算的線性近似完全失效，當(dāng)引入二階核之后實(shí)現(xiàn)了比較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，盡管仍存在較小誤差，進(jìn)一步引入三階核的影響之后阻力系數(shù)變化不明顯，這與一階核和三階核的幅值均遠(yuǎn)小于二階核相吻合。

圖9 初始迎角α0=0°時(shí)沉浮運(yùn)動(dòng)的氣動(dòng)力(k=0.05)Fig.9 Aerodynamics in plunge when initial angle of attack α0=0° and reduced frequency k=0.05

圖10 初始迎角α0=0°沉浮運(yùn)動(dòng)的氣動(dòng)力(k=0.1)Fig.10 Aerodynamics in plunge when initial angle of attack α0=0° and reduced frequency k=0.1

圖11 初始迎角α0=1°時(shí)沉浮運(yùn)動(dòng)的氣動(dòng)力(k=0.05)Fig.11 Aerodynamics in plunge when initial angle of attack α0=1° and reduced frequency k=0.05

圖12 初始迎角α0=1°時(shí)沉浮運(yùn)動(dòng)的氣動(dòng)力(k=0.1)Fig.12 Aerodynamics in plunge when initial angle of attack α0=1° and reduced frequency k=0.1

在α0=1°時(shí)由一階核計(jì)算的升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的誤差相比α0=0°時(shí)明顯增大,即非線性表現(xiàn)得更為顯著，此時(shí)升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的二階核的影響不能忽略，隨著高階核的引入預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性逐步提高，當(dāng)引入三階核后預(yù)測(cè)結(jié)果與CFD結(jié)果已經(jīng)吻合很好。α0=1°時(shí)阻力系數(shù)的特性與α0=0°時(shí)有很大變化，此時(shí)一階核和三階核的影響不能忽略，當(dāng)引入三階核后仍然實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

總結(jié)以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，高階核決定了氣動(dòng)力系數(shù)的非線性，要準(zhǔn)確預(yù)測(cè)氣動(dòng)力就必須在一階核的基礎(chǔ)上引入高階核的影響。本文的驗(yàn)證結(jié)果表明當(dāng)引入高階核之后，Volterra級(jí)數(shù)模型能準(zhǔn)確地表示系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)特性。

4 結(jié) 論

1) 本文采用Volterra級(jí)數(shù)方法進(jìn)行非線性非定常氣動(dòng)力建模，Volterra一階核僅能描述線性系統(tǒng)，要描述較強(qiáng)的非線性特性需要引入高階核的影響。

2) 針對(duì)Volterra核辨識(shí)中的維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題，以一種分段二次多小波為基函數(shù)將Volterra核展開(kāi)，利用小波的多分辨分析在時(shí)間和頻率兩個(gè)維度的分解特點(diǎn)對(duì)高維方程組降維，最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)小型方程組并求得穩(wěn)定解。

3) 通過(guò)對(duì)NACA0012翼型在跨聲速下沉浮運(yùn)動(dòng)時(shí)升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的前三階Volterra核的辨識(shí),并以此預(yù)測(cè)不同減縮頻率下的氣動(dòng)力,驗(yàn)證了Volterra級(jí)數(shù)方法不僅能描述氣動(dòng)力的非定常特性，也能描述較強(qiáng)的非線性特性，同時(shí)也說(shuō)明了本文核辨識(shí)方法的有效性。

文中的氣動(dòng)力建模以沉浮運(yùn)動(dòng)為對(duì)象，此時(shí)僅迎角發(fā)生變化屬于單變量情況，而實(shí)際上氣動(dòng)力還有如俯仰角速度等多個(gè)影響因素，下一步需要研究多變量的Volterra級(jí)數(shù)方法在非定常氣動(dòng)力建模中的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。此外，本文中進(jìn)行了不同初始迎角下的辨識(shí)，隨著狀態(tài)的改變需要重新建模這是當(dāng)前的諸多建模方法包括Volterra級(jí)數(shù)存在的主要局限，這給模型的實(shí)際應(yīng)用造成了很大障礙，也是未來(lái)需要著力解決的問(wèn)題。

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