劉景源

南昌航空大學 飛行器工程學院， 南昌 330063

對不可壓縮層流的單相強化換熱問題，過增元等從邊界層近似下的能量方程出發(fā)，于1998年提出了流場速度與溫度梯度夾角的概念，并指出了3種強化換熱的途徑[1]；2001年提出了速度場與溫度梯度場協(xié)同的場協(xié)同原理[2]；在文獻[3-4]中又系統(tǒng)地闡述了其提出的場協(xié)同原理。該原理自從提出以來即成為對流換熱領域的重點研究方向之一。文獻[5-6]把該原理推廣應用于不可壓縮橢圓型流動問題，并給出了該型流動問題的應用結果。應用該原理的協(xié)同思想，文獻[7]提出了速度與速度梯度的協(xié)同，指出其協(xié)同程度對流動減阻具有一定意義。文獻[8]導出了相對溫度梯度場分布和速度場與溫度梯度場的協(xié)同關系式，從而給出強化對流換熱的一般理論指導原則。文獻[9]則深刻挖掘對流換熱場協(xié)同原理的內在本質思想，提出了對流換熱層流流場質點物理量的協(xié)同原理，其對不可壓縮層流流動的對流換熱與流動減阻具有一定的意義。文獻[10]則對文獻[9]的理論進行了湍流流動上的推廣。文獻[11]則對強化對流換熱機制的研究進展進行了回顧與綜述。文獻[12]把場協(xié)同原理應用于太陽能腔體接收器的自然對流傳熱能量損失分析中，結果表明場協(xié)同原理可用于指導減小接收器能量損失設計。文獻[13]則從新的角度分析了場協(xié)同原理，表明對層流對流換熱應在熱邊界層內分析場協(xié)同角、對湍流則應在黏性次層仔細分析場協(xié)同問題。文獻[14]把場協(xié)同原理應用于帶凹槽和肋片的微尺度通道復雜流動的傳熱分析中。文獻[15]綜述了近期場協(xié)同理論的進展，列舉了大量的數(shù)值算例與實驗驗證，表明場協(xié)同原理對不可壓縮流動的對流換熱問題具有一定的指導意義。

隨著流動速度的增加，一方面流體與壁面剪切作用導致的換熱量增大，另一方面流場的壓力梯度也可能很大。忽略了流動的壓縮性(具體表現(xiàn)為速度散度不為零，流場密度變化)及黏性耗散的能量方程給出的不可壓縮流的場協(xié)同原理，如何應用于可壓縮流動需要進一步研究。而對渦輪噴氣發(fā)動機、沖壓發(fā)動機等可壓縮內流的對流換熱問題[16]，高速飛行器壁面繞流問題[17]，均需要把適用于不可壓縮流動的對流換熱場協(xié)同理論，推廣應用于可壓縮流動中。

在不可壓縮流動的對流換熱場協(xié)同原理基礎上，本文分析能量方程后指出，當流速較高，以至于流動的壓縮性、耗散函數(shù)對換熱量影響重要時，需要推廣上述的對流換熱場協(xié)同原理，而后給出了適用于可壓縮層流與湍流流動對流換熱問題的協(xié)同原理，并進行了數(shù)值驗證。

1 不可壓縮流與可壓縮流對流換熱的差異

1.1 對流換熱特征上的差異

不可壓縮流假定密度不變，并且密度和壓強與其他熱力學狀態(tài)量無關，密度和壓強可看作動力學量[18]；而高速可壓縮流動密度可變，密度和壓強為熱力學狀態(tài)變量，密度、壓強及溫度三者滿足完全氣體狀態(tài)方程。另外，不可壓縮流動的壓強滿足Poisson方程[19]，而可壓縮流動的壓強滿足雙曲型方程[20]。如果流動與壁面的換熱溫差不大，則不可壓縮流動的能量方程與動量方程及連續(xù)方程解耦，即使換熱溫差大以至于溫度變化對分子黏性系數(shù)的影響不可忽略，其耦合性也比可壓縮的Navier-Stokes方程弱。可壓縮與不可壓縮流動的上述特性，決定了兩者換熱上的不同。對用當?shù)販囟缺硎镜牟豢蓧嚎s流動能量方程中的溫度更接近被動標量的性質，其對流換熱可認為運動的流體質點直接以內能的形式把熱量帶走(來)。但隨著流速變大密度及壓強由動力學量變?yōu)闊崃W量，并且動能在總能量中占有的比例變大，可壓縮流動的能量轉換及傳遞形式有別于不可壓縮流。在邊界層內壓強及黏性應力對流體的做功不能忽略，高速流動的動能由于邊界層內的黏性耗散轉變?yōu)閮饶軓姸仍黾?。高速流的動能通過邊界層內的黏性耗散改變當?shù)販囟龋鴫簭妱t通過壓力功及其與密度、溫度的關系式對當?shù)販囟犬a(chǎn)生影響。因此隨著流速的增大，高速可壓縮流動的對流換熱應計及壓力功及黏性耗散的影響。

1.2 對流換熱場協(xié)同分析上的差異

笛卡兒坐標系下能量守恒方程的一般形式為[21]

(1)

式中：cp為氣體的定壓比熱；e為單位質量氣體的內能。

如果流動的速度尺度變小，而熱傳遞還很重要，流體的動能U2最終會比焓變cpΔT小很多。由于Φ是U2的量級，在流動速度低或者不可壓縮流下，把上述關于h的熱力學微分關系式代入式(1)后，簡化成對流換熱的邊界層型方程[18,21]

(2)

對二維穩(wěn)態(tài)邊界層流動，在整個熱邊界層內對式(2)積分并進行無量綱化，即場協(xié)同公式[1-3]為

(3)

但是，當流速比較高，以至于流動的壓縮性(具體表現(xiàn)為速度散度不為零及流場密度變化)、式(1)中的耗散函數(shù)以及壓強的物質導數(shù)相比換熱量不能忽略時，需要推廣上述的對流換熱場協(xié)同原理，即可壓縮流動的對流換熱場協(xié)同原理應該計及耗散函數(shù)以及壓強的物質導數(shù)的影響。

2 可壓縮流動的對流換熱場協(xié)同原理

2.1 笛卡兒坐標系下二維可壓縮層流流動

二維可壓縮層流流動的邊界層方程為[21]

(4)

(5)

(6)

(7)

式中:u和v均為速度分量。

把能量方程用總焓H=h+u2/2表示(對邊界層流動，v2/2可忽略)，可得到另一簡單而有用的形式[21]為

(8)

(9)

式(9)可進一步寫為

(10)

對式(10)進行無量綱化，有

(11)

2.2 笛卡兒坐標系下二維可壓縮湍流流動

密度加權平均二維穩(wěn)態(tài)邊界層方程可寫為[23]

(12)

(13)

(14)

在整個邊界層內對能量方程式(14)求積分, 同時考慮到壁面上黏性滯止邊界條件，邊界層外的邊界條件，可得

(15)

類似于不可壓縮湍流能量方程的積分，對可壓縮湍流能量方程積分也可得到與可壓縮層流式(11)類似的形式，即湍流下的Stanton數(shù)為

(16)

類似可壓縮層流的分析，可壓縮湍流的結論為：場協(xié)同原理形式上與層流類似，只不過把層流的物理量用相應的湍流雷諾平均物理量替代。

2.3 笛卡兒坐標系下三維可壓縮流動

對于不可壓流動的對流換熱問題，文獻[3, 24-25]把另外兩個主流流動方向的導熱作為源項處理，即可把二維不可壓縮流動下的場協(xié)同原理推廣應用于三維問題。本節(jié)根據(jù)文獻[3, 24-25]的方法，把笛卡兒坐標系下二維可壓縮流動的場協(xié)同原理推廣到三維。

笛卡兒坐標系下的三維可壓縮層流邊界層近似下的能量方程可寫為[21]

(17)

式中：u與w為三維邊界層流動的兩個主流方向的速度；y為邊界層的法向方向?？傡蔋=h+(u2+w2)/2，對邊界層型流動，v2/2可忽略。

通過對比可知式(17)與式(8)類似，因此可以采用上述類似的推導方法對式(17)在層流和湍流情況下分別進行推導，即可得到與二維情況下的層流流動方程式(11)和湍流流動方程式(16)形式上一樣的結果。

另外，對于流動的兩個主流方向不能忽略的三維導熱問題，可采用與不可壓縮文獻[3,24-25]類似的方法，把這兩個主流流動方向的導熱作為源項處理，即可把本文的二維可壓縮流動下的場協(xié)同原理推廣應用于三維問題。

3 數(shù)值驗證

選擇球頭高速繞流流動，對上述可壓縮對流換熱場協(xié)同原理進行驗證，用以說明本文推廣的場協(xié)同原理的正確性。

球頭半徑R=30 mm。來流馬赫數(shù)Ma∞=10.6，來流溫度為47.3 K，壁面溫度為294.44 K，繞流每米雷諾數(shù)為Re=1.1×105/m。計算采用完全氣體模型。由于球頭半徑小，繞球頭流動的雷諾數(shù)亦較小，因此本計算假設繞流為層流流動。計算所采用的數(shù)值方法及程序的驗證見文獻[26-27]。

圖1給出了球頭壁面上的熱流密度分布圖。圖1的橫軸坐標為對稱面角度θ，而縱軸為熱流密度分布數(shù)值-qw(采用球頭前駐點熱流值進行了歸一化處理,qw前面的“-”表示向壁面?zhèn)鳠?，下?。從圖1可以看出，球頭前駐點熱流密度最大，而沿著壁面由前駐點向后熱流密度逐漸減小。

圖2給出了繞球頭流場對稱面上的當?shù)貑挝惑w積的動量ρU及總焓梯度矢量線分布。為清晰起見，圖2(b)則給出了壁面法向每間隔5個網(wǎng)格點總焓梯度矢量分布。從圖2(b)可看出，由于激波前總焓不變，則總焓梯度為零；而波后由于溫度升高、壁面附近溫度沿著法向變化較大，導致總焓梯度矢量方向近似沿著球頭徑向方向。圖1的球頭壁面上熱流曲線分布可用圖2解釋。從圖2可以看出，在球頭的前駐點，ρU矢量和總焓梯度矢量平行，夾角為180°，離開前駐點夾角則迅速下降。

圖1 球頭壁面上的熱流密度分布Fig.1 Distribution of heat flux density on sphere wall

圖2 球頭流場對稱面上的矢量線分布Fig.2 Distribution of vector lines at symmetry plane of sphere

圖3 球頭對稱面上當?shù)貑挝惑w積的動量與 總焓梯度協(xié)同角 Fig.3 Synergy angle of local momentum per unit volume and gradient of total enthalpy at symmetry plane of sphere

圖3給出了球頭對稱面上當?shù)貑挝惑w積的動量與總焓梯度協(xié)同角分布，縱軸數(shù)值用對數(shù)坐標表示。由于算例為流場向球頭壁面?zhèn)鳠?，因此?90°。由于前駐點附近(除前駐點外)的流動方向須沿壁面方向，導致β迅速減小。從圖3可看出，離壁面越大，場協(xié)同角也越大(圖3中的n表示網(wǎng)格層號，n越大表示距離壁面越遠)。

綜上，球頭流場的前駐點附近由于當?shù)貑挝惑w積的動量與總焓梯度矢量接近平行，場協(xié)同角接近180°，導致流場向壁面?zhèn)鳠岽?，而在流場其他地方，場協(xié)同角變小，傳熱隨之減小。另外，雖然場協(xié)同角離開駐點后明顯變小，由當?shù)貑挝惑w積的動量矢量模增大(圖2(a))，總焓梯度模略有減小(圖2(b))，但由式(17)及文獻[3, 11]可知，球頭壁面上的熱流分布并未減小很多。

4 場協(xié)同原理的推廣

本節(jié)先應用所推廣的場協(xié)同理論預測實際模型的動量與總焓梯度的協(xié)同性，進而預測熱流(主要是局部峰值熱流)，之后用數(shù)值分析驗證預測的正確性。

高超聲速飛行器(包括再入飛行器)常采用簡單組合體外形，雙橢球就是其中一種非常具有代表性的高超聲速流動外形[28-29]。雙橢球模型由兩個相貫的雙橢球組成，如圖4所示，具有高超聲速飛行器如航天飛機的前機身與座艙罩組合部件的基本特征，可作為高超聲速流動中激波、激波與激波干擾和熱流計算的模型。因此本文應用推廣的高速可壓縮流動的場協(xié)同原理研究高超聲速雙橢球繞流的熱流問題。圖4給出的模型長度L=215.0 mm，參考面積S=692.8 mm2[29]。

雙橢球繞流的來流條件為馬赫數(shù)8、迎角與側滑角均為0°、來流溫度為63.77 K、來流密度為0.042 kg/m3、來流雷諾數(shù)為Re=1.98×107/m。

在上述來流條件下，雙橢球繞流前駐點處的總焓梯度與雙橢球壁面法向平行并指向其外法線方向(這一點易根據(jù)高速繞流確定)，而來流速度方向則與雙橢球前駐點外法線方向反向(兩矢量的夾角為180°)。因此，在此處流動向壁面?zhèn)鬟f的熱流最大。在離開前駐點的下游方向，由于在邊界層內流動方向趨向雙橢球的壁面切線方向，因此兩矢量的夾角從前駐點迅速下降。在上橢球壁面(考慮雙橢球繞流的對稱面)區(qū)域，由于邊界層內的總焓梯度近似與當?shù)乇诿娲怪?邊界層理論決定)，而波后流動突遇上橢球壁面局部凸起區(qū)域的當?shù)貏恿颗c壁面切線存在夾角，因此當?shù)貏恿颗c總焓梯度夾角變大(大于90°)，此區(qū)域的熱流具有局部峰值。而對于雙橢球繞流的對稱面的下壁面，較易判斷出流動離開前駐點后，熱流下降，此處不再贅述。

圖4 雙橢球外形Fig.4 Geometry of double ellipsoid model

為了驗證上述預測的正確性，采用本文第3節(jié)的數(shù)值方法進行驗證。圖5分別給出了雙橢球壁面及對稱面上壁面的熱流密度云圖及熱流密度分布。從該圖可見，在雙橢球駐點附近及上橢球壁面局部凸起區(qū)域的熱流密度存在局部極值。駐點及上橢球壁面局部凸起區(qū)域存在峰值的原因可從圖6的當?shù)貑挝惑w積的動量與總焓梯度協(xié)同角度得到。因此應用本文推廣的場協(xié)同理論的預測與數(shù)值模擬結果相符。

圖5 雙橢球壁面及對稱面熱流分布Fig.5 Distribution of heat flux at symmetry plane and skin surface of double ellipsoid model

圖6 雙橢球對稱面上壁面當?shù)貑挝惑w積的 動量與總焓梯度協(xié)同角Fig.6 Synergy angle of local momentum per unit volume and gradient of total enthalpy at symmetry plane of double ellipsoid model

5 討論及分析

本節(jié)以二維邊界層近似下的場協(xié)同理論為例，進行討論及分析。但應指出的是本節(jié)的討論對三維邊界層亦成立。

5.1 可壓縮層流流動的場協(xié)同原理

根據(jù)總焓的定義，把總焓表達式代入式(9)左端項有

(18)

從式(18)可以看出，對對流換熱(熱流密度)的作用，不但包括單位體積的動量和靜焓的協(xié)同，而且還包括動量和當?shù)刂髁鞣较蛩俣忍荻鹊膮f(xié)同。

進一步，由動量方程式(5)，可把式(18)右端第2項改寫為

(19)

把式(19)代入式(18)，考慮到式(19)右端第2項積分近似為零，則

(20)

從式(20)可知，用總焓梯度和單位體積動量的協(xié)同來研究可壓縮熱流具有明顯的優(yōu)越性。其協(xié)同不但包括單位體積的動量與靜焓的協(xié)同，還計及了壓力梯度以及可壓縮耗散函數(shù)對熱流密度的影響。另外，從式(20)也可以看出，當流動存在逆壓梯度時，壓力梯度對熱流場具有減弱作用，反之則具有增強作用；由于耗散函數(shù)始終大于零，因此其對熱流場的影響始終具有減弱效果。

另外，可以看出式(20)右端的積分項可通過積分靜焓方程式(7)獲得，但是該方程右端項等于左端項需要式(9)推導來證明。

5.2 可壓縮湍流流動的場協(xié)同原理

(21)

(22)

式中：μt為渦黏性系數(shù)。

從式(22)可以看出，與層流不同，湍流的原理除了層流的特點外，還包括了湍流剪切應力的貢獻。

與可壓縮層流流動類似，式(22)右端的積分項也可通過積分雷諾平均的可壓縮流靜焓方程獲得。

5.3 定壓比熱為常數(shù)的可壓縮流動的場協(xié)同原理

當定壓比熱為常數(shù)時，對層流流動有

(23)

式中：T0為流動的當?shù)乜倻亍?/p>

對湍流流動有

(24)

5.4 不可壓縮流動的對流換熱的場協(xié)同原理

當流動不可壓縮時，與耗散函數(shù)相比換熱不是小量、不能忽略時，類似論文中第2節(jié)的方法，可以得到如下結果。

1) 對不可壓縮層流情況

(25)

2) 對不可壓縮湍流情況

(26)

因此，在耗散函數(shù)不能忽略時，由式(25)和式(26)可知，用流動的當?shù)乜倻卮媸?3)和湍流下與式(3)類似的場協(xié)同方程，能給出更精確的結果。

注意：對有量綱的情況，壁面對流換熱程度則是用速度矢量與總焓梯度的協(xié)同來表征。

5.5 應用范圍

在本文的推導與論述中，引入了邊界層的概念對Navier-Stokes方程進行簡化，因此，在實際問題中應用上述原理應該注意邊界層方程的應用范圍。若沿流動方向的雷諾數(shù)較小時，邊界層方程不再成立[21]；若外加壓力梯度與主流流動方向相同時，在流場某個位置會出現(xiàn)分離點，超過此位置邊界層方程不再成立[21]。論文給出的場協(xié)同原理在上述兩種情況下不再有效。

對于可壓縮流場中可能出現(xiàn)的激波間斷問題，無論是由氣流的折轉方向所規(guī)定的激波，或壓強條件所決定的激波，亦或壅塞決定的激波等3種產(chǎn)生激波的條件[30]，只要上述流動可以用邊界層控制方程描述，本文給出的結論依然有效。

5.6 不可壓縮與可壓縮流動場協(xié)同原理物理內涵的差異

由第1節(jié)的論述，由于不可壓縮流動的速度低，密度及壓強可看作動力學量，可忽略壓力的做功效應及速度的黏性耗散作用。高速可壓縮流動的動能通過邊界層內的黏性耗散改變當?shù)販囟?，而壓強則通過壓力功及其與密度、溫度的關系式對當?shù)販囟犬a(chǎn)生影響。因此，高速可壓縮流動與不可壓縮流動的能量轉換及傳遞不同，這種不同導致了不可壓縮與可壓縮流動場協(xié)同原理物理內涵的差異，從而不可壓縮的場協(xié)同原理為當?shù)氐乃俣扰c溫度梯度的協(xié)同，而可壓縮的場協(xié)同原理不但計及了高速流動的密度變化對熱流的作用，而且包括了靜焓梯度、壓力梯度、壁面分子黏性剪切效應對熱流的影響。

6 結 論

1) 高速可壓縮流動的對流換熱量(熱流)的大小取決與當?shù)貑挝惑w積的動量(當?shù)孛芏扰c速度矢量的乘積)與總焓梯度的協(xié)同程度。該協(xié)同對高速層流和湍流的熱流問題均適用。

2) 用當?shù)貑挝惑w積動量與總焓梯度的協(xié)同研究可壓縮流動的壁面熱流問題，對層流熱流，不但計及了高速流動的密度變化對熱流的作用，而且包括了靜焓梯度、壓力梯度、壁面分子黏性剪切效應對熱流的影響；對湍流問題，除了高速流動的密度變化、壓力梯度、壁面分子黏性剪切效應對熱流的影響外，還計及了雷諾剪切應力對熱流的作用。

3) 對不可壓縮等的低速流動，當流向壓強梯度與黏性影響對對流換熱影響不大時，速度與溫度梯度協(xié)同能給出精確的結果，但是對流向壓強梯度、黏性影響不能忽略的對流換熱問題，用速度向量與總溫(總焓)梯度協(xié)同更精確。

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