☉浙江寧波市四眼碶中學(xué) 張丹燕

近些年中考新定義題層出不窮，其中的圖形類新定義題是其中較為常見的題型.該類題集探究性、拓展性、應(yīng)用性于一體，充分體現(xiàn)了中考大綱對(duì)于學(xué)生“觀察、實(shí)踐、探究、驗(yàn)證、歸納”的核心素養(yǎng)的考查要求.對(duì)于該類題型，需要從題型結(jié)構(gòu)、解題策略等方面來學(xué)習(xí).

一、真題解析，試題點(diǎn)評(píng)

1.真題呈現(xiàn).

（2017年中考紹興卷第22題）定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫作等腰直角四邊形.

（1）如圖1所示，等腰直角四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°.

圖1

圖2

①如果AB=CD=1，AB∥CD，求對(duì)角線BD的長；

②如果AC⊥BD，求證：AD=CD.

（2）如圖2所示，矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BP=2PD，過點(diǎn)P作直線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長.

2.試題解析.

分析：（1）略；（2）如果EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，可推出四邊形ABFE不是等腰直角四邊形，不符合條件.如果EF不與BC垂直，則存在兩種情形，當(dāng)AE=AB時(shí)，四邊形ABFE是等腰直角四邊形；當(dāng)BF=AB時(shí)，四邊形ABFE也是等腰直角四邊形，然后可分別求解.

解：（2）如果EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，四邊形ABFE不是等腰直角四邊形，不符合題意.如果EF不與BC垂直，①當(dāng)AE=AB時(shí)，如圖3，此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形，AE=AB=5；②當(dāng)BF=AB時(shí)，如圖4，此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形，BF=AB=5，因?yàn)镈E∥BF，可推知DE∶BF=PD∶PB=1∶2，所以AE=6.5.綜上所述，滿足條件的AE的長為5或者6.5.

圖3

圖4

3.試題點(diǎn)評(píng).

本題目為中考熱門的幾何新定義題，涉及了四邊形、正方形和全等三角形的判定和性質(zhì)等幾何知識(shí)，主要考查學(xué)生分析理解定義、幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化應(yīng)用的能力.上述題目定義了等腰直角四邊形，從中可提取等腰直角四邊形的性質(zhì)，即有一組鄰邊相等，且夾角為直角；對(duì)于第（2）問，則采用分類討論的方式，針對(duì)上述定義，利用相關(guān)幾何知識(shí)進(jìn)行求解.整個(gè)過程對(duì)于定義的理解內(nèi)化是解題的前提，實(shí)現(xiàn)定義的數(shù)學(xué)語言的細(xì)致表達(dá)是解題的關(guān)鍵，合理運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是實(shí)現(xiàn)問題解答的重要條件.該類題型在歷年中考中都有出現(xiàn)，對(duì)其解題思路可進(jìn)行推廣使用.

二、試題鏈接，思路剖析

圖形類新定義題是幾何新定義題的一種，主要特點(diǎn)為：特征突出、概念新穎、探究為主、體現(xiàn)應(yīng)用.對(duì)于該類題型，首先需要學(xué)生內(nèi)化幾何定義，基于概念提取關(guān)鍵信息，然后利用定義的核心來探究幾何性質(zhì)，最后應(yīng)用性質(zhì)實(shí)現(xiàn)問題的解答.

試題1：（2016年中考舟山卷第23題）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫作“等鄰角四邊形”.

（1）概念理解：請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；

（2）問題探究：

如圖5，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD、BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)P，連接AC、BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）略.

分析：（1）略；（2）根據(jù)PE、PF分別是AD、BC的垂直平分線可得對(duì)角相等，利用角之間的相互關(guān)系可得∠APC=∠DPB，利用SAS可得△APC和△DPB全等，進(jìn)而可得AC=BD.

圖5

圖6

解：（2）連接PD、PC，如圖6，因?yàn)镻E、PF分別是AD、BC的垂直平分線，則PA=PD，PC=PB，∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB.又因?yàn)椤螪PB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠APC=∠DPB，則△APC?△DPB，因此AC=BD.

試題2：（2016年中考臺(tái)州卷第23題）定義：有三個(gè)內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形.

（1）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范圍；

（2）如圖7，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點(diǎn)E、F分別落在邊BE、BF上的點(diǎn)A、C處，折痕分別為DG、DH，求證：四邊形ABCD是三等角四邊形；

（3）略.

分析：（1）略；（2）由四邊形DEBF為平行四邊形可得∠E=∠F，并且∠E+∠EBF=180°，利用等角的補(bǔ)角相等可判斷∠DAB=∠DCB=∠ABC，根據(jù)定義可知四邊形ABCD是三等角四邊形.

解：四邊形DEBF為平行四邊形，則∠E=∠F.

又因?yàn)镈E=DA，DF=DC，所以∠E=∠DAE=∠F=∠DCF.

圖7

上述兩道題均為幾何新定義題，根據(jù)幾何性質(zhì)分別定義了特殊的四邊形，試題1定義了等鄰角四邊形，解題中利用垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形全等實(shí)現(xiàn)了問題的解答；試題2則定義了三等角四邊形，證明四邊形為三等角四邊形時(shí)利用了平行四邊形的性質(zhì)、等角的補(bǔ)角相等等幾何性質(zhì).解題思路的核心均為“概念理解，性質(zhì)結(jié)合”.

三、解后反思，教學(xué)思考

1.重視閱讀，提升能力.

新定義題一般用簡(jiǎn)練的話語概括一個(gè)新的定義，并結(jié)合圖形、例子來闡釋該定義，因此解該類題型的關(guān)鍵是理解定義的概念，實(shí)現(xiàn)定義的數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化，對(duì)于定義的每一個(gè)字符，圖形的每一個(gè)特征，都需要深刻理解，充分把握定義的幾何特性.新定義題強(qiáng)調(diào)閱讀理解，閱讀是解題的基本保障，因而在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)閱讀定義題的基本思路，掌握基本閱讀技巧，努力提升學(xué)生的閱讀理解能力和審題能力.

2.注重關(guān)聯(lián)，知識(shí)遷移.

新定義題雖然有著新穎的外表，但在結(jié)構(gòu)上與教材習(xí)題有著相同之處，它是對(duì)初中數(shù)學(xué)相關(guān)概念的延伸，主要體現(xiàn)在概念本質(zhì)、性質(zhì)探究及應(yīng)用拓展等方面，因此發(fā)現(xiàn)和使用性質(zhì)的關(guān)聯(lián)性是打開解題思路的關(guān)鍵.在教學(xué)中，教師要在扎實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)的前提下引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的聯(lián)系性，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，依托學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)，探尋學(xué)習(xí)新知的切入點(diǎn)，促進(jìn)新知的初步生成和發(fā)展，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

3.歸類題型，思路形成.

對(duì)于新定義題的學(xué)習(xí)，應(yīng)根據(jù)題型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行歸類劃分，例如，上述題型均為圖形類新定義題，都是基于基礎(chǔ)圖形進(jìn)行的定義，在中考中也有針對(duì)點(diǎn)、邊進(jìn)行的定義，因此對(duì)于題型的定義劃分、區(qū)分結(jié)構(gòu)的“同與不同”成為學(xué)習(xí)該類題型的關(guān)鍵.在學(xué)習(xí)過程中，可以基于同類題進(jìn)行分析比較，概括結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，總結(jié)解題方法，提煉解題思想，形成具體、系統(tǒng)的解題思路，做到“解一題，學(xué)一類題”，從解題探究發(fā)展為策略探究，從而促進(jìn)自身數(shù)學(xué)能力的深入發(fā)展.

四、寫在最后

中考新定義題是以“理解—探究—應(yīng)用”的命題思路來開展的，對(duì)于該類題型，需要以探究的方式來學(xué)習(xí)，基本思路為結(jié)合幾何圖像理解、轉(zhuǎn)化定義的概念，然后結(jié)合幾何性質(zhì)來解決實(shí)際問題.在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握審題方法，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力；注重知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，培養(yǎng)知識(shí)遷移能力；歸類新定義題，區(qū)分結(jié)構(gòu)特征，形成系統(tǒng)的解題思路，發(fā)展學(xué)生的解題能力.

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