劉扭扭， 張振果， 徐時吟， 華宏星

(1. 上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240; 2. 上海交通大學(xué) 振動、沖擊及噪聲研究所，上海 200240)

梁類結(jié)構(gòu)是各類機(jī)械系統(tǒng)的基本構(gòu)件，是振動與噪聲傳遞的重要載體，其振動隔離問題一直是廣大學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)。Kushwaha等[1]，通過類比光子晶體，首次提出利用具有彈性波帶隙的周期性復(fù)合材料或結(jié)構(gòu)(聲子晶體)來抑制帶隙范圍內(nèi)彈性波的傳播。

聲子晶體帶隙形成機(jī)理包括布拉格散射型和局域共振型兩大類型[2-3]。傳統(tǒng)的聲子晶體帶隙產(chǎn)生機(jī)理為Bragg散射機(jī)理，帶隙產(chǎn)生的原因是周期變化的材料特性與彈性波之間的耦合作用[4]，第一帶隙的中心頻率約為c/2a， 其中c為彈性波在基體材料中的波速，a為周期結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)。在材料結(jié)構(gòu)已知的條件下若想獲得低頻帶隙必須要選取大的晶格常數(shù)，一般不可能在晶格常數(shù)為幾厘米或更小的情況下得到1 kHz以下的低頻帶隙，因此在實(shí)際使用中受到諸多限制。

Liu等[5]首次提出了局域共振帶隙機(jī)理，突破了傳統(tǒng)布拉格帶隙機(jī)理的限制，可以在較小的晶格常數(shù)條件下獲得較低的低頻帶隙。郁殿龍[6]通過理論和實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證了局域共振帶隙的存在，并構(gòu)造出了具有低頻禁帶的一維縱向小尺寸聲子晶體結(jié)構(gòu)；在此基礎(chǔ)上肖勇[7]對彈性波的縱向隔振機(jī)理進(jìn)行了較全面的分析。

Flannelly[8]利用慣性耦合能夠產(chǎn)生反共振頻率的特點(diǎn)，提出了一種動力反共振的隔振結(jié)構(gòu)，Rita等[9-11]將其用于航空航天工業(yè)領(lǐng)域。Ivovich等[12]把這種隔振器用來隔離從機(jī)器傳遞到基礎(chǔ)的低頻振動，Platus[13]采用相同的原理設(shè)計(jì)了液壓杠桿系統(tǒng)，可以克服機(jī)械杠桿不能實(shí)現(xiàn)的大杠桿比結(jié)構(gòu)。Yilmaz等[14]系統(tǒng)的分析了動力反共振的動力學(xué)特性。其原理示意圖如圖1所示，由于杠桿可以放大ma的慣性力，相當(dāng)于增加系統(tǒng)的等效質(zhì)量，因此采用相同的參數(shù)它會產(chǎn)生更小的共振頻率。

本文擬結(jié)合周期結(jié)構(gòu)局域共振帶隙機(jī)理和動力反共振結(jié)構(gòu)的慣性耦合機(jī)制，構(gòu)造出一種具有低頻局域共振帶隙的周期結(jié)構(gòu)。

首先介紹基于動力反共振周期結(jié)構(gòu)的局域共振帶隙計(jì)算的理論，并通過有限元進(jìn)行驗(yàn)證；進(jìn)而討論參數(shù)對局域共振帶隙的影響因素及其規(guī)律，最后從等效質(zhì)量和等效剛度的角度闡明動力反共振結(jié)構(gòu)作為局域共振子的優(yōu)勢。

1 細(xì)直梁的局域共振帶隙計(jì)算

1.1 基于傳遞矩陣法的帶隙計(jì)算

如圖1所示為新型共振子結(jié)構(gòu)，將其沿均質(zhì)桿縱向周期布置，如圖2所示。其中每個振子的剛度為k，杠桿上的懸掛質(zhì)量為ma，主質(zhì)量為m，晶格常數(shù)為a。作如下假設(shè)：

(1) 共振子與梁連接的部分為剛性點(diǎn)連接且無質(zhì)量；

(2) 杠桿為剛性無質(zhì)量桿，僅考慮懸掛慣形體的質(zhì)量；

(3) 各個鉸鏈的阻尼和摩擦均不計(jì)；

(4) 彈簧為無質(zhì)量、線性且無阻尼的彈簧；

(5) 主質(zhì)量為剛性塊；

(6) 不考慮基座的質(zhì)量；

(7) 振動為小振動。

令細(xì)直梁未變形時的軸線為u軸，垂直于軸線的坐標(biāo)為v軸。

梁縱向振動的運(yùn)動方程為

(1)

式中：u(x,t)為縱向位移；E為彈性模量；A為橫截面積。

圖1 單個共振子示意圖Fig.1 Schematic diagram of a single resonator

圖2 無限長細(xì)直梁局域共振周期結(jié)構(gòu)Fig.2 An infinite beam with a periodic array of local resonant resonators

共振子結(jié)構(gòu)將桿分為n段， 取其中第n段梁為例，式(1)的解可寫為

(2)

第n個共振子振動方程為

x=Xe-iωt

(3)

式中，X為第n個振子的振幅。

在第n段和第n-1段細(xì)直梁的連接處滿足位移連續(xù)、力平衡條件

(4)

式中，F(xiàn)為共振子傳遞到桿上的力。

對共振子進(jìn)行動力學(xué)分析， 第n個振子動能和勢能可分別表示為

(5)

(6)

其中，z,x,u滿足如下關(guān)系

z=(1-α)u+αx

(7)

以及α=l1/l2為杠桿比。

聯(lián)立式(5)～式(7)，利用拉格朗日方程可以得到

(8)

聯(lián)立式(2)、式(3)和式(8)可得

(9)

則該共振子傳遞到桿上的力F為

(10)

將式(10)代入式(4)中第二式可得到

(11)

其中，

(12)

把力F的表達(dá)式(10)代入式(4)并寫成矩陣的形式

Kψn=Hψn-1

(13)

梁在x方向上是無限周期結(jié)構(gòu)， 矢量ψn滿足Bloch定理[15]

ψn=eiqaψn-1

(14)

式中，q為波矢(一維時也稱為波數(shù)，為標(biāo)量)。

由式(13)和式(14)可得

|T-eiqaI|=0

(15)

式中：T=K-1H；I為4×4的單位矩陣。

根據(jù)式(15)可以得到系統(tǒng)的波矢(±q1或±q2)和ω之間的關(guān)系即系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)，q的符號代表本征波的傳播方向不同。由于周期性，本文將Re(q)的范圍限定在[-π/a,π/a]區(qū)間內(nèi)。顯然Re(q)描述的是本征波傳播通過單位長度的相位變化，Im(q)描述的是本征波傳播通過單位長度的幅值衰減，則當(dāng)Im(q)為不同值時所對應(yīng)的波的衰減程度也將不同，因此可以將本征波的傳播在一個頻帶范圍內(nèi)劃分為幾個不同的區(qū)域：

(a) 當(dāng)0≤Re(q)≤π/a且|Im(qa)|≠0時所對應(yīng)的本征波為衰減波，同時經(jīng)過一個周期后本征波的相位變化介于0和π之間，滿足這個條件的頻帶范圍即為本征波的阻帶即帶隙；

(b) 當(dāng)0≤Re(q)≤π/a且|Im(qa)|=0時所對應(yīng)的本征波無衰減，同時經(jīng)過一個周期后的本征波的相位變化介于0和π之間，滿足這個條件的頻帶范圍為本征波的通帶。

2 數(shù)值計(jì)算與有限元計(jì)算

文獻(xiàn)[4]中提出了一種以彈簧質(zhì)量為共振子、以有機(jī)玻璃為基體材料的一維聲子晶體，并證實(shí)了在這種結(jié)構(gòu)下局域共振帶隙的存在性。本文為實(shí)現(xiàn)更低的帶隙起始頻率，提出了一種以動力反共振為共振子的一維聲子晶體結(jié)構(gòu)。為了與文獻(xiàn)[4]進(jìn)行對比，所采用的結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料常數(shù)均與文獻(xiàn)[4]中保持一致。

梁的長度取為0.8 m，彈性模量E=4×109Pa，密度為ρ=1 000 kg/m3，b=10 mm和h=5 mm；振子主質(zhì)量為30 g，懸掛質(zhì)量為20 g，彈簧剛度為k=106N/m，杠桿比取α=2。

利用式(15)可以計(jì)算得到無限周期結(jié)構(gòu)細(xì)直梁在0～1 500 Hz內(nèi)的能帶圖如圖3所示。利用節(jié)1中判斷帶隙的方法，由圖3可以判斷出在這種結(jié)構(gòu)下系統(tǒng)的帶隙，為：473～1 234 Hz。文獻(xiàn)[4]在相同的參數(shù)條件下的帶隙為690～3 228 Hz。顯然，本文所提出的共振子周期結(jié)構(gòu)，帶隙的起始頻率比文獻(xiàn)[4]中的低了超過200 Hz,帶寬要小于文獻(xiàn)中的帶寬，但實(shí)際工程中，比如潛艇軸系的縱向隔振中，往往需要隔離的是低頻振動而且往往帶隙并不需要這么寬。

(a) 實(shí)部

(b) 虛部圖3 無限周期結(jié)構(gòu)的細(xì)直梁能帶結(jié)構(gòu)的波矢實(shí)部和虛部Fig.3 Complex band structure of longitudinal wave vector real part and imaginary part

作為驗(yàn)證，本文利用有限元軟件ANSYS建立了該結(jié)構(gòu)的有限元模型以分析計(jì)算在有限周期結(jié)構(gòu)條件下，彈性波的傳播特性。圖4所示為10個周期的細(xì)直梁的有限元模型圖。在梁的左端施加縱向單位位移，使得梁的縱向彈性波沿X軸傳播，在10個、20個、30個、40個振子的條件下通過計(jì)算右端響應(yīng)得到彈性波的傳播帶隙，結(jié)果如圖5所示。

圖4 細(xì)直梁的局域共振周期結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.4 Finite element model of uniform beam with ten unit cells

由圖5可以看出在上述兩種情況下，細(xì)直梁帶隙出現(xiàn)的位置基本一樣，均為：469～1 225 Hz，與無限周期結(jié)構(gòu)的解析結(jié)果吻合較好，證明了解析解的正確性。計(jì)算結(jié)果表明：隨著振子數(shù)量增加，彈性波在帶隙范圍內(nèi)的衰減也逐漸增加，證明了在細(xì)直梁上周期性安裝這種共振子可以使彈性波產(chǎn)生帶隙。值得關(guān)注的是，彈性波只在帶隙起始頻率處有明顯的衰減，之后隨著頻率的增加，彈性波衰減幅度明顯減小，這也正是局域共振帶隙的特點(diǎn)。

圖5 細(xì)直梁局域共振的位移傳遞函數(shù)Fig.5 Transfer function of local resonant beam

3 參數(shù)分析

如圖1所示，動力反共振結(jié)構(gòu)要比文獻(xiàn)[4]中所提的彈簧質(zhì)量共振子結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，擁有更多的參數(shù)。第二節(jié)的算例給出了在特定參數(shù)條件下動力反共振結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上，本節(jié)將進(jìn)一步研究動力反共振結(jié)構(gòu)的參數(shù)變化對一維聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)的影響。

動力反共振結(jié)構(gòu)包括：剛度k，主質(zhì)量m，懸掛質(zhì)量ma及杠桿比α。由于k已定，本節(jié)將通過兩個算例分別對杠桿比α以及主質(zhì)量m和懸掛質(zhì)量ma的分配進(jìn)行分析。

算例一中，保持質(zhì)量分配不變，考察杠桿比α對帶隙的影響規(guī)律。根據(jù)定義α≥1，這里分別取α為2，3，4，5；利用式(15)可以計(jì)算出在這幾種情況下的能帶結(jié)構(gòu)，由于通過波矢的虛部就可以完全表示出帶隙的位置、寬度以及衰減的幅值，因此在此僅列出式(15)中波矢的虛部解，結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同杠桿比下細(xì)直梁局域共振的波矢Fig.6 Wave vector of local resonant beam with different lever ratio

由圖6可以看出：當(dāng)α取2，3，4，5時系統(tǒng)的帶隙所在的頻率范圍分別為：473～1 233 Hz；344～675 Hz；268～462 Hz；218～349 Hz。隨著杠桿比的增加帶隙的起始頻率逐漸減小，帶寬也越來越小，但是最窄的情況仍有131 Hz，滿足實(shí)際需求；同時由波矢虛部的幅值可以知道隨著杠桿比的增加縱波在帶隙內(nèi)的衰減能力越來越弱，但是在衰減峰值出卻沒有這樣的規(guī)律。

算例二中保持杠桿比α=2不變，考察質(zhì)量分配對帶隙的影響規(guī)律。在本文中分別取m=40 g, 30 g, 20 g和ma=10 g, 20 g, 30 g，利用式(15)可以計(jì)算得到如圖7所示的能帶結(jié)構(gòu)。

圖7 不同質(zhì)量分配時的能帶結(jié)構(gòu)Fig.7 Band structure with different mass assignment

由圖7可以看出，質(zhì)量分配不同時帶隙的位置、衰減能力及帶隙的寬度都發(fā)生了較大的變化：當(dāng)m=40 g，ma=10 g時的帶隙為553～1 488 Hz, 當(dāng)m=30 g，ma=20 g時的帶隙為473～1 228 Hz當(dāng)m=20 g，ma=30 g時的帶隙為421～1 183 Hz。

因此，在實(shí)際中要根據(jù)需要，可通過靈活地選取杠桿比和質(zhì)量分配來得到理想的隔振性能。

4 帶隙機(jī)理解釋

通過變換方程式(8)可以得到：共振子的極點(diǎn)、零點(diǎn)分別為

由第二節(jié)的結(jié)果可以知道，帶隙的衰減峰值所對應(yīng)的頻率約為480 Hz。把相同的參數(shù)帶入極點(diǎn)表達(dá)式，得到的共振子極點(diǎn)頻率與局域共振帶隙衰減峰值對應(yīng)的頻率一致，說明局域共振帶隙產(chǎn)生的原因與動力吸振器相似。同時從極點(diǎn)表達(dá)式可以看出，當(dāng)采用相同的參數(shù)時，兩種共振子的極點(diǎn)頻率卻不相同，動力反共振結(jié)構(gòu)的極點(diǎn)可以通過調(diào)節(jié)杠桿比來改變，帶隙的位置也將會隨之發(fā)生改變。由于這個特點(diǎn)使得動力反共振在作為共振子均勻沿桿的縱向周期布置時能夠產(chǎn)生初始頻率更低的局域共振帶隙。

由第二節(jié)算例的結(jié)果可以看出，在相同的參數(shù)條件下，由動力反共振構(gòu)成的周期結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的局域共振帶隙要窄于文獻(xiàn)[4]中的結(jié)果。文獻(xiàn)[7]對一維桿的局域共振帶隙機(jī)理進(jìn)行了深入研究，分析了共振子參數(shù)變化對帶隙的影響規(guī)律。但本節(jié)給出的是在共振子參數(shù)給定的條件下，通過定義等效質(zhì)量和等效剛度兩個參數(shù)，并比較兩種共振子等效參數(shù)的差異，給出了造成這一現(xiàn)象的原因。

如上所述，利用式(2)和式(10)定義了如式(16)和式(17)的動力反共振的等效質(zhì)量和等效剛度。同理，式(18)和式(19)中給出了彈簧質(zhì)量的等效質(zhì)量和等效剛度。

(16)

(17)

(18)

(19)

計(jì)算時采用第二節(jié)中的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以得到這兩種共振子的等效質(zhì)量和等效剛度隨頻率變化的曲線，分別如圖8和圖9中所示。

圖8 兩種共振子的等效質(zhì)量Fig.8 Effective mass of two resonator

由圖8和圖9的結(jié)果可以看出：動力反共振結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)存在共振峰和反共振峰，而彈簧質(zhì)量結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)只存在共振峰值。共振峰值與前述的極點(diǎn)表達(dá)式的計(jì)算值一一對應(yīng)，且動力反共振的共振峰值所對應(yīng)的頻率要小于彈簧質(zhì)量結(jié)構(gòu)的值，從另外一個方面說明了動力反共振結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生初始頻率更低的局域共振帶隙。而動力反共振結(jié)構(gòu)等效參數(shù)中存在的反共振峰值，使得由它所組成的周期結(jié)構(gòu)的局域共振帶隙結(jié)束的早，即相對文獻(xiàn)[4]中的由彈簧質(zhì)量所組成的一維聲子晶體，由動力反共振結(jié)構(gòu)組成的周期結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的局域共振帶隙要窄。

圖9 兩種共振子的等效剛度Fig.9 Effective stiffness of two resonator

5 結(jié) 論

本文提出了一種具有低頻局域共振帶隙的新型細(xì)直梁周期結(jié)構(gòu)，通過能帶結(jié)構(gòu)和傳輸特性的理論與數(shù)值研究，主要結(jié)論如下：

(1) 基于動力反共振結(jié)構(gòu)的局域共振細(xì)直梁，可通過調(diào)節(jié)杠桿比產(chǎn)生初始頻率低的局域共振帶隙，且隨著周期數(shù)目增多，縱向彈性波在帶隙內(nèi)衰減增大。

(2) 在動力反共振保持與文獻(xiàn)[4]中振子質(zhì)量相同的情況下，杠桿比α值越大所產(chǎn)生的局域共振帶隙的起始頻率越小，且有利于低頻隔振，但是帶寬會減小。

(3) 在保持杠桿比不變的情況下，動力反共振的懸掛質(zhì)量ma越大產(chǎn)生的帶隙起始頻率越小，但同樣會減小帶隙的寬度。

梁類結(jié)構(gòu)的減振降噪是振動與噪聲領(lǐng)域所研究的主要對象之一，本文所采用的動力反共振結(jié)構(gòu)，能夠?qū)崿F(xiàn)小尺寸低頻寬帶減振，為聲子晶體在低頻隔振領(lǐng)域的應(yīng)用，如潛艇軸的縱向隔振，提供了理論基礎(chǔ)。

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