蔡晨芳

摘 要：針對當前高中物理對“微元法”教與學中存在的脫節(jié)低效的困惑，本文從科學思維特征、教材編寫意圖、核心素養(yǎng)目標、學生認知順序、教學匹配原則五方面闡述進階滲透“微元法”教學研究的依據(jù)與思考。

關(guān)鍵詞：進階滲透；微元法；教學研究

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2017）12-0026-5

當下世界各國基礎(chǔ)教育共同關(guān)注“國民核心素養(yǎng)”的發(fā)展，每門學科、課程都肩負著培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的不可或缺的獨特使命。高中物理學科重點承載理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究、問題解決、社會責任等素養(yǎng)要點。其中，科學思維與科學方法是學科核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成要素。思維方法中解決物理問題的重要數(shù)學工具——“微積分”作為研究非線性變化重要的數(shù)學方法，其應用與發(fā)展已廣泛地滲透到了物理學、化學、經(jīng)濟學等各個領(lǐng)域，它不僅是物理學、力學和工程技術(shù)上普遍采用的方法，而且可解決日常生活中許多復雜的問題，如氣象預測、人造衛(wèi)星軌跡的計算，運動過程的分析、股市變化研判、商品生產(chǎn)的供需平衡、市場預警等。

然而，在高中階段物理學習中，由于數(shù)學學習上的滯后局限，對可以使用微積分來進行計算的一些問題，如變力、流體、曲線運動等問題在高中階段運用初等數(shù)學很難解決。而與微積分一脈相承的、具有積分學重要雛形的“微元法”，是解決上述問題行之有效的替代方法。在高中培養(yǎng)“微元法”思維方法，學生不僅能品味“微積分”的基本思想，洞察微積分運用的基本過程，而且有利于高考壓軸題的突破，有益于后續(xù)高校學習的順應對接。但“微元法”對學生的細致思考能力和極限思維能力要求較高，在實際教學實踐中師生普遍感覺“難教難學”。即便是高三學生也往往“談微色變”、望而卻步。如何運用“自然保護區(qū)”模式，既保護每一種類型學生的天賦與價值，又能最大化、最優(yōu)化激發(fā)微元思維的落地生根、開花散葉？《老子》中有“合抱之木，生于毫木。九層之臺，起于累土?！惫P者認為，要運用系統(tǒng)論、控制論的思想和方法，在高中階段有計劃、分階段規(guī)劃分散“微元法”的教學難點，循序漸進地滲透“微元法”，才可能更好地實現(xiàn)與學生能力素質(zhì)、個性特征相匹配的“同步”教學。下面就進階滲透“微元法”的教學談談個人的看法。

1 進階依據(jù)

1.1 依據(jù)科學思維特征，確定進階滲透方案

（1）什么是微元法

對于一些復雜的連續(xù)變化的物理現(xiàn)象和物理過程，從整體或全局處理感到困難時，可根據(jù)問題需要，將研究對象、研究過程或研究時間等 “千刀萬剮”分割為適當?shù)奈⒃M行研究，如質(zhì)元（極小質(zhì)點Δm）、位移元（極短的距離Δx）、時間元（極小的時間Δt）等，再運用物理規(guī)律找出微元間的關(guān)系，最后對元過程進行必要的累加求出累積量，進而解決問題。這種方法稱“微元法”，又稱微小變量法。簡要來說“微元法”就是采用分割逼近、近似代替、累計求和的三步驟，應用積分的思想，化整為零，積零為整?；?yōu)楹悖鸀橹?，使變量、難以確定的量為常量或易于確定的量，達到了解整體、解決問題的目的。

（2）什么是進階滲透

在古漢語中，“進階”一詞有“臺階”的意思，通常指從低級到高級的過程?！皾B透”指融合為一。進階滲透教學是在原來的基礎(chǔ)上有較大程度提高的、漸進式融合的教學方式。進階滲透教學，就是立足全局，將問題的難點細化，分散到各學段各個突破，要求教師像研究項目的導師，課堂像“創(chuàng)客聯(lián)通平臺”，通過各學段、各階段的集體思維攻關(guān)，資源共享，實現(xiàn)“個性化學習”的需求。最終達成核心素養(yǎng)目標，習得一種思維方式，獲得自我升級與幸福的能力。

1.2 依據(jù)教材編寫意圖，確定進階滲透模版

教材對“微元法”的謀篇布局精心規(guī)劃，貫穿于高中物理學習的始末。下面以某版本《物理》教材為例，說明微元法在教材中的進階序，如表1所示。

必修1教材從平均速度出發(fā)，首次采用逼近真實的思想，提出從s到s+Δs這段運動過程內(nèi)，Δs越小平均速度與瞬時速度的差異也就越小，運動的描述就越精確。在此基礎(chǔ)上，再提出若Δs足夠小時，就可以認為Δs的平均速度就是s位置的瞬時速度。接著，再提出測t位置的瞬時速度的方法類似。正是這種無限分割逼近的方法，可以使原來不易測量的瞬時速度轉(zhuǎn)化為可測量的平均速度，可以使原來較為復雜的過程轉(zhuǎn)化為簡單的過程。教材從“足夠小”，構(gòu)建逼近模型，滲透了“位移微元”的理念。在推導勻變速直線運動的位移公式，教材通過拓展一步結(jié)合圖文，讓學生體會運用逼近模型能夠有效地逼近非線性曲線的面積，將微元思想集成為無限細分，無限求和。教材第一次明確提出推導中用到了微積分思想，即無限分割，逐漸逼近真實狀況。

必修1教材總體上反映思維方法特征。學生從Δt足夠小，了解了“時間微元”“面積近似”的同時，也掌握了用“微元法”處理問題的基本方法。從研究運動過程分割時間、分割位移的角度潛移默化“元過程”意識，感悟微積分思想的核心：逼近模型、化變?yōu)楹恪?/p>

必修2教材強調(diào)運用微元思想求解功的差異。開始求解變力功是應用“位移微元”與“面積近似”的微元思想，進一步滲透“化變?yōu)楹恪?，“部分和的極限”的思想。其次，求解曲線運動的重力功滲透“化曲為直”的思想，“直”向“曲”的逼近。必修2教材對“微元法”體現(xiàn)研究過程特征。強調(diào)從“不變”認識“變”，從直線形認識曲線形，從近似認識準確，滲透了樸素的哲學思想。

選修3-1編排按照從“力”到“電”最后“磁”的順序安排，關(guān)注“微元法”從力學到電磁學的遷移運用。選修3-1教材首先抓住導體棒的對稱性無限分割后可累加的使用條件，將研究對象無限分割為“元電荷”。接著在研究電流強度與安培力時強化了對“電流微元”的理解，同時再次顯化運用的關(guān)鍵條件是分割求和可運算。在此部分的教材體系中體現(xiàn)方法應用技能。如推導洛倫茲力公式，電流與磁場的作用等。

選修3-2編排仍然體現(xiàn)方法應用技能。從電磁感應中連續(xù)變化的處理方法，一步一步從“線微元”“面積微元”，從實驗、理論、實踐的環(huán)節(jié)滲透“分割、累加”的微元思想。endprint

選修3-3編排反映思維方法特征。體現(xiàn)了微觀角度、從液體分子到氣體分子的微觀統(tǒng)計中滲透了微小累積，平均替代統(tǒng)計思想。

選修3-4編排體現(xiàn)研究過程特征。在動力學研究中關(guān)注了非線性變化的問題，將不易研究的變力、曲線問題微元化為 “位移微元”，從而化變?yōu)楹?，化雜為簡。此部分對微元法更多關(guān)注“線微元”的學以致用。

選修3-5編排體現(xiàn)方法應用技能。此部分著重突出對變力、變質(zhì)量的變化處理，關(guān)注常量向變量的逼近替代思想。

從教材編排順序上看，對“微元法”建構(gòu)了較長時間內(nèi)的學習進階。學習“微元法”經(jīng)歷了簡單到復雜的過程，從勻加速直線運動到勻加速曲線運動，從恒力到變力，從力學到電磁學、熱學、光學、原子物理等，從定性到定量，從了解到運用推導、動手實踐，潛移默化地滲透微元法，促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

1.3 依據(jù)核心素養(yǎng)目標，確定進階滲透層級

基于物理核心素養(yǎng)目標與學生多元發(fā)展，確定“微元法”階段要求為四個層級：

層級一：結(jié)合瞬時速度定義案例與勻變速直線運動位移公式推導案例，認識形成物理觀念，知道研究物理問題的本質(zhì)方法：逼近思維、極限方法、微元思想。

層級二：結(jié)合變力功的圖像理解案例與曲線運動中重力功的推導案例，知道“微元法”模型；能對比較簡單的問題運用“微元法”獲得結(jié)論。能體會科學思維中的“化變?yōu)楹恪薄盎鸀橹薄钡某橄蠓椒ê徒?gòu)微元法過程的特征。

層級三：能使用“微元法”模型解決問題，能對現(xiàn)實問題判斷能否使用“微元法”。能進行分析和推理，獲得結(jié)論并作出解釋。

層級四：能在特定的情境下，能從“微元法”視角建構(gòu)、分析、表達自己的觀點，能從不同角度思考、綜合分析各種自然、生活、社會中與“微元法”相關(guān)的問題。

1.4 依據(jù)學生的認知順序，確定進階滲透策略

（1）前認知。學生對“微元法”的認識在小學已經(jīng)開始了。第一次接觸是小學六年級上學期學習圓面積的問題求解中，對分割逼近，累加求和就有了樸素的逼近典型的概念，就有了微積分的思想。隨后，在進一步的數(shù)學學習中對球和球冠面積等任意圖形的討論學習求解，無不體現(xiàn)滲透著“微元法”的替代思想，所以要注意整合相關(guān)學科的認知儲備，緩坡前進。

（2）學段序。要依據(jù)學段學情，分散教學的難點，確定每一階段、每一層級的具體學習內(nèi)容。高一主要從建構(gòu)角度，從物理概念、公式中反映思維方法特征，理解“微元法”的思想、步驟。高二主要從過程角度，從課后練習、推導中掌握運用“微元法”的過程技巧。高三主要從技能角度，從復習解題、應用實踐中學會用“微元法”解決實際問題。

1.5 依據(jù)教學匹配原則，確定進階教學內(nèi)容

“微元法”各學段教學設(shè)計要圍繞充分展現(xiàn)微元法的思維魅力，防止教學高原現(xiàn)象。高一淺入淺出介紹“微元法”的思想、思維方法。教學中建議引入用微元法處理生活問題的相關(guān)例子，增加感性認知，激發(fā)學生對“微元法”思維的同化與內(nèi)化。“微元法”不是任何層次的學生可以接受的，此階段應輕數(shù)學運算技能，重在微元思想的彰顯，根據(jù)學生的不同情況作適切的調(diào)整。高二文理分科后，對理科生更應側(cè)重于微元思想方法的領(lǐng)悟，重在培養(yǎng)學生研究性學習的能力。注重對微元思維的訓練，選擇應用到實際生活的例子，理解微元法的妙用，滲透過程與結(jié)果、有限與無限、直與曲、不變與變的對立統(tǒng)一思維。如果高一是認知微元思想，高二是明晰微元方法，高三就是注重微元應用。高三復習階段，重在培養(yǎng)學生解決問題的能力。無論哪一階段教學設(shè)計的指導思想是設(shè)計諸多小課題，合理的激勵措施，吸引學生進入后續(xù)學習的軌道。

2 案例說明

案例（一）：瞬時速度的定義關(guān)注微元法課堂問題的設(shè)置。

1.提出問題：

質(zhì)點變速直線運動求在某位置的速度？例如：觀察一輛電動玩具汽車沿著一條米尺運動。若玩具汽車運動得足夠慢，可以用一臺數(shù)字鐘記錄下不同時刻的位置。請你設(shè)計能測出通過某位置對應瞬時速度的實驗方案。

2.討論質(zhì)疑：

用提供的數(shù)據(jù)測量出的是平均速度v還是瞬時速度v？根據(jù)近似替代原理，用什么方案、在什么情況測出的平均速度最接近瞬時速度。

3.類比點撥：

小學是如何推導圓的面積？（平均切割，無限逼近）

兒童發(fā)育期間每時每刻的身高都在生長，如何推測出某歲時的身高值？

此環(huán)節(jié)設(shè)置目的從生長角度切入，理解選擇越接近參照年齡時，對應的身高值越逼近真實值。正向遷移對測瞬時速度的方案條件（極短逼近）的理解。

4.建構(gòu)模型：

從“位移足夠小”，構(gòu)建逼近模型，滲透“位移微元”的理念。逼近模型是微元法最基本的單元——局部求近似，極限求精確，它滲透在我們?nèi)粘Ｉ畹姆椒矫婷妗?/p>

5.定性描述：

提出從s到s+Δs這段運動過程內(nèi)，Δs越小平均速度與瞬時速度的差異也就越小，運動的描述就越精確。在此基礎(chǔ)上，再提出若Δs足夠小時，就可以認為Δs的平均速度就是s位置的瞬時速度。接著，再提出測t位置的瞬時速度的方法類似。正是這種無限分割逼近的方法，可以使原來不易測量的瞬時速度轉(zhuǎn)化為可測量的平均速度，可以使原來較為復雜的過程轉(zhuǎn)化為簡單的過程。

6.數(shù)學語言：

v=

當Δt→0時，

Δv=|v-v|→0

v=v

此部分教學設(shè)計特別注意推遲判斷，鼓勵不同見解，培養(yǎng)創(chuàng)新能力、求異思維品質(zhì)。

案例（二）：推導勻變速直線運動的位移公式或變力功強調(diào)微元圖像法功能。

1.問題情境：

已知質(zhì)點的初速度為v0，做加速度大小為a的勻變速直線運動，經(jīng)時間t的運動位移是多少？

2.小組討論：endprint

學生展示各種推導方案。

3. 類比點撥：

能否運用圖像面積法與逼近模型推導位移公式？

回憶小學如何求圓的面積？生活中的實例同步播送最新動態(tài)的新聞畫面，它將一個個區(qū)域小畫面集成大屏幕或地球形狀類比。又如由一個個像素集成的數(shù)字油畫，由千針萬線的一小段直絲線積累、繡出的優(yōu)美畫面。年段學生分數(shù)段成績的分布統(tǒng)計圖等。

4.建構(gòu)模型：從對事物的極小部分（微元）的分析入手，無限細分、無限累積，達到解決整體問題的方法，叫做微元法。

5.定性描述：微分構(gòu)建微元，累積統(tǒng)計總量。無限切割微元，圖像矩形塊累積。

6.數(shù)學語言：

Δs=Δv·Δt

同理：

Δs1=Δv1·Δt

Δs2=Δv2·Δt

Δs3=Δv3·Δt

…

累積s=Δs1+Δs2+Δs3+…+Δsn

7.化歸思維：

Δs=Δx·Δy

同理：

Δs1=Δy1·Δx

Δs2=Δy2·Δx

Δs3=Δy3·Δx

…

累積s=Δs1+Δs2+Δs3+…+Δsn

適用：變化運動過程中橫縱坐標乘積具有物理意義。

8.討論 總結(jié)：

建元過程：

微元法的思路是無限分割與逼近，取微元即對整體對象作無限分割，分割的對象可以是一段時間、一個過程，得到“時間元”“過程元”；也可以對各種物理量進行分割，得到如“元電荷”“元功”“元電流”等。 （下轉(zhuǎn)第33頁）（上接第29頁）

檢元過程：

分解為眾多微小的“元過程”（如時間元Δt、長度元ΔL、面積元ΔS）需要檢查每個“元過程”所遵循的規(guī)律是否相同？是否“微元”及相應的量具備“可加性”特征。

累加過程：

疊加域內(nèi)“不遺漏”“不重復”的完整疊加，通過求取極限，達到向精確描述的逼近。

綜上所述，在一節(jié)課時間內(nèi)，讓學生學習達到“綜合”“運用”水平是不太現(xiàn)實的，構(gòu)建物理思維與研究習慣的培養(yǎng)也不可能立竿見影、一蹴而就。因此，教師要有全局的意識，規(guī)劃的能力，進階的策略，助力學生核心素養(yǎng)的發(fā)展才能事半功倍。

參考文獻：

[1]胡進，王家祺.每門學科都可以聚焦核心素養(yǎng)培育[J].基礎(chǔ)教育論壇，2017（2）：24.

[2]劉成華.運用微元法處理“非線性”變化物理問題[J].物理通報，2011（2）：23-25.

（欄目編輯 李富強）endprint