馮宇晨

摘 要：數(shù)列在高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的頻率非常高，所以，要想取得好成績(jī)，就要對(duì)求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法進(jìn)行研究。基于此，對(duì)由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法進(jìn)行研究，其中包括公式法、累計(jì)相加法、累計(jì)相乘法、創(chuàng)造新數(shù)列法以及倒數(shù)法等幾種方法。通過(guò)對(duì)以上幾種方法的研究，提高遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)效率。

關(guān)鍵詞：遞推式；數(shù)列通項(xiàng)公式；變換法

一、數(shù)列通項(xiàng)公式

要想對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的推算方法進(jìn)行詳細(xì)的研究，首先要清楚數(shù)列通項(xiàng)公式的計(jì)算方法以及本身的推導(dǎo)過(guò)程。數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程如下：在對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)的過(guò)程中，第一步要從數(shù)列通項(xiàng)公式中的特殊點(diǎn)以及概念入手。數(shù)列通項(xiàng)公式中通常會(huì)對(duì)n的范圍作出明確的界定，在對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)的過(guò)程中，可以將范圍內(nèi)的特殊點(diǎn)帶入數(shù)列通項(xiàng)公式中去，由此便可以得出整個(gè)數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)范圍。大致方法為，將目前已知的公式，通過(guò)相加的方式，得出an的表達(dá)公式，進(jìn)而推導(dǎo)出數(shù)列通項(xiàng)公式。

二、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

（一）公式應(yīng)用法

在利用遞推式對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)的過(guò)程中，公式法是應(yīng)用最為普遍的方法之一，公式法在應(yīng)用的過(guò)程中，通常題干中會(huì)給出將要計(jì)算數(shù)列的公式，只需要對(duì)題干中的條件以及重要因素進(jìn)行提取，通過(guò)找到兩個(gè)公式之間的關(guān)系，并對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，對(duì)兩個(gè)數(shù)列之間的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)。例如，通過(guò)研究{an}與{Sn}兩個(gè)數(shù)列之間的關(guān)系，從而得出a1與S1，a2與S2之間的關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的推算[1]。

（二）猜想法

猜想法的運(yùn)用主要是對(duì)已知數(shù)列通項(xiàng)公式的規(guī)律進(jìn)行猜想，并運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)對(duì)猜想出規(guī)律的正確性進(jìn)行證明。這種方法的應(yīng)用重點(diǎn)在于利用已知數(shù)列通項(xiàng)公式對(duì)猜想數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性進(jìn)行證明，而不是對(duì)通項(xiàng)公式的猜想，這種方法稱(chēng)作猜想法。在運(yùn)用此種方法進(jìn)行數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的過(guò)程中，要保證對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的普通推導(dǎo)方法非常熟悉，才能夠保證在證明猜想公式正確性的過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如，已知S1、S2、S3的數(shù)列通項(xiàng)公式，求Sn的數(shù)列通項(xiàng)公式。通過(guò)對(duì)已知數(shù)列通項(xiàng)公式的分析，對(duì)要求的通項(xiàng)公式進(jìn)行猜測(cè)，并加以證明。

（三）累計(jì)相加法

累計(jì)相加法指的是將已知數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行相加，從而得到一個(gè)新型的數(shù)列通項(xiàng)公式。通過(guò)這種方法還能夠?qū)?shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求和計(jì)算，這種方法也是在對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)的過(guò)程中最常用的方法。

例如，已知S1、Sn，求Sn+1的數(shù)列通項(xiàng)公式，將已知的兩個(gè)數(shù)列通項(xiàng)公式相加，得到的另一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)公式就是所求的數(shù)列通項(xiàng)公式。

（四）累計(jì)相乘法

累計(jì)相乘法在實(shí)際中的應(yīng)用范圍要比累計(jì)相加法的應(yīng)用范圍小一些，這種方法在計(jì)算過(guò)程中的應(yīng)用難度也大一些。大概的應(yīng)用思路是將已知數(shù)列整體相乘，得到一個(gè)新數(shù)列。通常運(yùn)用這種方法的數(shù)列公式結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，往往會(huì)出現(xiàn)比值的情況，加上分母不能為零的特殊要求，所以在n的取值范圍上要重點(diǎn)考慮，避免分母為零的情況出現(xiàn)。

例如，已知S1、g1，求g（S）的數(shù)列通項(xiàng)公式，通過(guò)對(duì)已知兩種數(shù)列通項(xiàng)公式相乘求積的方式，推導(dǎo)出所求數(shù)列通項(xiàng)公式。

（五）創(chuàng)造新數(shù)列法

創(chuàng)造新數(shù)列法也叫做待定系數(shù)法，就是將已知的通項(xiàng)公式帶入到要推導(dǎo)的數(shù)列通項(xiàng)公式中去，進(jìn)而得出一個(gè)新的數(shù)列，也就是推導(dǎo)數(shù)列。通常情況下，這類(lèi)數(shù)列推導(dǎo)題會(huì)在題干中給出幾個(gè)常數(shù)，將常數(shù)帶入進(jìn)去，進(jìn)行新數(shù)列通項(xiàng)公式的計(jì)算。這種方法的運(yùn)用實(shí)質(zhì)其實(shí)就是找到已知數(shù)列之間的相等關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造出一個(gè)平時(shí)練習(xí)中較為熟悉的通項(xiàng)公式結(jié)構(gòu)模式，從而提高推導(dǎo)的準(zhǔn)確性，降低推導(dǎo)難度。

（六）倒數(shù)法

倒數(shù)法主要是通過(guò)對(duì)已知數(shù)列通項(xiàng)公式采用取倒數(shù)的方式，從而形成一個(gè)新的數(shù)列通項(xiàng)公式，并對(duì)這個(gè)新的數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算推導(dǎo)。在此種方法運(yùn)用的過(guò)程中也應(yīng)該注意分母不能為零，對(duì)n的取值范圍進(jìn)行精準(zhǔn)的制定。另外，在形成新的數(shù)列通項(xiàng)公式之后，可以利用上文中介紹的方法對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算。在此種方法應(yīng)用的過(guò)程中應(yīng)注意兩方面的問(wèn)題，一方面是要取數(shù)列通項(xiàng)公式的倒數(shù)，另一方面要注意數(shù)列通項(xiàng)公式中差或者比的變化情況[2]。

隨著數(shù)列通項(xiàng)公式在高中數(shù)學(xué)中的地位越來(lái)越高，人們對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)方法的研究也越來(lái)越深入。本文通過(guò)利用遞推式對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的常用方法進(jìn)行介紹，提高了數(shù)列推導(dǎo)公式的推導(dǎo)效率，同時(shí)也降低了數(shù)列通項(xiàng)公式在推導(dǎo)過(guò)程中的復(fù)雜程度。由此可以看出，通過(guò)遞推式對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的常用推導(dǎo)方法進(jìn)行完善，能夠?yàn)榻窈筮f推式在數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王濤.例談?dòng)蒘n求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法[A].教育教學(xué)研究（2016年版）第一輯[C]，2016：2.

[2]張穎.由遞推式構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式[J].才智，2010（6）：104.

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