蔡耀龍

【摘 要】在初中數(shù)學(xué)的解題過程中，有很多的幾何論證題目是常規(guī)思路無法解決的，可以利用圓所具有的特征，結(jié)合題目的具體情況，對難以解決的幾何題目進行論證。本文簡單介紹幾種利用圓的特征建造輔助圓，然后對需要論證的問題進行解決的思路。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題；輔助圓的運用

在初中的幾何題目當(dāng)中，有些時候要用到很麻煩的解題思路方法，甚至于連續(xù)的相似去求得邊長或角度的關(guān)系；但是有時候添加必要的輔助線是解決平面幾何相關(guān)問題的重要手段之一，同時往往也是解題的關(guān)鍵之所在；在平時的解題中，線段和直線（平行線或垂線）這些作為輔助線是我們大家最熟悉和最常用的一種手段。

而有些時候我們可以另外構(gòu)造一個圖形，比如作全等圖形，可通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等方式來得到，這種我們稱作構(gòu)造輔助圖形。其實我們也可以去根據(jù)條件構(gòu)造輔助圓，很多問題的結(jié)論或證明過程都可以借助圓的相關(guān)一些知識或性質(zhì)直接就能得到，可此時的圓并不存在（有可能題目的已知條件中沒有提到或者涉及到相關(guān)圓；或有可能提到或涉及到圓，但是不是我們所需要的），這就需要我們根據(jù)需要或已知條件入手，再結(jié)合圖形把實際存在的圓找出來，就要去練就一雙 “火眼金睛”。

要懂得圓的相關(guān)知識，如經(jīng)過兩個點可以畫出無數(shù)個圓；經(jīng)過不在同一直線上的三個點可以作一個圓，并且只能作一個圓。圓有好幾個判定定理和性質(zhì)，但是要跟大家強調(diào)的是有兩個①圓的定義：到一個定點的距離相等的所有的點在同一個圓上；②同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點共圓。這兩個知識經(jīng)常用到，而且結(jié)合這兩個知識構(gòu)造輔助圓來解題在大部分題目中都能體現(xiàn)出來。其實這就是我的“火眼金睛”。

一、到一個定點的距離相等的所有的點在同一個圓上

經(jīng)?？吹筋}目給定好幾條線段相等，而且也能看到是過一固定點的所有線段相等，此時我們就應(yīng)該考慮這幾點共圓，經(jīng)過這幾點去作圓。

例1：

如圖1，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，

若∠CAD=76°，則∠CBD= 度。

解析：如果直接去想去做，估計連想都不會想，更何況是做，甚至于連半點思路都沒有。

但是如果抓住AB=AC=AD這個條件入手，只需以點A為圓心，AB為半徑作圓，畫出圖形再結(jié)合圓的性質(zhì)就比較簡單、直接、明了。

就能得到∠CBD等于∠CAD的一半，即38°。

也就是說題目中只要出現(xiàn)AB=AC=AD，像這樣的共端點的等線段問題就可以去考慮以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓，這樣既節(jié)省時間又容易做對，而且很輕松就可以考慮到。

二、同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點共圓

同弧所對的圓周角都相等這個性質(zhì)經(jīng)常用到，同樣要懂得利用“同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點共圓”來解決相關(guān)題目；此時構(gòu)造的圓可以把相等的角轉(zhuǎn)化出來，很容易就看出來，聯(lián)系起來。

例2：如圖2，已知拋物線y=a（x-2）2+1與x軸從左到右依次交于A、B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（3，0），連結(jié)AC、BC。

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若P為此拋物線的對稱軸上的一個動點，連結(jié)PA、PB、PC，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m.試探究：

①當(dāng)m為何值時，|PA-PC|的值最大？并求出這個最大值。

②在P點的運動過程中，∠APB能否與∠ACB相等？若能，請求出P點的坐標(biāo)；

若不能，請說明理由。

解析：第（1）小題直接帶入去求得：

y=-（x-2）2+1=-x2+4x-3

第（2）小題由三角形的三邊關(guān)系可知，|PA-PC|

∴當(dāng)P、A、C三點共線時，|PA-PC|的值最大，為AC的長度，

∴延長CA交直線X=2于點P，則點P為所求的點.

求得A（1，0），C（0，-3），則有OA=1，OC=3，∴AC=.

求得直線AC的解析式為y=3x-3，由拋物線的對稱軸為直線x=2，∴點P（2，m）

∴m=3×2-3=3，∴當(dāng)m=3時，|PA-PC|的值最大，最大值為.

關(guān)鍵：第（3）小題 ，設(shè)直線x=2與x軸的交點為點D，作ΔABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點為P1，P1關(guān)于x軸的對稱點為P2，則P1、P2均為所求的點。（如圖3）

圖3

∵∠AP1B、∠ACB都是弧AB所對的圓周角，

∴∠AP1B=∠ACB，且射線DE上的其它點

P都不滿足∠APB=∠ACB.

∵圓心E必在AB邊的垂直平分線即直線X=2上.

∴點E的橫坐標(biāo)為2.

又∵OB=OC=3，

∴圓心E也在BC邊的垂直平分線

即直線y=-x上.

∴E（2，-2）.在RtΔADE中，DE=2，

，

由勾股定理得，

∴，

∴，∴.由對稱性得

∴符合題意的點P的坐標(biāo)為、.

上題利用同弧所對的圓周角都相等，但是關(guān)鍵是考慮圓心在哪？這是本題的關(guān)鍵所在。其實，題目也經(jīng)常出現(xiàn)同底同側(cè)的直角，或相互垂直的，此時我們也要考慮構(gòu)造輔助圓，借助幾點共圓來解題，即：同斜邊的直角三角形頂點共圓（斜邊就是圓的直徑）。

構(gòu)造圓要懂得利用“直徑所對的圓周角是直角”， 即去找直角（或垂直），這與直徑有密切關(guān)系，知道聯(lián)系起來處理問題解決問題；也就是說有直角或者有垂直就考慮到直徑，同理如果又遇到直徑也要去考慮垂直。

參考文獻：

[1]金明明.輔助圓在初中數(shù)學(xué)解題中的運用[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2015年11期

[2]謝雅禮.巧構(gòu)輔助圓解題[J].數(shù)理天地（高中版），2006年06期