林凱

【摘 要】單調性是函數(shù)的一個重要性質，它是學生學習一些其他知識的基礎，同時也是高考的高頻考點。但是在平時的教學過程中，筆者發(fā)現(xiàn)不論是初步接觸單調性的高一學生，還是進入總復習的高三學生，對于函數(shù)的單調性的判斷，大部分時候都是不知所以然。針對這一情況，筆者有以下一些解題分析和答題策略，與大家共同商討。

【關鍵詞】函數(shù)；單調性；定義法；性質法；同增異減法；導數(shù)法；抽象函數(shù)

函數(shù)的單調性是函數(shù)諸多性質中最為基本的性質，亦是最為常用的性質，觀察函數(shù)圖象時首先注意到的是圖象的上升或下降，但是由于圖象直觀獲得的結論還需要從數(shù)量關系的角度通過邏輯推理加以確認。所以對于函數(shù)單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：①要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；②單調性的證明是學生在函數(shù)內容中首次接觸到的代數(shù)論證內容，而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的。下面，筆者就這一問題給出一些自己的見解和方法，以供大家參考。

一、定義法

根據(jù)定義證明函數(shù)單調性是函數(shù)單調性的最重要的方法，利用定義證明函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間D上的單調性的一般步驟： ① 任取x1，x2∈D，且x1

例如：求函數(shù)y= x∈[2，3]上的單調性

證明：∵函數(shù)y===1+

設2≤x1

則f（x1）-f（x2）=-

∵2≤x1

∴x2-x1>0，x1-1<0，x2-1<0

∴f（x1）-f（x2）>0即f（x1）>f（x2）

∴函數(shù)y=在[2，3]上是減函數(shù)

使用定義法是判斷函數(shù)單調性的一種常用方法，使用這一方法關鍵在于對函數(shù)單調性定義的理解，在應用定義法判別的時候，首先取定定義域中不等的兩點，對其函數(shù)值作差，判斷其大小，但是，在解題過程中，不乏對不等式的靈活應用，因此熟練掌握一些常的不等式。

二、性質法

除了用基本初等函數(shù)的單調性之外，利用單調性的有關性質也能簡化解。

若函數(shù)f（x）、g（x）在區(qū)間B上具有單調性，則在區(qū)間B上有：

（1）f（x）與f（x）+C（C為常數(shù)）具有相同的單調性；例如：f（x）= x3在R上是增函數(shù)，則f（x）=x3+3在R上也是增函數(shù)；

（2） f（x）與c·f（x）當c>0具有相同的單調性，當c<0具有相反的單調性； 例如證明函數(shù)f（x）=3x-1在R上是單調增函數(shù)，∵函數(shù)f（x）=x在R上是單調增函數(shù)，∴f（x）=3x在R上也是單調增函數(shù)；∴f（x）=-2x在R上是減函數(shù)。

（3）當f（x）、g（x）都是增（減）函數(shù)，則f（x）+g（x）都是增（減）函數(shù)；例如，證明函數(shù)F（x）=x3+x在R上是增函數(shù)?！遞（x）= x3在R上是增函數(shù)，g（x）=x在R上是增函數(shù)， ∴F（x） =f（x）+g（x）=x3+x在R上是增函數(shù)；再如：證明函數(shù)F（x）=（）x+在R上是減函數(shù)?！遞（x）=（）x在R上是減函數(shù)，g（x）在R上是減函數(shù)，∴F（x）=（）x+在R上是減函數(shù)。

函數(shù)性質法是用單調函數(shù)的性質來判斷函數(shù)單調性的方法。函數(shù)性質法通常與我們常見的簡單函數(shù)的單調性結合起來使用。函數(shù)性質法只能借助于我們熟悉的單調函數(shù)去判斷一些函數(shù)的單調性，因此首先把函數(shù)等價地轉化成我們熟悉的單調函數(shù)的四則混合運算的形式，然后利用函數(shù)單調性的性質去判斷，但有些函數(shù)不能化成簡單單調函數(shù)四則混合運算形式就不能采用這種方法。

三、同增異減法

同增異減法是處理復合函數(shù)的單調性問題的常用方法。對于復合函數(shù)y=f[g（x）]滿足“同增異減”法（應注意內層函數(shù)的值域），可令 t=g（x），則三個函數(shù) y=f（t）、t=g（x）、y=f [g（x）]中，若有兩個函數(shù)單調性相同，則第三個函數(shù)為增函數(shù)；若有兩個函數(shù)單調性相反，則第三個函數(shù)為減函數(shù). 例如：求函數(shù)f（x）=log2x3在（0，+∞）的單調性，令y= log2t，t=x3；∵y=log2t在（0，+∞）是增函數(shù)，t=x3在（0，+∞）也是增函數(shù)；∴f（x）=log2x3在（0，+∞）是增函數(shù)。因為兩個函數(shù)都是增函數(shù)，則復合函數(shù)f（x）=log2x3在（0，+∞）上是增函數(shù)。

對于復合函數(shù)y=f[g（x）]，若函數(shù)u=g（x），在區(qū)間[a，b]上是單調函數(shù)，函數(shù)y=f（u）在[g（a），g（b）]或[g（b），g（a）]上也是單調函數(shù)，那么復合函數(shù)y=f[g（x）]在區(qū)間[a，b]上是單調函數(shù)，其單調性簡記為“同增異減”。判斷函數(shù)的單調性，特別注意要在定義域內研究。

四、導數(shù)法

利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，這是導數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想。一般地，在某個區(qū)間（a，b）內，如果f′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內單調遞增；如果f′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內單調遞減。如果在某個區(qū)間內恒有f′（x）=0，則f（x）是常函數(shù)。注意：在某個區(qū)間內，f′（x）>0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，但（2）求可導函數(shù)f（x）單調區(qū)間的步驟：①求f′（x）；②解不等式f′（x）>0（或f′（x）<0）；③確認并指出遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）例如：求證： 函數(shù)f（x）=2x3-6x2+7在（0，2）內是減函數(shù)?！遞（x）=2x3-6x2+7， ∴f'（x）=6x2-12x，由f'（x）>0，解得0

利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，一般應先確定函數(shù)的定義域，再求導數(shù)f'（x），通過判斷函數(shù)定義域被導數(shù)為零的點所劃分的各區(qū)間內f'（x）的符號，來確定函數(shù)f（x）在該區(qū)間上的單調性并要注意，在相同單調性的兩個區(qū)間不能寫成并集的形式。

五、抽象函數(shù)

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質或運算法則的函數(shù)。此類函數(shù)單調性的證明既能全面考查學生對函數(shù)概念的理解及性質的代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學生對數(shù)學符號語言的理解與接受能力。 抽象函數(shù)單調性判斷的四種策略：①湊差策略。緊扣單調函數(shù)定義，利用賦值，設法從題設中“湊出”“f（x1）-f（x2）”，然后判斷符號；②添項策略。瞄準題中的結構特點，采用加減添項或乘除添項，以達到確定“f（x1）-f（x2）”的符號的目的；③增量策略。由單調性的定義出發(fā)；④放縮策略。結合添項策略，利用放縮法，判斷f（x1）與f（x2）的大小關系，從而得f（x）的單調性。例如：函數(shù)f（x）對任意的a、b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且當x>0，f（x）>1，求證：f（x）是R上的增函數(shù)。分析：先取x10時，f（x）>1。得到f（x2-x1）>1，再對f（x2）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-1變形得到結論。證明：x1>0?！鄁（x2-x1）>1。∴f（x2）=f[x1+（x2 -x1）]=f（x1）+ f（x2-x1）-1>1，∴f（x）是R上的增函數(shù)。再如：已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x>0，都有f（x）>0；f（x）+f（y）=f（x-y）對任意實數(shù)x、y都成立，試證明f（x）是減函數(shù)。證明：設x10，∴f（x2-x1）>0∴f（x1）-f（x2）>0∴f（x）是減函數(shù)；本題證明的關鍵點在于：f（x）+f（y）=f（x-y）對于任意實數(shù)x、y都成立。

函數(shù)單調性是函數(shù)的一個非常重要的性質，從知識的網(wǎng)絡結構上看，函數(shù)的單調性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調性等內容的基礎，在研究各種具體函數(shù)的性質和應用、解決各種問題中都有著廣泛的應用.本文從單調性的定義入手，總結了判斷單調性的常見方法。對于具體的函數(shù)，我們可以用多種方法去判斷其單調性，特別地導數(shù)法是普遍適用的，圖像法也是最簡單最直觀的。因此在判斷函數(shù)單調性的問題上，應靈活選擇恰當?shù)姆椒ǎ瑥亩菇忸}過程最簡單。

參考文獻：

[1]劉璐《淺談高中數(shù)學抽象函數(shù)的單調性問題》.