摘 要：文章從“利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題”的概念出發(fā)，對經(jīng)濟問題進行分析決策，并對目前經(jīng)濟活動中常見的問題進行了應(yīng)用分析，包括最優(yōu)利潤、最佳時間、消費者剩余和預(yù)測市場結(jié)果，市場受到干預(yù)所發(fā)生的變化等。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；優(yōu)化問題；分析應(yīng)用；經(jīng)濟分析

在經(jīng)濟研究中，經(jīng)常要運用經(jīng)濟數(shù)學(xué)對某個問題進行市場分析、判斷并做出理論研究。本文從生產(chǎn)建設(shè)和科技活動中對導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問進行探討。

一、 優(yōu)化問題

在日常生活，生產(chǎn)建設(shè)和科技活動中，做一件事總要付出一定的代價，也總想取得一定的效果。

在付出代價一定的條件下，我們總想取得最好的效果；在預(yù)期效果確定的情形下，我們總想只付出最小的代價。

利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟

不少優(yōu)化問題，可以化為求函數(shù)最值問題，導(dǎo)數(shù)方法是解這類問題的有效工具。

利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟是：

（1）分析實際問題中各量之間的關(guān)系，利用實際問題的數(shù)學(xué)模型構(gòu)造，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f（x）；

（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），解方程f′（x）=0；

（3）比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f′（x）=0的點數(shù)值的大小，最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲怠?/p>

二、 生活中的優(yōu)化問題常見類型

（1）費用最省問題；

（2）利潤最大問題；

（3）面積、體積最大問題。

解決應(yīng)用問題中的優(yōu)化問題應(yīng)當注意的問題：

假定函數(shù)f（x）可微

（1）如果函數(shù)f（x）在[a，b]（或（a，b），或無窮區(qū)間）的內(nèi)部只有一個駐點，而這個駐點是極值點，如是極大（?。┲迭c，那么它就是最大（?。┲迭c；

（2）分析實際問題知道，函數(shù)f（x）在所考慮的區(qū)間內(nèi)（可以是開區(qū)間或無窮區(qū)間），而區(qū)間內(nèi)只有一個駐點，有最大值（或最小值）。

在準確理解題意的基礎(chǔ)上正確建立數(shù)學(xué)模型，在實際問題中的定義域內(nèi)找出問題的最優(yōu)解。

在解決實際優(yōu)化問題時，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問題的基本思路是：

優(yōu)化問題用函數(shù)表示數(shù)學(xué)問題

↓

優(yōu)化問題的答案用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題

三、 實例分析

1. 要設(shè)計一個體積為V的有蓋圓柱形鐵桶，已知側(cè)面的單位面積造價是底面單位面積造價的一半；而蓋的單位面積造價又是側(cè)面單位面積造價的一半，問圓柱形鐵桶的半徑r和高h之比為何值時造價最?。?/p>

解析：解答本題的關(guān)鍵圓柱形鐵桶的造價表示為r（或h）的函數(shù)，建立適當?shù)臄?shù)學(xué)模型。

解答：由V=πr2h，的h= Vπr2，

設(shè)蓋的單位面積造價為a，則圓柱形鐵桶的造價為

S=aπr2+2a·2πrh+4a·πr2=5aπr2+4aVr

由S′=10aπr-4aVr2=0

解得r=32V5π，于是h=Vπr2=325V4π

由問題的實際意義，上述S的唯一可能極值點就是S的最小值點。

∴當rh=32V5π325V4π=25時，圓柱形鐵桶的造價最省。

解析：造價問題來自于實際規(guī)定，解答這類問題的關(guān)鍵是正確分析造價的構(gòu)造及相關(guān)變量，從而正確地建立目標函數(shù)。

2. 已知某場生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為c=25000+200x+140x2（元）。

（1）要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

（2）若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

答案：（1）設(shè)平均成本為y元，則

y=25000+200x+140x2x=25000x+200+x40（x0）

y′=25000x+200+x40′=25000x2+140

令y′=0，得x1=1000，x2=-1000（舍去）

當在x=1000附近左側(cè)時，y′<0；在x=1000附近右側(cè)時，y′>0，故當x=2時，y取得最小值。由于函數(shù)只有一個點使y′=0，且函數(shù)在該點有極小值，那么在該點取得最小值，因此要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品。

（2）利潤函數(shù)為L=500x-25000+200x+x240=300x-25000-x240

∴L′=300x-25000-x240′=300-x20

令L′=0，得x=6000，當x在6000附近左側(cè)時，L′>0時，當x在6000附近右側(cè)時，L′<0。故當x=6000時，L取得最大值。由于函數(shù)只有一個使L′=0的點，且函數(shù)點有極大值，那么函數(shù)在該點取得最大值。因此，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)6000件。

利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，是在實際問題中正確建立數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)模型的定義域內(nèi)找出問題的最優(yōu)解，使經(jīng)濟分析走向定量化、精密化和準確化，給企業(yè)策劃者提供客觀、精確的數(shù)據(jù)。

參考文獻：

[1]高中數(shù)學(xué)選修1-1（文）“第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”[G].

[2]高然.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[G].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014.

[3]黎詣遠.經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].高等教育出版社.

作者簡介：

張清良，湖南省吉首市，吉首大學(xué)民族預(yù)科教育學(xué)院。endprint