蘇洪普

近兩年，在全國高考試題和各地模擬試題中，有關(guān)函數(shù)零點的存在性問題是一個熱門考點，理所當然的也就成為我們教學(xué)一線的熱點問題。這類問題一般可以歸結(jié)為已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，來探究函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點的存在性。在具體求解過程中，證明，使得（或）成為一個探究性的問題，也是難點所在。究其原因主要有兩個：一是函數(shù)一般由幾個基本初等函數(shù)的和差積商或者復(fù)合而成，且構(gòu)成的各個部分難以直接通過因式分解等手段聯(lián)系起來，從而達到判斷符號的目的;二是函數(shù)中含有參數(shù)，因為參數(shù)的變化導(dǎo)致探究的難度。下面以幾個例子，闡述通過對構(gòu)成的部分函數(shù)的變換，使構(gòu)成的各個部分能有機結(jié)合起來，進而確定的方法和道理。

例1（2017·全國卷Ⅰ理·T21）

已知函數(shù)。

（1）討論的單調(diào)性;

（2）若有兩個零點，求的取值范圍。

本例（1）的結(jié)論是：當時，在單調(diào)遞減。

當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

（2）（?。┤?，由（1）知，至多有一個零點。

（ⅱ）若，由（1）知，當時，

取得最小值，最小值為。

①當時，由于，故只有一個零點;

②當時，由于，

即，故沒有零點;

③當時，，即

因為，又通過觀察的解析式的特征知，

時，，

所以必存在，使得。

又，

故在有一個零點。

這里是如何探究出的呢？

，

設(shè)正整數(shù)滿足，

這里是如何探究出的呢？

當時，顯然在函數(shù)的變化過程中是主體地位，故可以考慮將縮小，

容易知道，

所以

。

顯然為增函數(shù)，且其零點為，故問題得以解決。

上面原函數(shù)的變形過程基于對構(gòu)成原函數(shù)的基本初等函數(shù)及其變化規(guī)律的觀察與分析。

則。

由于，因此在有一個零點。

綜上，的取值范圍為。

例2（2016·全國卷Ⅰ文·T21）

已知函數(shù)。

（1）討論的單調(diào)性;

（2）若有兩個零點，求的取值范圍。

簡析：因為，所以當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

當時，顯然只有一個零點2;

當時，有極小值。

又觀察易知，

所以內(nèi)必存在唯一零點。

當時，，。

如何探究？

探究一：

。

顯然時，。

探究二：

因為（當）

所以。

所以當且時，必有。

通過上面的例子我們不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)變換的過程是對放縮的過程，通過這種變換使得原來構(gòu)成的難以溝通的各部分轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)，從而容易探究出，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想。而如何完成這種函數(shù)變換，則需要實施者對函數(shù)的構(gòu)成特點，參數(shù)的取值范圍以及單調(diào)區(qū)間有一個細致的觀察與分析，同時還需要掌握利用曲線的切線方程將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)。