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        透析三角函數(shù)與單位圓結(jié)合問題

        2018-01-18 10:08:40李翠微

        李翠微

        [摘 要]以單位圓為背景的三角函數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)考查的重點內(nèi)容,由于綜合性較強(qiáng),所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來難度較大.為突破這一學(xué)習(xí)難點,首先研究了運(yùn)用三角函數(shù)解決單位圓問題的方法;接著研究如何采用反向思維,以單位圓為工具解決含有三角函數(shù)的不等式證明問題.

        [關(guān)鍵詞]三角函數(shù);單位圓;高考數(shù)學(xué)

        [中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-6058(2018)32-0021-02

        作為高考數(shù)學(xué)的熱點內(nèi)容,含有單位圓的解析幾何問題綜合性非常強(qiáng),這類問題往往以單位圓為背景,再結(jié)合三角函數(shù)的定義對學(xué)生進(jìn)行考查.然而,學(xué)生對三角函數(shù)的相關(guān)知識掌握得并不理想,所以這類問題往往會成為學(xué)生高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的“攔路虎”.為了幫助學(xué)生突破這一學(xué)習(xí)難點,本文著重研究三角函數(shù)與單位圓的結(jié)合問題.

        一、引入題目——單位圓結(jié)合三角函數(shù)線

        【題目1】(2017年廣西博白縣高考模擬題)如圖1,在直角坐標(biāo)系[xOy]中,單位圓上有一個動點P,過點P作x軸的垂線,該垂線與射線[y=3x][(x≥0)]相交于點Q,過點P的垂線與x軸交于M.記[∠MOP=α],且[α∈-π2,π2].

        (1)若[sinα=13],求[cos∠POQ];

        (2)求[△OPQ]面積的最大值.

        思路點撥:(1)因為OQ的射線方程是[y=3x],所以[∠MOQ=π3],那么[∠POQ=∠MOQ-∠MOP][=π3-α],由于[sinα=13],并且[α∈-π2,π2],可得[cosα=1-sin2α][=223],所以[cos∠POQ][=cosπ3-α][=cosπ3cosα+sinπ3sinα][ =22+36].

        (2)由三角函數(shù)和單位圓的關(guān)系,可得到[P(cosα,sinα)],由于OQ的射線方程是[y=3x],所以[Q]點的坐標(biāo)為[(cosα,3cosα)],[S△OPQ=12OM×PQ][=12cosα3cosα-sinα][=123cos2α-sinαcosα][=1232+3cos2α2-12sin2α][=1232+sin(π3-2α)][≤1232+1][=34+12].因為[α∈-π2,π2],所以當(dāng)[α=-π12]時,上式中的等號成立,因此[△OPQ]面積的最大值為[34+12].

        二、拓展延伸——變式訓(xùn)練以鞏固提高

        【題目2】(2018年廣西博白縣高考模擬題)如圖2所示,在直角坐標(biāo)系[xOy]中,[∠AOC=α],且[α∈π6,π2].現(xiàn)將OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)[π3],交單位圓于點B.將A、B兩點的坐標(biāo)分別記為[A(x1,y1)]和[B(x2,y2)].

        (1)若[x1=13],求[x2];

        (2)過A點作AC垂直于x軸,過B點作BD垂直于x軸,若三角形AOC的面積是三角形BOD的面積的兩倍,求出此時角[α]的值.

        思路點撥:本題中利用點的坐標(biāo)來量化三角形的邊長,再結(jié)合三角函數(shù)的定義來解決問題.第(1)問中的[x2=cosα+π3],將三角函數(shù)展開之后易得[x2=1-266].對于第(2)問,分別用含有[α]的三角函數(shù)表示出兩個三角形的值,然后得到關(guān)于[α]的方程,即可求出[α]的值,解得[α=π4].

        三、反思小結(jié)——承接上文,引出下文

        以上兩道高考模擬題都是以單位圓為背景,再結(jié)合三角函數(shù)的定義來解題,這種命題形式已經(jīng)成為高考的熱點.而在高考復(fù)習(xí)過程中,應(yīng)當(dāng)抓住問題的本質(zhì),注重思維的過程.在教材中,三角函數(shù)的定義是通過單位圓來引出的,三角函數(shù)與單位圓之間有著千絲萬縷的聯(lián)系.部分情況下,都是運(yùn)用三角函數(shù)知識來解決單位圓問題,但是數(shù)學(xué)問題的多變性促使我們產(chǎn)生反向思考:是否能以單位圓為工具來解決三角函數(shù)問題?答案是肯定的.對于三角函數(shù)不等式證明問題,通過構(gòu)造函數(shù)往往無法解決,而引入單位圓之后,復(fù)雜的問題也就可以迎刃而解.

        四、發(fā)散思維——以單位圓為工具證明三角函數(shù)不等式問題

        【題目3】(2018年廣西博白縣市高考一模試題)證明[tanx2tanx1>x2x1 ][0

        思路點撥:根據(jù)題目已知條件,畫出如圖3所示的圖形,設(shè)[∠AOE=x1],[∠AOB=x2],已知OE交單位圓于F,過F作GD垂直于OA,垂足為D,交OB于G.因為OA為單位圓的半徑,所以[OA=1],那么[tanx1=AE],[tanx2=AB],所以[tanx2tanx1=ABAE][=1+BEAE][=1+GFDF],對于△[OGF]和△[OFD],它們的高相等,所以底邊的長度之比等于面積之比,所以[GFDF=S△OGFS△OFD],根據(jù)圖形,容易得出[S△OGFS△OFD>S扇形OCFS扇形OFA][=x2-x1x1],所以[GFDF>x2x1-1],則[1+GFDF>x2x1],所以[tanx2tanx1>x2x1].

        變式訓(xùn)練:證明[tanxx>xsinx][(0

        結(jié)構(gòu)提示:對于此題,如果按照常規(guī)思路,通過構(gòu)造新的函數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后證明不等式會非常麻煩.如果能結(jié)合上題的解法,將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化到單位圓中,就可以化繁為簡,快速解決問題.圖4即為本題所畫出的圖形.

        從以上幾道典型例題可以看出,以單位圓為背景的三角函數(shù)問題綜合性非常強(qiáng),是高考數(shù)學(xué)中考查的重點內(nèi)容.單位圓與三角函數(shù)聯(lián)系的紐帶就是三角函數(shù)的定義,通過將點的坐標(biāo)量化為邊長之后,再結(jié)合幾何知識,可以產(chǎn)生解題的新思路.對于含有三角函數(shù)的不等式證明問題,應(yīng)該聯(lián)想到采用單位圓來進(jìn)行證明,通過單位圓與三角函數(shù)的結(jié)合可大大提高解題效率.

        (責(zé)任編輯 黃春香)

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