寇子玥

【摘要】本文介紹了貝葉斯公式的產(chǎn)生和發(fā)展過程，同時(shí)證明了貝葉斯公式。貝葉斯公式可以在一定信息下，對特定條件下事件發(fā)生的概率進(jìn)行推理分析。同時(shí)以實(shí)例介紹了貝葉斯公式在醫(yī)療診斷、訴訟以及工廠產(chǎn)品檢查中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】貝葉斯公式 ?條件概率 ?全概率公式

【中圖分類號】O21 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）40-0119-02

一、貝葉斯公式的發(fā)展

貝葉斯 （Thomas Bayes），誕生于英國，數(shù)學(xué)家。他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域鉆研概率論。曾任神甫一職，對上帝的信仰推動(dòng)他在該領(lǐng)域不斷深入，而發(fā)明了概率統(tǒng)計(jì)學(xué)原理。令人悲傷的是，他的夙愿至死未果。在之后一段時(shí)間內(nèi)，貝葉斯學(xué)派的觀點(diǎn)受到其他學(xué)派人士的批評、質(zhì)疑而使人們對貝葉斯公式的研究并不深入。

經(jīng)過一代代人們的研究，不斷創(chuàng)新、完善，為著名的貝葉斯學(xué)派的發(fā)展夯實(shí)根基。在概率論中，他勇于創(chuàng)新將歸納推理法應(yīng)用至概率論基礎(chǔ)理論，隨后創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，他1758年發(fā)表的《機(jī)會(huì)的學(xué)說概論》，影響深遠(yuǎn)。

經(jīng)過漫長的時(shí)間，不斷的驗(yàn)證以及信息技術(shù)的飛速發(fā)展，在20世紀(jì)60年代，貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)脫穎而出，成為國際統(tǒng)計(jì)科研究重點(diǎn)。

二、貝葉斯公式及其證明

條件概率和全概率公式是證明貝葉斯公式的基礎(chǔ)。我們將會(huì)先介紹條件概率以及全概率公式，進(jìn)而對貝葉斯公式進(jìn)行證明。

條件概率，即指在B事件發(fā)生的條件下， A事件發(fā)生的概率，可以以P（A|B）的形式來表示其中A，B有相交部分。事件A發(fā)生的概率就是P（A∩B）除以P（B），即：P（A|B）=■。根據(jù)條件概率的定義，可以知道P（A∩B）=P（B） ? ? P（A|B）和P（A∩B）=P（A）P（B|A）。所以有P（A|B）P（B）=P（B|A） ? P（A），即：P（A|B）=■，為全概率公式。

對條件概率式子變形可得P（A|B）=■P（A）。該公式中，我們稱P（A）為“先驗(yàn)概率”，先驗(yàn)概率即指在事件B發(fā)生以前，對事件A概率的重新評估。P（B|A）/P（B）稱為“可能性函數(shù)”，可將之作為調(diào)整因子，使得到的預(yù)估概率更加準(zhǔn)確。

關(guān)于全概率公式，先假設(shè)有一樣本空間S，是兩個(gè)事件A與A'的和，有一事件B分別與A與A'都相交，在這種情況下，事件B將由兩部分構(gòu)成，一部分與A相交，表示為B∩A，另一部分與A'相交，表示為B∩A'。全概率公式的含義為：若A和A'構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分（A和A'相互獨(dú)立，即A'=A），則B發(fā)生的概率，便是A和A'事件發(fā)生的概率分別與B對這兩個(gè)事件的條件概率相乘再作和，即：

P（B）=P（B∩A）+P（B∩A'）

已經(jīng)得到P（B∩A）=P（A）P（B|A），所以有P（B）=P（A）P（B|A）+P（A'）P（B|A'）。此為全概率公式，將之帶入條件概率公式，便有：

P（A|B）=■

即得到貝葉斯公式。

三、樸素貝葉斯算法

樸素貝葉斯分類是一種很單純的分類方法，即對于所有的待分類項(xiàng)，選擇在已知條件下，最可能出現(xiàn)的分類，即選擇概率最大的分類。大致階段可分為：準(zhǔn)備工作階段、分類器訓(xùn)練階段、應(yīng)用階段。

定義如下：

1.設(shè)x={a1，a2，…，am}為一個(gè)待分類項(xiàng)并且對于一個(gè)a，便有一個(gè)x的作為對應(yīng)的特征屬性。

2.有類別集合C={y1，y2，…，yn}。

3.計(jì)算P（y1|x），P（y2|x），…P（yn|x）。

4.如果，P（yk|x）=max{P（y1|x），P（y2|x），…，P（yn|x）}則x∈yk。

然后算第三步中的每一個(gè)條件概率：

1.以一個(gè)已知的分類的所有待分類項(xiàng)集合作為訓(xùn)練樣本集。

2.則每個(gè)特征屬性的條件概率可以表示為：

P（a1|y1），P（a2|y1），…，P（am|y1）;P（a1|y2），P（a2|y2），…，P（am|y2）…;P（a1|yn），P（a2|yn），…，P（am|yn）

3.假設(shè)特征屬性是條件獨(dú)立的，由貝葉斯定理得P（yi|x）=P（x|yi）P（yi）/P（x）。分母對于所有類別為常數(shù)，我們只要將分子最大化。并且由于各個(gè)特征屬性之間是條件獨(dú)立的，所以有：

P（x|yi）P（yi）=P（a1|yi）P（a2|yi）…P（am|yi）P（yi）。

四、貝葉斯公式的應(yīng)用

1.貝葉斯公式在醫(yī)療診斷上的應(yīng)用

假設(shè)全球的肝癌的發(fā)病率為0.0004，可以通過甲胎蛋白法進(jìn)行檢查。但是，用該方法得到的結(jié)果不一定正確。其中得肝癌的人的化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽性，即患有肝癌;且未得患肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99.9%呈陰性，即未得患肝癌。若有一人的甲胎蛋白檢查呈陽性，則他患肝癌的概率是多少？

解：設(shè)B為“被檢查的人得肝癌”，A為“甲胎蛋白檢查為陽性”，由題意可得：

P（B）=0.0004，P（B）=0.9996，P（A|B）=0.999，P（A|B）=0.001

我們現(xiàn)在要求出P（B|A），由貝葉斯公式得

P（B|A）=■=0.284

由此可見，檢查結(jié)果為陽性的人中，只有28.4%的可能真正患有肝癌。為何如此呢？

假設(shè)有10000人作為本次檢驗(yàn)的樣本，根據(jù)肝癌發(fā)病率，則只有4人真正患肝癌。在該檢測中，呈陽性的人包括真正的肝癌的人以及誤診者，誤診者計(jì)算為P（A|B）P（B）=0.9996×0.001，而使結(jié)果為28.4%精度較小。

這樣的檢測精度并不理想，但可以通過復(fù)查來進(jìn)一步提高檢驗(yàn)的精度，或者先用某種輔助方法初查，排除部分未患肝癌的人，再將余下的人用該方法檢查，用貝葉斯公式可以計(jì)算：

假設(shè)此時(shí)的P（B）=0.284，那么有：

P（B|A）=0.284×0.99/（0.284×0.99+0.716×0.001）=0.997

可以看出檢測的準(zhǔn)確率大大的提高了，這也是醫(yī)院中為什么會(huì)需要進(jìn)行復(fù)查才能大概率確定相應(yīng)的患??！

2.貝葉斯公式在檢查產(chǎn)品中的應(yīng)用

在一服裝廠中生產(chǎn)的服裝劣質(zhì)品率為0.1%，需要用特殊的機(jī)器檢驗(yàn)，但該機(jī)器判斷錯(cuò)誤的可能性為5%，試問服裝廠是否可使用該儀器？

解：其中用A指代“本身為劣質(zhì)品”，事件B表示“經(jīng)檢驗(yàn)判為劣質(zhì)品的產(chǎn)品”，由題意知：

P（A）=0.001，P（A）=0.999，P（B|A）=0.95，P（B|A）=0.05

由貝葉斯公式可計(jì)算“被檢驗(yàn)出的劣質(zhì)品中實(shí)際劣質(zhì)品率”為：

P（A|B）=■≈0.0187

同理，經(jīng)過機(jī)器檢驗(yàn)，判斷為正品的衣服中實(shí)際正品率為：

P（A|B）≈0.99995

由此可知，若這種產(chǎn)品的制造價(jià)格較高，管理者就最好不要購買使用這種儀器。由以上計(jì)算可以看出，這種儀器所判定的劣質(zhì)品中，其實(shí)有98%以上為正品，所以，若用這種儀器，精準(zhǔn)度不高而且會(huì)有過高的消耗。但同時(shí)，該儀器對于正品的判定情況較好，可以通過對被認(rèn)定為劣質(zhì)品的產(chǎn)品中重復(fù)檢驗(yàn)而提高該機(jī)器的精準(zhǔn)度，減少對產(chǎn)品的消耗。

五、結(jié)論

通過本次的研究，我對貝葉斯公式的起源、發(fā)展、原理、證明、應(yīng)用等方面有了更加深刻的認(rèn)識。

隨著經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域飛速發(fā)展的今天，作為新時(shí)代的公民更應(yīng)該以理性、具有邏輯的思維看待我們所面臨的問題，通過對貝葉斯公式的應(yīng)用，我們可以對現(xiàn)有的信息進(jìn)行考察分析，而綜合判斷事件的因果概率，提高結(jié)論的準(zhǔn)確性、科學(xué)性、可信性，除此之外在機(jī)器學(xué)習(xí)中貝葉斯也極為重要，有助于我們對未來經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、自然科學(xué)更加合理的認(rèn)知。

參考文獻(xiàn)：

[1]王梓坤.概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].科學(xué)出版社，1976.