朱碧 李帥

[摘要]對(duì)稱不僅存在于日常生活中，在高等數(shù)學(xué)的積分中，尤其是重積分中也十分常見。在高等數(shù)學(xué)中積分是相當(dāng)重要的內(nèi)容，重積分的計(jì)算過(guò)程有時(shí)是相當(dāng)復(fù)雜的，但是特殊情況也有巧妙的求解方法，對(duì)稱性、輪換對(duì)稱性就是一種非常巧妙的方法。本文分析并歸納總結(jié)了輪換對(duì)稱性在積分計(jì)算和證明中的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]重積分;對(duì)稱性;輪換對(duì)稱性;積分計(jì)算

一、輪換對(duì)稱的定義

定義1：設(shè)D為一有界可度量的平面區(qū)域，若∨x，y∈D，y，x∈D，那么稱區(qū)域D關(guān)于x，y具有輪換對(duì)稱性。

定理1：設(shè)D為一有界可度量平面區(qū)域，并且關(guān)于x，y具有輪換對(duì)稱性，z=f（x，y）是定義在D上的連續(xù)函數(shù)，則度量微元）。

定義2：設(shè)Q是一有界可度量的幾何體，其邊界光滑，如果x，y，z任意兩者互換位置Q都不變，則稱Q關(guān)于x，y，z具有輪換對(duì)稱性。

定理2：設(shè)Q是一有界可度量的幾何體，其邊界光滑，若Q關(guān)于x，y，z具有輪換對(duì)稱性，w= f （x，y，z）是Q上的連續(xù)函數(shù)，則

二、重積分的計(jì)算和證明一利用對(duì)稱性、輪換對(duì)稱性

我們將通過(guò)一系列例子，把重積分的積分區(qū)域?qū)ΨQ性問(wèn)題和被積函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題逐一研究，在研究的過(guò)程中感受對(duì)稱性和輪換對(duì)稱性在重積分計(jì)算時(shí)的重要作用。

[注]如果被積函數(shù)或其代數(shù)和的某一部分具有對(duì)稱性，我們也可以此作為突破口來(lái)求解。

這一例子就是著名的施瓦茨不等式，當(dāng)然這個(gè)著名不等式的證明不止這一種方法，但是通過(guò)查閱資料發(fā)現(xiàn)，其他的證明方法要么繞了很大彎子，最終回歸定義上，要么計(jì)算量十分大。顯然，運(yùn)用對(duì)稱性和輪換對(duì)稱性在證明重積分的相關(guān)結(jié)論時(shí)是相當(dāng)輕松的。

總結(jié)

以上的計(jì)算和證明都巧妙地利用了對(duì)稱性或輪換對(duì)稱性的相關(guān)知識(shí)，從而使看上去煩瑣復(fù)雜的計(jì)算和證明過(guò)程簡(jiǎn)單了許多。當(dāng)然，上述例子的計(jì)算和證明方法肯定不止這一種，但是，其他路徑都不如此來(lái)得更直接、精煉。我們利用對(duì)稱性和輪換對(duì)稱性來(lái)計(jì)算、證明重積分的相關(guān)結(jié)論時(shí)，首先要看清是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，還是關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，或是其具有輪換對(duì)稱性，以便于我們更好地利用總結(jié)的結(jié)論直接求解。

通過(guò)以上幾個(gè)例子對(duì)重積分中的對(duì)稱性進(jìn)行了解釋說(shuō)明，由此可見對(duì)稱性，尤其是輪換對(duì)稱性在重積分計(jì)算過(guò)程中的重要作用，對(duì)稱性的運(yùn)用不僅可以簡(jiǎn)化許多計(jì)算步驟，還可以省去數(shù)學(xué)解題中許多煩瑣的問(wèn)題，使我們可以節(jié)約更多的時(shí)間。

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