廣東省鶴山市紀元中學(xué)(529721) 李光喜

在有關(guān)多面體三視圖的試題中,有一類求解多面體外接球體積或表面積的綜合性問題,常常放在高考選擇題壓軸題的位置,難度較大,令許多學(xué)生尤其是文科學(xué)生十分頭痛.

解決此類問題的常規(guī)辦法是幾何法,即先將三視圖還原成多面體,再找到多面體外接球的球心,計算出半徑,從而求出體積或表面積.但用幾何法確定外接球球心的位置和半徑,需要較強的空間想象、邏輯思維和計算能力,許多學(xué)生往往望而卻步,一籌莫展.下面筆者結(jié)合實例,介紹一種簡便實用的代數(shù)方法—坐標法.用它來求解多面體的外接球問題,只要建立適當?shù)目臻g直角坐標系,通過簡單的代數(shù)計算,就可方便地確定球心和半徑,免除幾何法直接找球心的煩惱.

例1(汕頭市金山中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)第11題)如圖是某幾何體的三視圖,正視圖和側(cè)視圖均為直角三角形,俯視圖是等邊三角形,則該幾何體外接球的表面積為( )

圖1

分析將三視圖還原成一個三棱錐后,常規(guī)思路是用幾何法先確定外接球的球心,再求出半徑.若利用正三角形的對稱性建立適當?shù)目臻g直角坐標系,可以更輕松地確定球心的位置,算出半徑,從而確定外接球的表面積.

圖2

解由三視圖可以得出原幾何體為如圖所示的一個三棱錐A?BCD,底面BCD為一個邊長為2的正三角形,側(cè)棱AB⊥底面BCD,AB=1.取BC的中點O,連接OD,以O(shè)為坐標原點,直線OD、BC所在直線分別為x軸、y軸,建立空間直角坐標系O?xyz,則,設(shè)外接球的球心為H(x,y,z),

例2(廣東省實驗中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第三次月考理科數(shù)學(xué)第11題)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體外接球的表面積為( )

圖3

分析此題是一個有關(guān)三視圖的外接球綜合性問題,難度較大.用幾何法解決的第一個難點是將三視圖準確還原成一個四棱錐,第二個難點是確定外接球的球心和半徑.若將四棱錐放到正方體中去考慮,利用正方體來建立適當?shù)目臻g直角坐標系,確定球心和半徑就非常方便.

圖4

例3(2017年廣州市高中畢業(yè)班模擬考試文科第11題)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某三棱錐的三視圖,則該三棱錐外接球的表面積為( )

圖5

分析解決此題的難點是將三視圖準確還原成一個三棱錐,用幾何法確定外接球的球心不太容易,若將三棱錐放到長方體中去考慮,建立適當?shù)目臻g直角坐標系,可以輕松地確定球心的位置和半徑.

圖6

評注1、求解有關(guān)多面體三視圖的外接球問題的第一個難點是將三視圖準確還原成幾何體.在將三視圖還原成幾何體時,有時將多面體放入長方體或正方體中去考慮,可以化難為易,且方便建立空間直角坐標系.

2、用幾何法解決外接球問題的關(guān)鍵是確定球心的位置和半徑,很多學(xué)生往往對此束手無策,但用坐標法有時比較方便,可以免除幾何法直接找球心的煩惱.

3、用坐標法求解外接球問題,關(guān)鍵是利用圖形特征,先建立適當?shù)目臻g直角坐標系,再運用方程組的思想進行代數(shù)計算,將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題,從而確定球心和半徑.