河北省邯鄲市第一中學(xué)(056000) 馬進(jìn)才 雷紅濤

一、背景

題目(人教A版必修2第124頁(yè)B組第3題)已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(3,0)的距離比為,求點(diǎn)M的軌跡方程.

解析如圖,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),連結(jié)MO,MA,有:,化簡(jiǎn)得:x2+y2+2x?3=0,也就是:

方程(1)即為所求點(diǎn)M的軌跡方程,它表示以C(?1,0)為圓心,2為半徑的圓.

圖1

二、阿波羅尼斯圓

公元前3世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(Apollonius)在《平面軌跡》一書中,曾研究了眾多的平面軌跡問題,其中有如下結(jié)果.

定理A,B為兩已知點(diǎn),P,Q分別為線段AB的定比為λ(λ/=1)的內(nèi)外分點(diǎn),則以PQ為直徑的圓O上任意點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離之比為λ.

圖2

性質(zhì)3 所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為,面積為.

性質(zhì)4 過點(diǎn)A作圓O的切線AC(C為切點(diǎn)),則CP,CQ分別為∠ACB的內(nèi)、外角平分線.

性質(zhì)5過點(diǎn)B作圓O不與CD重合的弦EF,則AB平分∠EAF.

而P,Q,C同時(shí)在到A,B兩點(diǎn)距離之比等于λ的曲線(圓)上,不共線的三點(diǎn)所確定的圓是唯一的,因此,圓O上任意一點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離之比恒為λ.

注波羅尼斯(Apolloning,約公元前260～170),古希臘數(shù)學(xué)家,與歐幾里得,阿基米德等齊名.著有《圓錐曲線論》和《平面軌跡》等書.

性質(zhì)1當(dāng)λ＞1時(shí),點(diǎn)B在圓O內(nèi),點(diǎn)A在圓O外;當(dāng)0＜λ＜1時(shí),點(diǎn)A在圓O內(nèi),點(diǎn)B在圓O外.

性質(zhì)2 因AC2=AP·AQ,過AC是圓O的一條切線.若已知圓O及圓O外一點(diǎn)A,可以作出與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B,反之亦然.

三、高考中的阿波羅尼斯圓

例1(2005江蘇)如圖3,圓O1與圓O2的半徑都是1,O1O2=4,過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1,圓O2的切線PM、

PN(M,N分別為切點(diǎn)),使得.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

圖3

圖4

解以O(shè)1,O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn),O1,O2所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則O1(?2,0),O2(2,0).由已知,得PM2=2PN2.因?yàn)閮蓤A的半徑均為1,所以

例2(2013江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l∶y=2x?4.設(shè)圓的半徑為1,圓心在l上.若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

這說(shuō)明M既在圓(x?a)2+(y?2a+4)2=1上,又在圓x2+(y+1)2=4上,因而這兩個(gè)圓必有交點(diǎn),即兩圓相交或相切,所以

例3(2008.江蘇卷,13題)滿足條件的△ABC的面積的最大值是____.

圖5

解析顯然這是“阿波羅圓”,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,因?yàn)橛?代入阿波羅圓公式得:

設(shè)圓心為M,顯然當(dāng)CM⊥x軸時(shí),△ABC面積最大,此時(shí),所以

變式在△ABC中,邊BC的中點(diǎn)為D,若,則△ABC的面積的最大值是____.

解以AB中點(diǎn)為原點(diǎn),直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(?1,0),B(1,0).由知,,D的軌跡為阿波羅尼斯圓,方程為

設(shè)C(x,y),BC的中點(diǎn)為D得,所以點(diǎn)C的軌跡方程為

例4(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2013年12期問題2158)在△ABC中AB=2,AC=nBC(n∈N?,n≥2),△ABC面積的最大值為an,求證:.

解析以AB邊所在直線為x軸,以AB邊的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(?1,0),B(1,0),設(shè)C(x,y),因?yàn)锳C=nBC,所以

故點(diǎn)C在以為圓心,以為半徑的圓上(x軸上的點(diǎn)除外).因?yàn)?所以,當(dāng)點(diǎn)C為圓上的最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))即時(shí),S△ABC最大,最大值為,所以.所以

所以

例5(2015年湖北卷)如圖6,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2.

圖6

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過點(diǎn)A任作一條直線與圓O∶x2+y2=1相交于M,N兩點(diǎn),下列三個(gè)結(jié)論:

其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

四、拓展—阿波羅尼斯圓與直線有四美

1.同一個(gè)方程,根據(jù)參數(shù)λ的不同,時(shí)而表示直線,時(shí)而表示圓,這是直線與圓的統(tǒng)一美;

2.當(dāng)λ/=1時(shí),不妨設(shè)c=1,可得:

說(shuō)明λ2+1,|λ2?1|,2λ這3數(shù)之間存在勾股關(guān)系,這反映了阿波羅軌跡內(nèi)部的結(jié)構(gòu)美;

3.在方程(1)中,如λ＞1,圓心在y軸右邊,如λ＜1,令,代入(1)得:

方程(3)與(2)具有類似的形式,只不過由于μ＞1,所以,圓心在y軸左邊.這兩個(gè)方程表示的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.例如分別取時(shí),分別代入方程(2)與(3),得:

它們的圖形關(guān)于y軸(阿波羅直線)對(duì)稱.所以方程(1)又彰顯解幾圖形的對(duì)稱美與完整美;

4.對(duì)于方程(1),只要λ/=?1,它都表示圓,當(dāng)λ無(wú)限接近于1乃至等于1時(shí),其圖形最終成為直線,這又是曲線由量變到質(zhì)變的運(yùn)動(dòng)美.