黃 敏 李學(xué)華 賈 民(.廣州南洋理工職業(yè)學(xué)院，廣東 廣州 50980；2.中國礦業(yè)大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院，江蘇 徐州 226;3.深部煤炭資源開采教育部重點實驗室，江蘇 徐州 226;.兗州煤業(yè)股份有限公司濟寧二號煤礦，山東 濟寧 272000)

對于露天礦年度作業(yè)計劃來說，邊界品位優(yōu)化問題是一個重要的研究挑戰(zhàn)。在礦產(chǎn)資源行業(yè)，通過每個時期的最優(yōu)邊界品位計算可以獲得相當(dāng)大的經(jīng)濟效益，從而最大化采礦項目的凈現(xiàn)值(net present value，NPV)[1]。因此，露天采礦作業(yè)中與礦塊開采順序相關(guān)的，最復(fù)雜的問題之一就是邊界品位選擇。

邊界品位直接影響到項目壽命期內(nèi)采礦作業(yè)的經(jīng)濟可行性。為了得到給定項目的更高整體凈現(xiàn)值，需要選擇適當(dāng)?shù)倪吔缙肺徊呗?。在采礦順序的初始階段，更高的邊界品位會導(dǎo)致每噸礦石的平均等級更高，因此，可以通過礦床的品位分布研究來實現(xiàn)更高的平均品位[2]。采礦項目的成功與否直接取決于邊界品位的選擇。因此，在礦山開采中，邊界品位優(yōu)化是必不可少的[3]。

文獻[4]提出了一種基于遺傳算法和拓撲排序相結(jié)合的作業(yè)計劃優(yōu)化方法，但不能保證最終解決方案的質(zhì)量。文獻[5]使用幾種策略相結(jié)合來減少計算時間。Nasab等人在文獻[5]基礎(chǔ)上，提出了一種聚集并應(yīng)用了拉格朗日松弛原理[6]。到目前為止，這些模型不能滿足每一階段內(nèi)品位混合的質(zhì)量要求。文獻[7]對不同的作業(yè)技術(shù)和建模問題開展了廣泛的調(diào)查。任何給定時期的動態(tài)邊界品位可以視為這一時期關(guān)于礦石供應(yīng)和銑削需求的一個函數(shù)。研究人員不斷嘗試通過各種計算機處理方法來實現(xiàn)露天礦開采順序優(yōu)化。但是由于具有許多相關(guān)的變量，現(xiàn)有方法都沒有得到廣泛的認可。

眾所周知，忽略采礦順序中這些變化對最優(yōu)邊界品位的影響，將導(dǎo)致不切實際的礦山設(shè)計和分析。因此，本研究提出了一種新的二元整數(shù)規(guī)劃模型來求解開采順序問題。介紹了邊界品位對開采順序的影響。給出了以礦塊經(jīng)濟損失評估和礦體品位概率分布為基礎(chǔ)的公式。通過物理約束將一個礦塊的經(jīng)濟損失評估與概率集成在一個二元整數(shù)規(guī)劃模型[8]中。該模型的最終目標(biāo)是設(shè)定最佳開采順序，同時優(yōu)化礦山各時期的邊界品位。

1 露天礦邊界品位優(yōu)化的必要性

邊界品位分析，一般來說可以解決以下問題：

(1)礦床中的哪些塊段值得開采和加工，如果不是，則應(yīng)該被認為是廢石。

(2)一旦開采，該如何加工。

實際上，邊界品位計算的目的是為了發(fā)送從礦山中提取的礦物，圖1顯示了基于邊界品位的決策準(zhǔn)則。

圖1 基于邊界品位的決策準(zhǔn)則Fig.1 Decision criteria based on boundary grade

一個靜態(tài)邊界品位不具備在不同情況下實現(xiàn)利潤最大化所需的靈活性[4]。邊界品位優(yōu)化是一個相互作用的過程，包括金屬價格、采礦成本、加工成本、加工能力、采礦作業(yè)能力、開采順序、礦床品位分布以及由此產(chǎn)生的現(xiàn)金流。礦塊的加工決策在采掘順序變更中起主要作用。在礦山開采過程中，由于礦山凈現(xiàn)值遞減效應(yīng)的變化，使得礦山開采階段的開采效果會發(fā)生很大的變化。因此，在采礦順序中應(yīng)同時考慮邊界品位的優(yōu)化[4]。邊界品位優(yōu)化是采礦作業(yè)中最重要的課題之一：

(1)邊界品位優(yōu)化用于加工類型(銑削/礦物堆浸/廢石堆浸/廢棄)的決策問題，以確定哪種決策決定了最大的經(jīng)濟利潤。

(2)邊界品位優(yōu)化可改善礦山開采順序。

2 考慮動態(tài)邊界品位的開采順序公式

2.1 定 義

在開采順序問題中，每個階段內(nèi)每個塊的開采取決于邊界品位的定義。邊界品位決定塊分類。對一個塊的錯誤分類會導(dǎo)致錯誤的礦塊經(jīng)濟價值計算結(jié)果。在這方面，文獻[9]定義了一種“經(jīng)濟損失”函數(shù)，用來區(qū)分礦石和廢石。與每種加工類型d(d=1，2，……D，從最低等級到最高等級排序)相關(guān)的實際經(jīng)濟損失可以用以下等式計算：

(1)

從式(1)可以看出，如果塊ijk正確選擇加工類型，那么經(jīng)濟損失為零。在實踐中，礦塊是未知的，它將用累積分布函數(shù)來表示。一個較實際的方法是使用條件模擬技術(shù)，它能夠?qū)崿F(xiàn)一定數(shù)量同等概率的塊級?？紤]到這一點，根據(jù)每一種加工處理的概率分布和平均品位，對每一個選擇d的預(yù)期經(jīng)濟損失(expected economic loss，EEL)進行計算，其具體描述如下所示：

(2)

礦塊ijk的最優(yōu)加工類型是具有最小EEL的d，如：

(3)

2.2 作為整數(shù)問題的公式

根據(jù)上述定義和假設(shè)，建立了整數(shù)決策變量形式的開采順序數(shù)學(xué)規(guī)劃模型[11]，并在此基礎(chǔ)上確定了特定塊的開采時期及其目的地。事實上，該模型可以同時優(yōu)化礦塊開采順序和邊界品位。如前所述，模型的目標(biāo)函數(shù)可以用數(shù)學(xué)形式表示如下：

(4)

?t，

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

約束條件(5)、(6)將送去銑削物料的平均品位限制在某一值上。約束(7)強制只在一個時期內(nèi)刪除礦塊。約束(8)、(9)確保銑削能力保持不變。這些上限和下限是保證礦石順利供應(yīng)所必需的。約束(10)、(11)與每個時期實際可用的設(shè)備容量相關(guān)。約束(12)是各時期各礦塊基于Y的邊坡限制。

該模型提供了一種評估可選策略的工具，可作為長期生產(chǎn)調(diào)度可行性研究的一部分。因此，由此產(chǎn)生的邊界品位有助于風(fēng)險量化決策過程。

提出的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型方法步驟如下。

(1)該模型的基礎(chǔ)條件為一個三維塊模型，并完成了露天最終境界圈定。

(2)在每個開采時期開始時，包括采礦和加工階段能力、采礦成本和加工類型成本以及當(dāng)前金屬價格等參數(shù)已知。

(3)使用序貫高斯模擬得到了若干概率相同的礦塊模型的實現(xiàn)。

(4)為每個加工類型提供每個塊的經(jīng)濟損失矩陣，并隨后計算每個可選d的EEL。

(5)構(gòu)建混合整數(shù)規(guī)劃模型，以便根據(jù)指定的標(biāo)準(zhǔn)對每個時期內(nèi)的礦塊進行最優(yōu)選擇。

3 應(yīng)用實例

在本節(jié)中，我們在真實的采礦區(qū)實現(xiàn)和測試了提出的模型，以確保礦塊開采順序的最優(yōu)性和邊界品位優(yōu)化。一個金礦把它的礦化產(chǎn)品送到4個目的地：廢料堆、廢石堆浸、礦物堆浸或銑削。這4個類型的特性列于表1中(黃金價格以10 $/g為例)。首先，利用序貫高斯模擬方法，產(chǎn)生了礦體金品位的一百個等概率實現(xiàn)。給定塊的模擬結(jié)果如表2所示。

表1 金礦床各礦化塊分類特征Table 1 Classification characteristics of mineralized blocks in gold deposits

表2 金礦床某給定塊的模擬結(jié)果Table 2 Simulation results of a given block of gold deposits

表3 礦塊分類的經(jīng)濟損失結(jié)果Table 3 Economic loss results of ore block classification

例如，假設(shè)塊ijk的一個正確采礦目的地是廢石堆浸(d=3)，但卻被錯誤地送到廢料堆(d′=2)，那么由于這個造成的經(jīng)濟損失評估可以從式(1)計算得到，如：

-[(10-0.5)·1.5·0.45-3.5]

=2.81.

(12)

表3顯示了d和d′其他值的經(jīng)濟損失結(jié)果。如果塊ijk選擇的分類是d=2，那么由錯誤分類導(dǎo)致的預(yù)期經(jīng)濟損失可以從式(2)得到，如：

+1.362×0.2+14.375×0.17

=2.81.

(13)

根據(jù)表3，最佳預(yù)期經(jīng)濟損失是1.69，因此，這個塊的最佳目的地是d=3，這意味著最好將此塊發(fā)送到礦物堆浸。

在開采順序問題中，各時期中每塊的開采都取決于該時期的經(jīng)濟價值。另一方面，由于時間和價格的變化，塊的經(jīng)濟價值隨時間而變化，因此，一個時期的最優(yōu)礦塊分類可能與其他時期的最優(yōu)礦塊分類不同。相應(yīng)地，時期t塊ijk的損失函數(shù)可由式(4)計算得到。由于經(jīng)營需求，最小化的目標(biāo)函數(shù)受到式(5)～式(12)的約束。

由于優(yōu)化的迭代步驟既枯燥又耗時，因此開發(fā)了一個Excel電子表格，以便于計算。輸入?yún)?shù)包括：每個塊的計數(shù)器特征，每個塊的噸位、礦石品位和含量，每個塊的預(yù)期經(jīng)濟損失?？紤]模型中決策變量和與礦塊類型相關(guān)的可用約束。我們的目標(biāo)是為5 a的礦山開采作業(yè)，生成一個維持8%貼現(xiàn)率的時間表。

按照上一節(jié)中給出的模型步驟，并根據(jù)生產(chǎn)率和凈現(xiàn)值組合，可以得到最優(yōu)的邊界品位。表4顯示了黃金礦山的最優(yōu)邊界品位、相應(yīng)的生產(chǎn)率和NPV。

表4 黃金礦山的最優(yōu)邊界品位、相應(yīng)的生產(chǎn)率和NPVTable 4 Optimum border grade，corresponding productivity and NPV of gold mine

如表4所示，在1 a期間，堆浸礦石處理將金屬含量保持在1.96%到2.36%。這就說明1.96%以下的材料被視為廢物并運到垃圾堆中。盡管如此，它仍產(chǎn)生一個最優(yōu)凈現(xiàn)值。

4 結(jié) 論

本研究提出了一種基于露天礦二進制整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，能夠在考慮動態(tài)邊界品位優(yōu)化的情況下優(yōu)化開采順序，實現(xiàn)凈現(xiàn)值最大化。該模型能夠產(chǎn)生一個切實可行的加工類型計劃表，在滿足系統(tǒng)限制的情況下最大限度地減少預(yù)期經(jīng)濟損失。雖然該模型以經(jīng)濟損失為目標(biāo)函數(shù)沒有直接最大化NPV，但是它提供了一個切實可行的凈現(xiàn)值(在同時考慮邊界品位優(yōu)化和開采順序優(yōu)化情況下，該凈現(xiàn)值是最優(yōu)的)。該模型克服了傳統(tǒng)方法的局限性，減少了需要的變量數(shù)量，能夠在短時間內(nèi)處理可用變量和約束。案例研究的結(jié)果表明，該模型具有較好的靈活性，可以有效用于各種備選方案的評估，并確保最佳的資源利用率以及準(zhǔn)確的大型礦業(yè)投資決策。

[1] 蔣成榮,彭平安,王李管.沙溪銅礦開采邊界品位動態(tài)優(yōu)化方法[J].金屬礦山,2016(9):73-77.

Jiang Chengrong，Peng Ping′an，Wang Liguan.Dynamic optimization method of mining marginal grade in Shaxi Copper Mine [J].Metal Mine，2016(9):73-77.

[2] 蔣成竹,王慶飛,萬 麗,等.云南三江地區(qū)典型金礦床噸位-邊界品位曲線特征[J].巖石學(xué)報,2012，28(5):1551-1560.

Jiang Chengzhu,Wang Qingfei,Wan Li,et al.Tonnage-cutoff grade curves for the typical gold deposits in the Sanjiang area[J].Acta Petrologica Sinica,2012,28(5):1551-1560.

[3] 彭平安.地下多金屬礦床邊界品位優(yōu)化及經(jīng)濟開采研究[D].長沙：中南大學(xué),2014.

Peng Ping′an.Study on Boundary Grade Optimization and Economic Exploitation of Underground Polymetallic Deposits[D].Changsha:Central South University,2014.

[4] Wang Y,Sun Y,Tong W.Optimization of wireless sensor networks in open-pit mine slope detection based on genetic algorithms[J].Computer Measurement & Control,2011,19(2):483-486.

[5] Boland N,Dumitrescu I,Froyland G,et al.LP-based disaggregation approaches to solving the open pit mining production scheduling problem with block processing selectivity[J].Computers & Operations Research,2009，36(4):1064-1089.

[6] Nasab H A,Awuah-Offei K,Eivazy H.Large-scale open pit production scheduling using mixed integer linear programming[J].International Journal of Mining & Mineral Engineering,2010，2(3):338-359.

[7] Newman A M,Rubio E,Caro R,et al.A review of operations research in mine planning[J].Interfaces,2010,40(3):222-245.

[8] 羅宗杰.基于混合整數(shù)二元規(guī)劃的機組啟動次序策略研究[J].電力系統(tǒng)保護與控制,2012，40(11):112-116.

Luo Zongjie.Study on startup order strategy of unit based on mixed integer two element programming[J].Power System Protection and Control,2012,40(11):112-116.

[9] Abascal J.Users with disabilities:Maximum control with minimum effort[C]∥International Conference on Articulated Motion and Deformable Objects.Berlin：Springer-Verlag,2008:449-456.