徐明 陳紅

摘要：本文主要介紹了混凝土的研究現(xiàn)狀和多尺度計(jì)算方法的發(fā)展概況、有限元方法、線彈性數(shù)值模擬等內(nèi)容。首先，介紹了多尺度有限元方法的基本原理，包括線性邊界條件的多尺度有限元基函數(shù)的構(gòu)建方法，使用超樣本技術(shù)建立振蕩邊界條件的多尺度有限元基函數(shù)的構(gòu)建方法。其次，編寫多尺度有限元的計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬程序，結(jié)合算例分析，與傳統(tǒng)有限元方法和解析解進(jìn)行比較，驗(yàn)證了擴(kuò)展的多尺度有限元方法的可行性。最后，引入彈性損傷本構(gòu)模型，建立混凝土拉伸破壞的數(shù)值模型，模擬混凝土裂紋由萌生、擴(kuò)展到貫通破壞的全過程。

關(guān)鍵詞：擴(kuò)展的多尺度有限元;非均質(zhì)材料;拉伸破壞;數(shù)值模擬

1 混凝土斷裂過程力學(xué)模型的研究現(xiàn)狀

混凝土是一種典型的非均質(zhì)材料，其內(nèi)部含有微裂縫和內(nèi)在缺陷，如氣泡、空穴、裂紋、夾碴等。從混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)的亞微觀分析可知，在承受荷載前混凝土就已經(jīng)存在了兩種裂紋：隨機(jī)分布的微裂紋和方向一定的宏觀裂紋。

1971年Cundall等人提出粒子模型，用于模擬固體顆粒材料，假定材料是由一些隨機(jī)分布的剛性圓形顆粒組成，用于解決連續(xù)體系的大變形問題。

唐春安、朱萬成等借用隨機(jī)概率斷裂模型中材料性質(zhì)的Weibull分布假設(shè)給各組分材料進(jìn)行非均勻隨機(jī)賦值，使用彈性損傷本構(gòu)關(guān)系，利用有限元法模擬混凝土的損傷斷裂過程;劉光廷和王宗敏采用蒙特卡羅方法隨機(jī)生成混凝土的細(xì)觀結(jié)構(gòu)，使得不同的單元擁有不同的材料性質(zhì)，模擬單邊裂紋受拉試件損傷破壞的全過程;

2 多尺度計(jì)算方法的發(fā)展概況

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)物質(zhì)的研究已經(jīng)由宏觀尺度的層次進(jìn)入到了細(xì)觀尺度的層次，甚至是進(jìn)入到微觀尺度的層次。傳統(tǒng)的多尺度計(jì)算方法包括自適應(yīng)方法和多重網(wǎng)格法等。

多尺度有限元方法最早由Hou和Wu提出并命名，并給出了該方法的收斂性證明。多尺度有限元的基本思想是由Babuska等人提出的使用了非多項(xiàng)式形式基函數(shù)的廣義有限元法。多尺度有限元方法在宏觀尺度上進(jìn)行網(wǎng)格劃分，通過在每個(gè)宏觀單元里求解局部微分方程（在人為構(gòu)造的線性邊界條件或振蕩邊界條件下）來獲得反映了細(xì)觀尺度信息的多尺度基函數(shù)，從而使細(xì)觀尺度的信息包含在了宏觀尺度的解里。多尺度有限元方法應(yīng)用于周期性點(diǎn)陣桁架材料和二維隨機(jī)微觀結(jié)構(gòu)材料的力學(xué)分析、非均質(zhì)多相材料的熱彈性分析、非均質(zhì)多相材料的熱彈性分析。

3 非均質(zhì)結(jié)構(gòu)的彈性分析和擴(kuò)展的多尺度有限元方法

多尺度有限元方法通過多尺度基函數(shù)反映結(jié)構(gòu)的細(xì)觀特征，在粗網(wǎng)格模型上求解問題，既能抓住非均質(zhì)材料的細(xì)觀特征，又能在保證一定精度的條件下，減小計(jì)算量，是一種解決多尺度問題的有效算法。

非均質(zhì)材料內(nèi)部不同位置的力學(xué)性質(zhì)各不相同，只有抓住這個(gè)非均質(zhì)的特征，才能更進(jìn)一步探索非均質(zhì)材料力學(xué)性質(zhì)的本質(zhì)。

在微觀層次的研究中，我們認(rèn)為混凝土漿體中的孔隙產(chǎn)生混凝土砂漿的非均質(zhì)性，其孔隙的尺寸大致為絲米（10^-4m）量級(jí)?？紫兜某叽绾苄?，數(shù)量很多，并且是隨機(jī)分布的;孔隙的尺寸很小，數(shù)量很多，并且是隨機(jī)分布的;在細(xì)觀層次的研究中混凝土被認(rèn)為是由粗細(xì)骨料、水泥水化物、孔隙、界面等細(xì)觀結(jié)構(gòu)組成的多相復(fù)合材料;在宏觀層次的研究中，尺度大于3～4倍的最大骨料體積時(shí)，可假定混凝土材料為均質(zhì)的。

擴(kuò)展的多尺度有限元方法，首先在子網(wǎng)格上用數(shù)值方法構(gòu)建宏觀單元的多尺度基函數(shù)，求得單元的等效剛度矩陣。然后，基于求得的宏觀單元的等效剛度矩陣，在宏觀尺度上對(duì)問題進(jìn)行求解，因此能減少計(jì)算的自由度數(shù)。最后，在求得的宏觀尺度計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上，進(jìn)行降尺度計(jì)算，獲得細(xì)觀尺度的結(jié)果。

4 多尺度方法的線彈性數(shù)值模擬

經(jīng)過模擬實(shí)驗(yàn)得出用擴(kuò)展的多尺度有限元方法，分別計(jì)算了數(shù)值結(jié)構(gòu)在均質(zhì)條件下、一般非均質(zhì)條件下和功能梯度材料條件下的線彈性數(shù)值結(jié)果，并與傳統(tǒng)的有限元方法和相應(yīng)的解析解進(jìn)行了比較分析。擴(kuò)展的多尺度有限元方法和超樣本技術(shù)的使用，是求解非均質(zhì)材料多尺度問題的一種有效的數(shù)值方法，具有很大的應(yīng)用潛力。

在不同均質(zhì)度下，混凝土的破壞全過程，表明混凝土材料的離散性和材料力學(xué)性質(zhì)的非均質(zhì)性。模擬的結(jié)果表明，用材料性質(zhì)的Weibull分布描述混凝土的材料力學(xué)性質(zhì)的隨機(jī)分布是合理的，混凝土的非線性承載性能與細(xì)觀單元的損傷有著密切的聯(lián)系。

5 總結(jié)

混凝土材料本身是一種多相復(fù)合材料，由于混凝土材料本身的性質(zhì)受到其原材料的品質(zhì)、組分、施工工藝和使用條件的影響，導(dǎo)致混凝土材料本身具有很大的離散性和力學(xué)性質(zhì)的非均質(zhì)性。開展了對(duì)混凝土拉伸破壞全過程數(shù)值模擬的研究，在擴(kuò)展的多尺度有限元方法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用Matlab商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，實(shí)現(xiàn)了混凝土拉伸破壞，裂紋由萌生、擴(kuò)展直至貫通的全過程數(shù)值模擬。

多尺度計(jì)算方法的研究是當(dāng)前的熱點(diǎn)，人們對(duì)精度更高、計(jì)算量更小、效率更高的計(jì)算方法的研究從未停止。單從多尺度有限元方法來說，怎樣構(gòu)建多尺度基函數(shù)的邊界條件才能提高數(shù)值計(jì)算的精度，或者創(chuàng)建新的多尺度基函數(shù)的數(shù)學(xué)形式等，表明多尺度有限元方法的發(fā)展具有很大的潛力。建立合理的混凝土微觀尺度模型，應(yīng)用微觀量子力學(xué)研究混凝土的力學(xué)性質(zhì)，對(duì)揭示混凝土材料的本質(zhì)意義重大。

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