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        數(shù)形結(jié)合思想方法*

        2018-01-17 10:36:19
        關(guān)鍵詞:代數(shù)頂點數(shù)形

        (蕭山中學(xué),浙江 杭州 311201)

        1 考點回顧

        數(shù)形結(jié)合作為重要的數(shù)學(xué)思想方法,歷來是高考考查的重點內(nèi)容.許多數(shù)學(xué)問題只有從“數(shù)”與“形”兩個角度去理解才能更好地把握其數(shù)學(xué)本質(zhì).運用數(shù)形結(jié)合思想解題時,既要分析其代數(shù)意義,又要揭示其幾何直觀,使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起,這樣才能使問題化難為易、化繁為簡.

        數(shù)形結(jié)合解題操作包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面:一是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系;二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性.在運用“以形助數(shù)”時,需要深諳某些特定的代數(shù)結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的圖形意義,并熟練掌握常見圖形的畫法及圖形變換過程;在運用“以數(shù)輔形”時,需要正確轉(zhuǎn)化圖形與符號兩種語言,并具備較強的運算求解、邏輯思維、綜合運用等能力.

        2 典題剖析

        2.1 以形助數(shù)

        分析將函數(shù)解析式化為

        y=a·b=|a|·|b|·cos=

        圖1

        評注如果根號內(nèi)部二次函數(shù)能夠配方,那么可以將根式看作兩點間距離來觀察值域.本題別出新裁,利用向量數(shù)量積來轉(zhuǎn)化問題.

        ( )

        A.{Sn}為遞增數(shù)列 B.{Sn}為遞減數(shù)列

        C.{S2n-1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列

        D.{S2n-1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列

        ……

        不難得到

        bn+cn=2a1.

        而BnCn長為定值a1,若固定三角形的兩頂點Bn,Cn,則頂點An在以Bn,Cn為兩焦點的橢圓上運動.又因為

        所以點An在橢圓短軸兩側(cè)擺動并逐步趨近于短軸頂點(如圖2),故選A.

        圖2

        評注本題中面積Sn的數(shù)量并不需要求出,關(guān)鍵在于利用△AnBnCn三邊長滿足的特定關(guān)系,結(jié)合橢圓定義,通過觀察圖形便能直接解決.

        小結(jié)以形助數(shù)解題的關(guān)鍵是揭示代數(shù)式表達的幾何圖形含義,比如一次函數(shù)式的系數(shù)代表直線的斜率和截距,構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)單調(diào)性解不等式等.

        2.2 以數(shù)輔形

        分析由正弦定理易知C=90°,a=6,b=8.分別以CB,CA所在直線為x軸和y軸建立直角坐標系(如圖3),則C(0,0),B(6,0),A(0,8),內(nèi)切圓方程為

        (x-2)2+(y-2)2=4.

        可設(shè)點P的坐標為(2+2cosA,2+2sinA),則

        |PA|2+|PB|2+|PC|2=80-8sinA≤88,

        即點P到頂點A,B,C的距離平方和的最大值為88.

        評注解析法是典型的以數(shù)輔形的方法,通過建立直角坐標系,用坐標表示點,用方程表示曲線,從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

        圖3 圖4

        例4在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是正方形BB1C1C的中心,P是△A1C1D內(nèi)(包括邊界)的動點,滿足PM=PD,則點P軌跡的長度等于______.

        評注在空間直角坐標系中,要求出線段的長度,只需求出線段的兩個端點的坐標.在立體幾何中,用坐標法來解決幾何問題也充分體現(xiàn)了以數(shù)輔形的方法.

        例5在四面體P-ABC中,已知PA⊥BC,PB⊥AC,求證:PC⊥AB.

        PC⊥AB.

        評注向量兼具幾何特性和代數(shù)特性,引入向量來解決幾何問題也體現(xiàn)了以數(shù)輔形的方法,坐標法的實質(zhì)是向量法的特殊情形(當向量用單位正交基表示時).

        小結(jié)運用代數(shù)方法不僅可對圖形作出定性分析(如平行、垂直等),也能對圖形進一步作定量計算(如長度、角度、定值、最值等).

        2.3 數(shù)形互助

        圖5

        評注先將函數(shù)問題化為圖形問題,再用代數(shù)計算分析圖形關(guān)系,而在(-∞,-2)內(nèi)有一個零點又可用指數(shù)增長的特性來直觀判斷.

        圖6

        從而

        kOD=-kEF,

        同理可得

        kOE=-kDF,

        于是

        ∠DOE+∠DFE=π,

        因此原點O在△DEF的外接圓上.

        評注先利用圖形的對稱性給出猜想,再對猜想的結(jié)果進行證明,常需要用解析法(代數(shù)化),而運用代數(shù)運算結(jié)果作判斷時又要用到代數(shù)結(jié)果所反映的圖形特征.

        小結(jié)利用數(shù)形結(jié)合思想方法解題時,需不斷根據(jù)圖形觀察來確定代數(shù)運算思路(以形助數(shù))、用代數(shù)運算結(jié)果分析圖形的細節(jié)特征(以數(shù)輔形),由此在數(shù)與形的反復(fù)轉(zhuǎn)化中解決問題.當然,對圖形的變化規(guī)律需要有正確的把握,否則會被圖形誤導(dǎo),產(chǎn)生錯誤(如例6,不少學(xué)生誤認為只有兩個零點).

        3 精題集萃

        1.到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點,在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是

        ( )

        A.直線 B.橢圓 C.拋物線 D.雙曲線

        ( )

        圖7

        3.如圖7,在Rt△ABC中,AC=1,BC=x,D是斜邊AB的中點,將△BCD沿直線CD翻折.若在翻折過程中存在某個位置,使得CB⊥AD,則x的取值范圍是

        ( )

        4.在等差數(shù)列{an}中,a1∈[0,1],a2∈[1,2],a3∈[2,3],則a4的取值范圍為

        ( )

        8.正△ABC頂點A在平面α內(nèi),頂點B,C在α外同一側(cè),D為BC的中點.若△ABC在α上的投影是以A為直角頂點的三角形,求出直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍.

        9.已知過點A(0,1)和B(4,a)(其中a≠0)且與x軸相切的圓只有一個,求該圓的方程.

        參考答案

        1.D 2.D 3.A 4.C

        圖8

        因此

        從而

        9.解設(shè)圓心C(m,n),因為圓與x軸相切,所以半徑r=|n|.又因為圓過點A(0,1)和B(4,a),所以

        r2=n2=m2+(n-1)2=(m-4)2+(n-a)2,

        整理得

        將式(1)代入式(2),消去m,得

        (1-a)m2-8m+16-a+a2=0.

        因為符合條件的圓只有一個,所以上述關(guān)于m的方程只有一個解,可得

        解得

        a=1或a=0(舍去),

        從而圓的方程為

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