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( 泉州第五中學(xué)城東校區(qū)，福建泉州362000)

1 緣起

自從女兒上了小學(xué)后，檢查作業(yè)、輔導(dǎo)功課成了幾年來(lái)每天晚上的必修課．個(gè)中滋味，家里誰(shuí)有誰(shuí)知道．本學(xué)期開(kāi)學(xué)第一天晚上，便遇上了下面的例1，細(xì)思良久，方得解．被女兒狠狠嘲笑了一番，于是發(fā)奮圖強(qiáng)，進(jìn)行了深入探究．

2 一道小學(xué)奧數(shù)題的解法探究

如何求解本題呢？

2.1 初數(shù)觀(guān)點(diǎn)下的解法探究

于是

故2.035

筆者把題目曬在微信的朋友圈，各位好友踴躍互動(dòng)，各路大神給出了各種建議，最后無(wú)非是解法1和下述的解法2．

即

因此

2.06

故S的整數(shù)部分為2．

2．2 高數(shù)觀(guān)點(diǎn)下的解法探究

筆者意識(shí)到此類(lèi)數(shù)列求和問(wèn)題往往可以通過(guò)積分中值定理進(jìn)行放縮，于是拿起《數(shù)學(xué)分析》認(rèn)真學(xué)習(xí)了一下，終于得到如下解法3．

則

f(n)

即

上述不等式累加得

f(10)+f(11)+…+f(20),

即

f(10)+f(11)+…f(20),

故

3 基于“積分中值定理”的試題命制

根據(jù)上述解法3的思路，即根據(jù)積分中值定理，我們可嘗試編制試題．

由于f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，從而

f(n)

即

(1)

因?yàn)?0-ln 26≈46.741 9，50-ln 51≈46.068 2，所以

因此，可設(shè)置問(wèn)題1：

為了給問(wèn)題1設(shè)置解題的臺(tái)階，我們?cè)賮?lái)設(shè)置問(wèn)題2．

(2)

因此，筆者擬在問(wèn)題2中設(shè)置與不等式“l(fā)nx

考慮引入?yún)?shù)，并包裝試題，增加題干隱蔽性，從而增加試題難度．設(shè)置問(wèn)題2：

問(wèn)題2[2]已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+ax，且f(x)≤0，求實(shí)數(shù)a的值.

綜合上述兩個(gè)問(wèn)題，成題如下：

例2已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+ax，且f(x)≤0．

1)求實(shí)數(shù)a的值；

(參考數(shù)據(jù)：ln 51≈3.931 8,ln 26≈3.258 1.)

4 高考類(lèi)題尋蹤

尋尋覓覓，筆者在近幾年高考試題中尋得多個(gè)以此類(lèi)手法命制的試題，呈現(xiàn)如下，與讀者共賞．

例3設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x),其中x≥0,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．

1)令g1(x)=g(x)，gn+1(x)=g(gn(x)),其中n∈N+,求gn(x)的表達(dá)式；

2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

3)設(shè)n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明．

(2014年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

例4已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，其中a>0．

1)求a的值；

2)若對(duì)任意的x∈[0,+∞)，有f(x)≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值；

(2012年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

1)若x≥0時(shí),f(x)≤0,求λ的最小值;

(2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考大綱卷理科試題第22題)

例6設(shè)n是正整數(shù),r為正有理數(shù)．

1)求函數(shù)f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(其中x>-1)的最小值;

求「S?的值．

(2013年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M]．北京：人民教育出版社,2003:2-3．

[2] 崔紅光，楊蒼洲．例談試題的幾種編制方法[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué),2016(11):63-64.